Tweede Huiswerk Security 26 of 28 oktober, 11.00, Nabespreken op Werkcollege.
|
|
- Norbert Smit
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Tweede Huiswerk Security 26 of 28 oktober, 11.00, Nabespreken op Werkcollege. Kijk het huiswerk van je collega s na en schrijf de namen van de nakijkers linksboven en het totaalcijfer rechts onder de namen van de makers. Bespreek het werk met de makers op het werkcollege van 26 of 28 oktober en geef het huiswerk dan aan de assistenten. Cijfer: Te halen 16.5 pt (excl. bonus), resultaat is totaal gedeeld door 1.6 (max. 10). 1. Inverse: Bepaal met behulp van het algoritme van Euclides een oplossing voor: (a) 38x + 43y = 1 (b) 43x + 5y = 3 (c) 112x + 60y + 32z = 33 Bepaal met behulp van het algoritme van Euclides de inverse voor: (I) 38 in Z 43 (II) 86 in Z 264 (III) in Z Oplossing: (a-c) Er zijn meerdere antwoorden mogelijk. Bepaal steeds de GGD van de coefficiënten, bij (a) is dit 1 en krijg je uit Extended Euclides dus gelijk een oplossing. Bij (b) is de GGD ook 1, dus EE geeft oplossingen voor y = 1 - doe die oplossingen keer 3 om de oplossingen van 43x + 5y = 3 te krijgen. Bij (c) moet je twee keer Euclides toepassen: bepaal eerst de GGD van éń paar getallen, en neem dan de GGD van die GGD en de overgebleven coefficiënt. Goede oplossingen zijn bv: (a) x = 17, y = 15, (b) x = 6, y = 51, (c) is onoplosbaar want alle getallen links zijn even, rhs is oneven. (I-III) Bepaal steeds via Extended Euclides wanneer geldt dat een lineare combinatie van het getal en de modulo gelijk is aan 1. Bepaal aan de hand hiervan de inverse. Voor (I) is dit 17, merk op dat dit overeenkomt met de 17 uit vraag (a). Voor (II) is de GGD groter dan 1, dus is er geen inverse. Voor (III) is de inverse Beoordeling: 0.5pt per vergelijking. Totaal 3pt.
2 2. Elgamal: Elgamal encryptie werkt met een generator g van Z p. (a) Waarom zou je willen dat g een generator is? (b) Bewijs dat de decryptie van een encryptie in het Elgamal-algoritme de originele tekst teruggeeft. (c) Wat is de looptijd van encryptie en decryptie in het Elgamal-algoritme (grote O- notatie)? Welk van beide is sneller? Oplossing: (a) Omdat zo elke k Z p als publieke sleutel of blinder kan voorkomen. (b) Toon aan: D(E(x)) = x. Tijdens encryptie geldt dat v = z x, de decryptie geeft de tekst x = v z 1. Substitutie van v in de tweede formule geeft x = z x z 1. Nu geldt dat z = z, want z = u a = (g k ) a = (g a ) k = b k = z. Dus x = z z 1 x = 1 x. Nu geldt dat x = x, de decryptie van een encryptie geeft dus de originele tekst. (c) Voor zowel encryptie als decryptie blijkt dat de exponentiatie de zwaarste operatie is. Deze operatie kost O(k 3 ) tijd. Omdat encryptie 2 en decryptie 1 exponentiatie kent, is decryptie ongeveer 2x zo snel als encryptie. Beoordeling: 0,5pnt voor (a), 1pt voor (b), 1pnt voor (0.5 voor complexiteit, 0.5 voor snelste)(c) Totaal 2.5pt.
3 3. Worteltjestaart: De bakker moet berekenen hoeveel worteltjes hij voor zijn worteltjestaart nodig heeft. Hij heeft wel een recept, maar hij heeft de modulaire wortel nodig om de goede hoeveelheden te vinden. Op een dag komt er een konijn langs. Het konijn kan modulair wortel trekken, maar wil niet verklappen hoe. Het konijn zegt dat hij wel de modulaire wortel wil uitrekenen zolang hij maar een stukje worteltjestaart krijgt. Eerst moet de bakker de modulus m geven en een getal b < m. Daarna geeft de konijn een getal a (als het bestaat) dat voldoet aan a 2 = b(mod m). (a) Laat zien hoe de bakker slim zijn getallen kan kiezen zodat hij de factoren van m kunt vinden. (b) Nu de bakker de factoren kan vinden, vindt hij dat de factoren van 1333, 31 en 43 zijn. Nu wil hij nog weten welke vier getallen in Z 1333 kwadraat 1 hebben. Welke getallen zijn dit? (c) De bakker denkt dat hij samen met het konijn P = NP heeft bewezen, ze kunnen namelijk samen getallen factoriseren. Kunnen de bakker en het konijn de milleniumprijs gaan innen? Leg uit. Oplossing: (a) Als m priem is, is m zelf de enige factor en ben je klaar. Als m even is, deel door 2 tot het resultaat oneven is. Als m oneven en samengesteld is, zijn er bij elke b minstens vier getallen met b als kwadraat. Neem een random c en bereken b = c 2, en gebruik het konijn om een a te vinden met a 2 = c 2. Omdat c random gekozen is, is er een kans van minstens 1/2 dat c noch aan a, noch aan a gelijk is. Herhaal het kiezen van c tot dit optreedt. Je beschikt dan over twee niet-complementaire getallen met gelijk kwadraat, waarmee je een factor van m vindt als ggd(m, a + c). (b) Bij elke modulus geldt 1 2 = 1 en ( 1) 2 = 1, dus we hebben de eerste twee wortels 1 en 1332 al te pakken. Om de andere twee te vinden gebruiken we CRT en zoeken een getal dat 1 is modulu 43 en 1 modulo 31. Dit is W 43 W 31 = Het vierde getal is ofwel 216. (c) Nee want Factoriseren is wel in NP, maar voor zover we weten niet NP-compleet. Dus helaas nog geen millenniumprijs. Maar als konijntje inderdaad kan worteltrekken met een modulus van de bakker, kan hij willekeurige getallen factoriseren, dus ergens zal een prijsje er toch wel in zitten. Beoordeling: 1.5pt voor (a); 1pt voor (b); 1pt voor (c), totaal 3 pt.
4 4. RSA: We bekijken het cryptosysteem RSA met modulus n = p.q van k bits, public key e en private key d. (a) Waarom is het aanroepen van de decryptie veel duurder dan de encryptie bij RSA? (b) Hoeveel rekentijd kost het versleutelen of ontsleutelen van een bericht (als functie van k)? Reken voor de vermenigvuldiging van 2 k-bits getallen O(k 2 ). Oplossing: (a) De publieke exponent e kan klein worden gekozen zodat weinig vermenigvuldigingen nodig zijn. Voor de geheime exponent d kan dit niet en zijn O(k) vermenigvuldigingen nodig. (b) Een getal n heeft een lengte k = lg n. Voor encyptie (resp. decryptie) van een tekst x moet je x e (resp. x d ) berekenen (modulo n). Hierbij is e (resp. d) een getal dat hoogstens φ(n) is en dus maximaal k bits lang. Als je Indisch machtsverheft kun je die exponentiatie met hoogstens 2k vermenigvuldigingen doen, de rekentijd is dus O(k 3 ). Meestal wordt bij RSA een small exponent variant gebruikt, waarbij voor e een vast, klein getal wordt gekozen (bv. 17 of 65537) onafhankelijk van k. Dan is het aantal vermenigvuldigingen onafhankelijk van k en kost encryptie maar O(k 2 ). Beoordeling: Totaal 1.5pt, 0.5pt voor (a), 1 pt voor (b). E = Geen punten voor een looptijd die exponentieel is (wat je zou krijgen als je x d berekent met d of d 1 vermenigvuldigingen). 5. Blinde Handtekening: Alice heeft een bericht M dat ze door Bob wil laten ondertekenen (met RSA) maar zonder dat Bob de inhoud ziet. Bob stemt erin toe, voor Alice één ongezien bericht te tekenen. (a) Bewijs dat voor een correcte RSA handtekening geldt S e = M (mod n). (b) Om welke veiligheidsreden zal Bob liever zijn handtekening onder de hash van M zetten? Waar moet deze hash aan voldoen? (c) Kan bij een geblindeerde RSA handtekening nog gebruik gemaakt worden van de hash? (Zo nee, waarom niet; zo ja, bewijs dat dit kan). (d) Op welke drie manieren kan Bob zorgen dat een blinde handtekening onder het juiste soort token gezet wordt? Oplossing: (a) S = M d dus geldt dat S e = M de (mod n). Omdat d is gekozen als e 1 in Z φ(m) kan dit herschreven worden tot M e e 1 = M. (b) Bob weet dat door de hash een existentiele aanval niet mogelijk is. Voor een hash moet wel gelden dat hij sterk botsingsvrij is. (De andere eisen volgen hieruit). (c) Dit kan door de hash te nemen van het bericht: h = H(M). Dit wordt geblindeerd met b = k e, dus Alice stuurt Bob h.b. Bob berekent (h.b) d = (H(M) k e ) d = H(M) d k ed = k H(M) d. (1) Alice deelt door k, dwz., vermenigvuldigt dit getal met k 1, nu houd ze de ondertekening van het gehashte bericht over. (d)er zijn volgens het dictaat drie mogelijkheden voor controle: Verschillende sleutels gebruiken voor verschillende soorten berichten of gebruik maken van de Cut-and-choose methode of werken met een zero knowledge proof. Beoordeling: Totaal 4pt: 1pt voor (a); 1pt voor (b) (0,5 per subvraag); 1,5pt voor (c); 0,5pt voor (d).
5 6. Zero Knowledge: Voor het identicatieprotocol van Feige, Fiat en Shamir heeft Alice een geheim getal a en een publiek getal b = a 2. De Commit van Alice is een getal s = r 2, Bobs Challenge is een random c {0, 1}, en Alice Respons is y = r a c. (a) Welke Check doet Bob op het antwoord van Alice? (b) Hoe zien de stappen eruit bij de niet-interactieve versie van het Feige, Fiat en Shamir zero knowledge proof? (c) Welke eigenschap van het zero knowledge proof verliezen we door het niet-interactief te maken? Oplossing: (a) Bob checkt dat y 2 = s b c. (b) Genereren van een niet-interactief bewijs, iets te simpel: 1: Kies s = r 2 voor random r. 2: Kies c = H(s). 3: Kies y = r + a c. Na het ontvangen van het paar (s, y): 1: bereken c = H(s) 2: controleer of y 2 = s b c. Omdat er bij FFS maar twee waarden van c zijn, kan een bedrieger met kans 1/2 de challenge raden en valselijk slagen. Daarom moet je, net als bij het interactieve protocol, meerdere challenges vragen en dat moet in een hash worden gecombineerd: 1: Kies s i = r 2 i voor random r i, i = : Kies c = H( s). 3: Kies y i = r i + a c i. (c) Het bewijs is nu overdraagbaar geworden, dus je weet niet meer zeker of de afzender het ook echt zelf heeft berekend. Beoordeling: Totaal 2pt. 0.5pt voor (a); 1pt voor (b); 0.5pt voor (c).
Opgaven Rekenen met Getallen Security, 2018, Werkgroep.
Opgaven Rekenen met Getallen Security, 2018, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht opgaven.
Nadere informatieTweede Toets Security 9 november 2016, , Educ-α.
Tweede Toets Security 9 november 2016, 8.30 10.30, Educ-α. Motiveer je antwoorden kort! Zet je mobiel uit. Stel geen vragen over deze toets; als je een vraag niet duidelijk vindt, schrijf dan op hoe je
Nadere informatieToetsbundel 2 Security 13 juli 2017, Gerard Tel, WerkCollege.
Toetsbundel 2 Security 13 juli 2017, Gerard Tel, WerkCollege. Deze bundel bevat een collectie van toetsvragen voor het vak Security. Op deze bundel geldt auteursrecht! Verwijs naar de website http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/b3sec/,
Nadere informatieOpgaven Discrete Logaritme en Cryptografie Security, 22 okt 2018, Werkgroep.
Opgaven Discrete Logaritme en Cryptografie Security, 22 okt 2018, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal
Nadere informatieZwakke sleutels voor RSA
Zwakke sleutels voor RSA Benne de Weger, Mike Boldy en Hans Sterk 23 juni 2008 Zwakke sleutels voor RSA Benne de Weger, Mike Boldy en Hans Sterk 23 juni 2008 RSA: beroemd cryptosysteem Genoemd naar Rivest,
Nadere informatieTweede Toets Security 2 november 2015, , Educ-α.
Tweede Toets Security 2 november 2015, 8.30 10.30, Educ-α. Motiveer je antwoorden kort! Zet je mobiel uit. Stel geen vragen over deze toets; als je een vraag niet duidelijk vindt, schrijf dan op hoe je
Nadere informatieTweede Deeltoets Security 3 juli 2015, 8.30 10.30, Educatorium-Γ.
Tweede Deeltoets Security 3 juli 2015, 8.30 10.30, Educatorium-Γ. Motiveer je antwoorden kort! Zet je mobiel uit. Stel geen vragen over deze toets; als je een vraag niet duidelijk vindt, schrijf dan op
Nadere informatieOpgaven RSA Security, 15 okt 2018, Werkgroep.
Opgaven RSA Security, 15 okt 2018, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht opgaven. 1. Rabin:
Nadere informatieOpgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep.
Opgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht
Nadere informatieTweede Toets Security Woensdag 8 november 2017, , Educ-α.
Tweede Toets Security Woensdag 8 november 2017, 8.30 10.30, Educ-α. Motiveer je antwoorden kort! Stel geen vragen over deze toets; als je een vraag niet duidelijk vindt, schrijf dan op hoe je de vraag
Nadere informatieRSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002
RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven
Nadere informatieProbabilistische aspecten bij public-key crypto (i.h.b. RSA)
p. 1/21 Probabilistische aspecten bij public-key crypto (i.h.b. RSA) Herman te Riele, CWI Amsterdam Nationale Wiskunde Dagen Noordwijkerhout, 31 januari 2015 p. 2/21 verzicht Binair exponentiëren RSA Factorisatie-algoritmen
Nadere informatieOpgaven Signatures Security, 17 okt 2018, Werkgroep.
Opgaven Signatures Security, 17 okt 2018, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht opgaven.
Nadere informatieSecurity. Eerste tentamen
Security Eerste tentamen Het tentamen normale rekenmachine mag mee. Gastpresentaties Weetvragen Lees je eigen aantekeningen goed door. Malware Weetvragen Introductiecollege Weetvragen! Kijk naar de lijst
Nadere informatieHet programma ELGAMAL
Het programma ELGAMAL Gerard Tel Universiteit Utrecht, Departement Informatica 21 oktober 2005 Dit boekje is een inhoudelijke beschrijving van het programma ELGAMAL dat door Gerard Tel is geschreven voor
Nadere informatieAlgoritmes en Priemgetallen. Hoe maak je een sleutelpaar voor RSA?
Algoritmes en Priemgetallen Hoe maak je een sleutelpaar voor RSA? Het recept van RSA Kies p q priemgetallen en bepaal N = pq Kies e Z N (publieke sleutel) Bepaal d e 1 mod φ N (privésleutel) x ed x kφ
Nadere informatieslides10.pdf December 5,
Onderwerpen Inleiding Algemeen 10 Cryptografie Wat is cryptography? Waar wordt cryptografie voor gebruikt? Cryptographische algoritmen Cryptographische protocols Piet van Oostrum 5 dec 2001 INL/Alg-10
Nadere informatieHoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken. Benne de Weger
Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken Benne de Weger 28 aug. / 4 sept. RSA 1/38 asymmetrisch cryptosysteem versleutelen met de publieke sleutel ontsleutelen met de bijbehorende privé-sleutel gebaseerd
Nadere informatie7 Deelbaarheid. 7.1 Deelbaarheid WIS7 1
WIS7 1 7 Deelbaarheid 7.1 Deelbaarheid Deelbaarheid Voor geheeltallige d en n met d > 0 zeggen we dat d een deler is van n, en ook dat n deelbaar is door d, als n d een geheel getal is. Notatie: d\n k
Nadere informatieDe cryptografie achter Bitcoin
De cryptografie achter Bitcoin Benne de Weger b.m.m.d.weger@tue.nl augustus 2018 digitale handtekeningen 1 doel: authenticatie sterke verbinding aanleggen tussen een document en een identiteit wordt doorgaans
Nadere informatieOpgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002
Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002 19.a) Laat zien dat 5 een voortbrenger is van F 37. b) In het sleuteldistributiesysteem van Diffie en Hellman (met G = F 37, α =
Nadere informatieAlgoritmes in ons dagelijks leven. Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens
Algoritmes in ons dagelijks leven Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens Wat is een algoritme? Een algoritme is een eindige reeks instructies die vanuit een gegeven begintoestand naar een beoogd
Nadere informatieOefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen
Nadere informatie1 Kettingbreuken van rationale getallen
Kettingbreuken van rationale getallen Laten we eens starten met een breuk bijvoorbeeld 37/3 Laten we hier ons kettingbreuk algoritme op los, We concluderen hieruit dat 37 3 3 + 3 + + 37 3 + + + hetgeen
Nadere informatieOefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen
Nadere informatieCryptografie: de wetenschap van geheimen
Cryptografie: de wetenschap van geheimen Benne de Weger b.m.m.d.weger@tue.nl augustus 2018 Cryptografie als Informatiebeveiliging 1 beveiliging: doe iets tegen risico s informatie-risico s en eisen: informatie
Nadere informatieOPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN
OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal
Nadere informatieWorteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen
Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:
Nadere informatieElliptische krommen en digitale handtekeningen in Bitcoin
Elliptische krommen en digitale handtekeningen in Bitcoin Bas Edixhoven Universiteit Leiden KNAW Bitcoin symposium Deze aantekeningen zal ik op mijn homepage plaatsen. Bas Edixhoven (Universiteit Leiden)
Nadere informatieGeldwisselprobleem van Frobenius
Geldwisselprobleem van Frobenius Karin van de Meeberg en Dieuwertje Ewalts 12 december 2001 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Afspraken 3 3 Is er wel zo n g? 3 4 Eén waarde 4 5 Twee waarden 4 6 Lampenalgoritme
Nadere informatieCryptografie met krommen. Reinier Bröker. Universiteit Leiden
Cryptografie met krommen Reinier Bröker Universiteit Leiden Nationale Wiskundedagen Februari 2006 Cryptografie Cryptografie gaat over geheimschriften en het versleutelen van informatie. Voorbeelden. Klassieke
Nadere informatieniet: achterop een ansichtkaart schrijven postbode (en wie al niet meer) leest mee
Het geheim van goede koffie Benne de Weger oktober 2013 b.m.m.d.weger@tue.nl http://www.win.tue.nl/~bdeweger versturen van geheimen hoe moet je een geheim opsturen als onderweg iemand kan afluisteren?
Nadere informatieDe wiskunde achter de Bitcoin
De wiskunde achter de Bitcoin Bas Edixhoven Universiteit Leiden NWD, Noordwijkerhout, 2015/01/31 Deze aantekeningen zal ik op mijn homepage plaatsen. Bas Edixhoven (Universiteit Leiden) De wiskunde achter
Nadere informatieRekenen aan wortels Werkblad =
Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden
Nadere informatiePriemfactoren. Grote getallen. Geavanceerde methoden. Hoe ontbind je een getal N in priemfactoren?
Docentenhandleiding Inhoudsopgave Docentenhandleiding... 1 Inhoudsopgave... 2 Priemfactoren... 3 Grote getallen... 3 Geavanceerde methoden... 3 Primaliteit en factorisatie... 4 Literatuur... 4 Software...
Nadere informatie4Passief: n Afluisteren. n Geen gegevens gewijzigd of vernietigd. n Via de routers van WAN. n Via draadloze verbindingen. 4Fysieke afsluiting
Telematica Hoofdstuk 20 4Passief: n Afluisteren Bedreigingen n Alleen gegevens (inclusief passwords) opgenomen n Geen gegevens gewijzigd of vernietigd n Op LAN kan elk station alle boodschappen ontvangen
Nadere informatieHet RSA Algoritme. Erik Aarts - 1 -
Het RSA Algoritme Erik Aarts - 1 - 1 Wiskunde... 3 1.1 Het algoritme van Euclides... 3 1.1.1 Stelling 1... 4 1.2 Het uitgebreide algoritme van Euclides... 5 1.3 Modulo rekenen... 7 1.3.1 Optellen, aftrekken
Nadere informatieGetaltheorie groep 3: Primitieve wortels
Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Trainingsweek juni 2008 Inleiding Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als ord m (a) = min { n Z + a n 1 (mod m) }. De verzameling
Nadere informatieCryptografie. 6 juni Voorstellen, programma-overzicht 2. 2 Inleiding: wat is cryptografie? 2
Cryptografie 6 juni 2008 Inhoudsopgave 1 Voorstellen, programma-overzicht 2 2 Inleiding: wat is cryptografie? 2 3 Schuifsysteem: E k (x) = x + k 4 3.1 Decryptiefunctie: terugrekenen..........................
Nadere informatie1 Rekenen met gehele getallen
1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9
Nadere informatie7.1 Het aantal inverteerbare restklassen
Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo
Nadere informatieFACTORISATIE EN CRYPTOGRAFIE
FACTORISATIE EN CRYPTOGRAFIE COMPUTERPRACTICUM UvA-MASTERCLASS WISKUNDE 1993 G.C.M. Ruitenburg Faculteit Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam 1993 INLEIDING In dit computer prakticum volgen
Nadere informatieHeron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule
Heron driehoek 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule = s(s a)(s b)(s c) met s = a + b + c 2 die gebruikt wordt om de oppervlakte van een driehoek te berekenen in
Nadere informatie1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12
Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal
Nadere informatieDe complexiteit van het Discrete Logaritme Probleem
De complexiteit van het Discrete Logaritme Probleem Ivor vand der Hoog (4141741) 2015-10-26 1 Inleiding Mathematics is the queen of sciences, and number theory is the queen of mathematics. Toen Gauss deze
Nadere informatie3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
3.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je
Nadere informatieGetaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
Nadere informatieOpgaven Sommaties Datastructuren, 8 mei 2019, Werkgroep.
Opgaven Sommaties Datastructuren, 8 mei 019, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht opgaven.
Nadere informatieNetwerken. Beveiliging Cryptografie
Netwerken 15 Beveiliging Cryptografie Lennart Herlaar 2 november 2016 Onderwerpen Beveiliging Cryptografie Cryptografische algoritmen en protocollen Toepassing van cryptografie in beveiliging Lennart Herlaar
Nadere informatieOpgaven Fibonacci-getallen Datastructuren, 23 juni 2017, Werkgroep.
Opgaven Fibonacci-getallen Datastructuren, 3 juni 017, Werkgroep Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht
Nadere informatieBijzondere kettingbreuken
Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar
Nadere informatiePublic Key Cryptography. Wieb Bosma
Public Key Cryptography de wiskunde van het perfecte kopje koffie Wieb Bosma Radboud Universiteit Nijmegen Bachelordag 2 april 2011 Nijmegen, 6 november 2010 0 Nijmegen, 6 november 2010 1 cryptografie
Nadere informatieOpgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie
Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer Voorwoord 1 Voorwoord Beste leerling, Deze nota s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren Opgeloste
Nadere informatieMachten, exponenten en logaritmen
Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde
Nadere informatie2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE
2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Inleverdatum maandag 8 oktober 2017 voor het college Niet losse velletjes aan elkaar vast. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven.
Nadere informatieDigitale geldtransacties. Stefanie Romme Wiskunde, Bachelor Begeleider: Wieb Bosma
Digitale geldtransacties Stefanie Romme 3013170 Wiskunde, Bachelor Begeleider: Wieb Bosma Radboud Universiteit Nijmegen 5 juli 2012 Samenvatting Sinds de opkomst van het internet zijn elektronische geldtransacties
Nadere informatieOplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave.
Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Opgave 6 Lesbrief, opgave 4.5 De getallen m en n zijn verschillende positieve gehele getallen zo, dat de laatste drie cijfers van 1978 m en 1978 n overeenstemmen.
Nadere informatieAanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen
Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk
Nadere informatieUitwerking Puzzel 93-1, Doelloos
Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos Wobien Doyer Lieke de Rooij Volgens de titel is deze puzzel zonder doel, dus zonder bekende toepassing. Het doel is echter nul en dat is zeker in de wiskunde niet niks.
Nadere informatieUitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari
Uitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari 2007. (a) De buitenste for-lus kent N = 5 iteraties. Na iedere iteratie ziet de rij getallen er als volgt uit: i rij na i e iteratie 2 5 4 6 2 2 4
Nadere informatieMCRE - Modulaire en Cryptografische Rekenmachine met Elliptische Krommen - Handleiding
1 MCRE - Modulaire en Cryptografische Rekenmachine met Elliptische Krommen - Handleiding 1. Inleiding De MCRE-software is ontwikkeld voor educatief gebruik. In de eerste plaats bevat de software een modulaire
Nadere informatieCryptografie met behulp van elliptische krommen
Cryptografie met behulp van elliptische krommen Bachelorscriptie Wiskunde Erik van der Kouwe Studentnummer 1397273 E-mail: erik@erisma.nl Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit Exacte Wetenschappen Afdeling
Nadere informatieGeheimschrift op de TI-83+ Gerard Tel
Geheimschrift op de TI-83+ Gerard Tel Department of Information and Computing Sciences, Utrecht University Technical Report UU-CS-2006-017 www.cs.uu.nl ISSN: 0924-3275 Geheimschrift op de TI-83+ Gerard
Nadere informatieGetaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)
Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen
Nadere informatieGeheimschrift op de TI-83+
Geheimschrift op de TI-83+ Gerard Tel Universiteit Utrecht, Departement Informatica 11 november 2015 Wat kun je verwachten? Cryptografie is: het verzinnen en gebruiken van geheimschriften, oftewel codes
Nadere informatieAanvullende tekst bij hoofdstuk 1
Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Wortels uit willekeurige getallen In paragraaf 1.3.5 hebben we het worteltrekalgoritme besproken. Dat deden we aan de hand van de relatie tussen de (van tevoren gegeven)
Nadere informatieWEP, chopchop en WPA
WEP, chopchop en WPA Ian Zwaan 28 januari 2009 Ian Zwaan () WEP, chopchop en WPA 28 januari 2009 1 / 23 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 Wired Equivalent Privacy 3 Cyclic Redundancy Check 4 Chopchop 5 Beck-Tews
Nadere informatieEerste Huiswerk Algoritmiek 18 februari 2015, uitwisselen, WerkCollege.
Eerste Huiswerk Algoritmiek 18 februari 2015, uitwisselen, WerkCollege. Kijk een huiswerkset na met een team van twee, voorzie de uitwerking van commentaar en becijfering, en neem de nagekeken set mee
Nadere informatie??? Peter Stevenhagen. 7 augustus 2008 Vierkant voor wiskunde
1 ??? Peter Stevenhagen 7 augustus 2008 Vierkant voor wiskunde 2 Wiskunde en cryptografie Peter Stevenhagen 7 augustus 2008 Vierkant voor wiskunde 3 Crypto is voor iedereen Peter Stevenhagen 7 augustus
Nadere informatieGroepen, ringen en velden
Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:
Nadere informatie1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]
1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2
Nadere informatieCryptografische beveiliging op het Internet
Cryptografische beveiliging op het Internet Benne de Weger b.m.m.d.weger@tue.nl augustus 2018 hybride cryptografie 1 klare symmetrische versleuteling geheimschrift versturen geheimschrift symmetrische
Nadere informatieHoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken
Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken Benne de Weger Technische Universiteit Eindhoven Inleiding. RSA RSA is een veelgebruikt cryptografisch systeem, bijvoorbeeld voor het beveiligen van internetverkeer.
Nadere informatie6 Ringen, lichamen, velden
6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oplossing 6.1 Aangezien de veelterm van graad 3 is,
Nadere informatieFACTORISATIE EN CRYPTOGRAFIE
FACTORISATIE EN CRYPTOGRAFIE UvA-MASTERCLASS WISKUNDE 1993 P. Stevenhagen Faculteit Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam 1993 INLEIDING In deze masterclass zullen we ons voornamelijk bezighouden
Nadere informatieCode signing. Door: Tom Tervoort
Code signing Door: Tom Tervoort Wat is code signing? Digitale handtekening onder stuk software Geeft garanties over bron Voorkomt modificatie door derden Bijvoorbeeld met doel malware toe te voegen Ontvanger
Nadere informatieUitwerkingen Rekenen met cijfers en letters
Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatieCombinatoriek groep 1
Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsweek, juni 009 Stappenplan homogene lineaire recurrente betrekkingen Even herhalen: het stappenplan om een recurrente betrekking van orde op te lossen: Stap 1. Bepaal
Nadere informatieUitwerkingen toets 12 juni 2010
Uitwerkingen toets 12 juni 2010 Opgave 1. Bekijk rijen a 1, a 2, a 3,... van positieve gehele getallen. Bepaal de kleinst mogelijke waarde van a 2010 als gegeven is: (i) a n < a n+1 voor alle n 1, (ii)
Nadere informatieIMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 2017
IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Gegeven is cirkel ω met middellijn AK. Punt M ligt binnen de cirkel, niet op lijn AK. De lijn AM snijdt
Nadere informatieWillem van Ravenstein
Willem van Ravenstein 1. Variabelen Rekenen is het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken je de bewerkingen machtsverheffen en worteltrekken.
Nadere informatieProgrammeren A. Genetisch Programma voor het Partitie Probleem. begeleiding:
Programmeren A Genetisch Programma voor het Partitie Probleem begeleiding: Inleiding Het Partitie Probleem luidt als volgt: Gegeven een verzameling van n positieve integers, vindt twee disjuncte deelverzamelingen
Nadere informatieVBA voor doe het Zelvers deel 22. Handleiding van Helpmij.nl. Auteur: leofact
VBA voor doe het Zelvers deel 22 Handleiding van Helpmij.nl Auteur: leofact december 2015 Vorige aflevering In de vorige aflevering werden de regular expressions behandeld. Voor VBA zijn deze beschikbaar
Nadere informatieHANDMATIG WORTELTREKKEN
HANDMATIG WORTELTREKKEN 1. INLEIDING Boer Jaak bezit een vierkant stuk grond (oppervlakte = 169 m²). Hij wil heel graag een hek zetten langs één kant van dat stuk grond. Hij heeft vroeger niet zo goed
Nadere informatieHoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties
Hoofdstuk 6 Congruentierekening 6.1 Congruenties We hebben waarschijnlijk allemaal wel eens opgemerkt dat bij vermenigvuldigen van twee getallen de laatste cijfers als het ware meevermenigvuldigen. Stel
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
Nadere informatieKerstvakantiecursus. wiskunde B. Voorbereidende opgaven VWO. Haakjes. Machten
Voorbereidende opgaven VWO Kerstvakantiecursus wiskunde B Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk
Nadere informatie6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden
6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p
Nadere informatieToepassingen van de Wiskunde in de Digitale Wereld
Toepassingen van de Wiskunde in de Digitale Wereld Eindhoven 17 juli 2010 Henk van Tilborg Technische Universiteit Eindhoven 1 Beschermen van digitale gegevens. Bijna alle informatie (muziek, video, foto's,
Nadere informatieTheorie & Opdrachten
Theorie & Opdrachten Inhoudsopgave INHOUDSOPGAVE 3 1. GEHEIMSCHRIFTEN 4 2. CRYPTOSYSTEMEN 5 3. DOOR ELKAAR SCHUDDEN 6 4. KOLOMMEN 7 5. SUBSTITUTIE ALFABET 8 6. DELERS EN PRIEMGETALLEN 9 7. ALGORITME VAN
Nadere informatieUitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 2017
Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 017 Opgave 1. a. Een pad van de wortel naar een blad stelt de serie achtereenvolgende arrayvergelijkingen voor die het algoritme doet op zekere invoer.
Nadere informatieDe wiskunde en toepassing. van de cryptologie
De wiskunde en toepassing van de cryptologie Honours Class TU/e 4 Januari 2010 Henk C.A. van Tilborg 1 Beschermen van digitale gegevens. Bijna alle informatie (muziek, video, foto's, documenten, bestanden)
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatieBasisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag
Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken
Nadere informatieCryptograe: Van DES tot Chipknip Gerard Tel, Informatica Instituut email: gerard@cs.uu.nl Dit artikel geeft een uiterst beknopt overzicht van enkele belangrijke technieken op het gebied van de cryptograe
Nadere informatieElfde college complexiteit. 23 april NP-volledigheid III
college 11 Elfde college complexiteit 23 april 2019 NP-volledigheid III 1 TSP Als voorbeeld bekijken we het Travelling Salesman/person Problem, ofwel het Handelsreizigersprobleem TSP. Hiervoor geldt: TSP
Nadere informatieLogaritmen. Het tijdstip t waarop S(t) = is op de t-as aangegeven. Dat tijdstip komt niet mooi uit. Dat tijdstip noemen 5,3
5 Logaritmen 1 We bekijken de Shigella-bacterie uit opgave 1 van de vorige paragraaf. Hieronder staat een stukje van de grat fiek van de functie S(t) = 5,. Het tijdstip t waarop S(t) = 100.000 is op de
Nadere informatieUniversiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr.
Universiteit Gent Academiejaar 2001 2002 Discrete Wiskunde 1ste kandidatuur Informatica Collegenota s Prof. Dr. Frank De Clerck Herhalingsoefeningen 1. Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatieExamen Algoritmen en Datastructuren III
Derde bachelor Informatica Academiejaar 2008 2009, eerste zittijd Examen Algoritmen en Datastructuren III Naam :.............................................................................. Stellingen
Nadere informatie