Eigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element.
|
|
- Stijn Smets
- 4 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Hoofdstuk 2 De regels van het spel 2.1 De gehele getallen Grof gezegd kunnen we de (elementaire) getaltheorie omschrijven als de wiskunde van de getallen 1, 2, 3, 4,... die we ook de natuurlijke getallen zullen noemen. De gebruikelijke notatie voor deze verzameling getallen is N. Het is mogelijk om deze verzameling op formele manier in te voeren met behulp van de zogenaamde axiomas van Peano. Ik wil hier echter niet te zwaar op de hand worden en kies daarom niet voor deze axiomatische opzet. In plaats daarvan vertrouw ik liever op het primitieve getalsbegrip dat iedereen hopelijk heeft meegekregen toen we leerden tellen. Ik memoreer hier wel een aantal feiten die in dit boek als uitgangspunt gebruikt zullen worden. Allereerst weten we dat we met tellen onbeperkt door kunnen gaan. Hebben we een getal benoemd, dan bestaat er altijd wel een volgende getal. Formeel zeggen we dat ieder getal een opvolger heeft. Een ander bekend feit is dat als we bij 1 beginnen te tellen, elk natuurlijk getal wel een keer aan bod zal komen. Een formele omschrijving hiervan staat bekend als het principe van volledige inductie. Hierop komen we aan het eind van dit hoofdstuk uitgebreid terug. Nog een belangrijke eigenschap van natuurlijke getallen is dat we ze op grootte kunnen ordenen. Van elk tweetal verschillende natuurlijke getallen is er altijd eentje groter dan de andere. De ordening van N heeft de volgende belangrijke eigenschap die we regelmatig zullen gebruiken. Eigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element. Bovenstaande eigenschappen betreffen alleen N als verzameling. Het wordt pas interessant als we ook gaan optellen en vermenigvuldigen. Ook nu is het weer mogelijk om deze bewerkingen op formele wijze in te voeren. Maar wederom vertrouwen we liever op de vaardigheid die mensen zich aangeleerd hebben bij 6
2 2.1. DE GEHELE GETALLEN 7 het rekenen. Wel breng ik hier een aantal elementaire eigenschappen van optelling en vermenigvuldiging in herinnering. Eigenschap Voor elk drietal a, b, c N geldt 1. a + b = b + a (commutativiteit van optelling) 2. (a + b) + c = a + (b + c) (associativiteit van optelling) 3. Uit a + b = a + c volgt b = c 4. ab = ba (commutativiteit van vermenigvuldiging) 5. (ab)c = a(bc) (associativiteit van vermenigvuldiging) 6. 1 a = a 7. Uit ab = ac volgt b = c 8. a(b + c) = ab + ac (distributiviteit) Bovendien respecteren optelling en vermenigvuldiging de ordening in N als volgt. Eigenschap Voor elk drietal a, b, c N geldt 1. Uit b c volgt a + b a + c 2. Uit b c volgt ab ac 3. Als a < b dan is er een unieke x N zo dat a + x = b Als a < b dan noemen we het getal x met de eigenschap dat a + x = b het verschil van b en a. Notatie: b a. Het is duidelijk dat het verschil b a alleen bestaat als natuurlijk getal indien b > a. Teneinde het verschil tussen twee willekeurige getallen te kunnen nemen heeft men de verzameling natuurlijke getallen uitgebreid met 0 en de negatieve getallen 1, 2, 3,.... Het systeem dat zo ontstaat is de verzameling van de gehele getallen die we noteren met Z. Vaak verstaat men onder de (elementaire) getaltheorie de wiskunde van Z. Welk van de bovenstaande eigenschappen voor Z gelden in plaats van N laten we graag aan de lezer over ter beoordeling. In verband met het speciale getal 0 vermelden we nog de volgende eigenschappen Eigenschap Voor elk tweetal a, b Z geldt, 1. 0 a = 0 2. Als ab = 0 dan geldt a = 0 of b = 0 of a = b = 0 3. Als a 0 dan geldt dat a 1.
3 8 HOOFDSTUK 2. DE REGELS VAN HET SPEL 2.2 Deelbaarheid Zoals bekend is het niet altijd mogelijk twee gehele getallen op elkaar te delen. Iets netter gezegd, als a, b Z en a 0 dan hoeft de vergelijking ax = b niet altijd oplosbaar te zijn in x Z. Bijvoorbeeld, er is geen enkele gehele x zo dat 4x = 5. Heeft ax = b wel een oplossing, dan zeggen we dat a een deler van b is en we geven de oplossing x aan met b/a. Het feit dat a een deler is van b noteren we meestal met a b. Als d een deler is van zowel a als b dan is d ook een deler van a + b. Dit is niet moeilijk in te zien. Er bestaan immers c, c Z zo dat a = dc, b = dc. Tel deze gelijkheden op, a + b = dc + dc = d(c + c ) en we zien dat d een deler van a + b is. Op soortgelijke manier tonen we de volgende eigenschappen aan. Stelling Voor elke a, b, c, d Z geldt, 1. d a, d b impliceert d (a + b) 2. d a impliceert d ab 3. d a impliceert db ab 4. d a en a b impliceert d b 5. Als a 0 en d a dan geldt d a Omdat de laatste eigenschap niet helemaal evident is laten we hem hier nog even zien. Stel namelijk dat a = bd. Omdat a 0 geldt b 0 en dus b 1 (Eigenschap 2.1.4(3)). Vermenigvuldig deze ongelijkheid aan beide zijden met d en we vinden, vanwege Eigenschap 2.1.3(2), dat bd d. Omdat a = bd volgt hiermee onze bewering. Deze eigenschap impliceert dat een getal a 0 slechts eindig veel delers heeft. Er zijn immers slechts eindig veel gehele getallen d zo dat d a. Zoals we weten kunnen we ervoor zorgen dat ieder tweetal getallen 0 op elkaar deelbaar zijn door het systeem van gehele getallen uit te breiden tot de rationale getallen of breuken. Notatie: Q. In dit boek zullen we deze stap niet maken. Getaltheorie blijft een zaak van gehele getallen, hoewel bij sommige onderwerpen ook Q of zelfs de verzameling reële getallen R betrokken wordt. Deling is in Z niet altijd mogelijk en we moeten ons tevreden stellen met een surrogaatdeling die bekend staat als deling met rest. Omdat dit een zeer fundamenteel begrip is maken we er een echte stelling van. Stelling (Deling met rest) Stel a, b Z en b > 0. Dan zijn er gehele getallen q, r zó dat a = bq + r, 0 r < b.
4 2.3. VOLLEDIGE INDUCTIE 9 We noemen q het quotient van de deling van a door b en r de rest. Om de stelling in te zien kiezen we voor q het grootste gehele getal zó dat qb a en voor r kiezen we r = a bq. Omdat q maximaal is moet (q + 1)b groter dan a zijn. Dus qb a < (q +1)b. Trekken we van alle drie termen qb af dan volgt 0 a bq < b. Dus 0 r < b. In deze en voorgaande paragraaf hebben we grofweg alle eigenschappen geformuleerd die we als basis zullen nemen voor het verdere boek. Alle andere eigenschappen van de gehele getallen zullen we, voor zover mogelijk, in de vorm van bewijzen van stellingen uit deze basiseigenschappen afleiden. Het begrip bewijzen is goeddeels uit het middelbare schoolonderwijs verdwenen en vervangen door aanschouwelijke bespiegelingen die het begrip moeten bijbrengen. Voor de lezers die niet zijn grootgebracht in de wiskundige cultuur om beweringen met bewijzen te staven zal het even wennen zijn dat we in dit boek graag deze cultuur nastreven. Hopelijk zal deze lezer op den duur gaan inzien dat een goed bewijs veelal het waarom van een stelling duidelijk naar voren brengt. Een stelling in de wiskunde is niet meer en niet minder dan een uitspraak die het opmerken waard is. Hoe onverwachter de uitspraak, des te mooier de stelling. Echter, een verzameling stellingen is nog geen wiskunde. Het is hooguit voldoende voor mensen die er voor toepassingen gebruik van willen maken. De echte wiskunde schuilt in de ideeën waarmee men tot deze stellingen komt. Daartoe moet men ook de bewijzen van stellingen bestuderen. Een goed bewijs verschaft het inzicht in de juistheid van een stelling. Vaak bestaat dit inzicht uit een onverwachte gedachtengang, door anderen ook wel truc genoemd, waar men misschien zelf nooit op gekomen zou zijn. Het is dit bouwwerk van achterliggende ideeën dat de wiskunde tot wiskunde maakt. Vaak blijkt dat goede ideeën ook in heel andere situaties bruikbaar zijn. Op de hoogte zijn van wiskundige ideeën en ze ook elders kunnen gebruiken is het kenmerk van een goed wiskundige. Na deze ontboezeming over bewijzen is het tijd iets te zeggen over priemgetallen en ontbinding van getallen in priemfactoren. De lezer is misschien gewend om het feit, dat elk getal op unieke manier in priemfactoren te ontbinden is, als fundamenteel te zien. Voorbeelden, 42 = en 54 = Dit feit werd vroeger, en misschien ook nu nog, op de basisschool onderwezen. Daardoor denkt men automatisch dat unieke priemontbinding een vanzelfsprekend feit is en dus ook in ons lijstje van uitgangspunten moet worden opgenomen. Dit is echter niet nodig. Het bestaan en éénduidigheid van priemontbinding is een eigenschap die afgeleid kan worden uit de fundamenten die we reeds in dit hoofdstuk gelegd hebben. Deze afleiding zal in Hoofdstuk 3 gebeuren. 2.3 Volledige inductie Een deel van de bewijzen die we in dit boek uitvoeren gaan via volledige inductie. Dit is een bewijsprincipe dat vaak gebruikt wordt als we een uitspraak willen
5 10 HOOFDSTUK 2. DE REGELS VAN HET SPEL bewijzen die geldig is voor alle natuurlijke getallen. We lichten dit toe aan de hand van een voorbeeld. Gegeven een getal x 1. We willen laten zien dat voor elk natuurlijk getal n de gelijkheid 1 + x + x 2 + x x n = n+1 geldt. We kunnen dit als volgt bewijzen. Om te beginnen geldt (2.1) 1 + x = 2. Dus voor n = 1 geldt onze uitspraak. Nu we dit weten kunnen we ook 1 + x + x 2 uitrekenen, waarbij we het voorgaande resultaat gebruiken. Namelijk, 1 + x + x 2 = 2 + x2 = 2 + x 2 () = 3 Dus voor n = 2 geldt de stelling ook. In de stap naar n = 3 maken we gebruik van het zojuist gevonden resultaat, 1 + x + x 2 + x 3 = 3 + x3 = 3 + x 3 () = 4 Het zojuist gevonden resultaat kunnen we weer gebruiken in de volgende stap, 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 = 4 + x4 = 4 + x 4 () = 5. We zien dat we zo doorgaand ons resultaat voor elk natuurlijk getal n tevoorschijn krijgen. Het is echter alleen vermoeiend om steeds dezelfde soort berekening uit te moeten voeren om van één natuurlijk getal naar het volgende natuurlijke getal te komen. Daarom voeren we deze stap één keer uit, in de vorm van een modelstap. Stel namelijk k 1 en stel dat we weten dat 1 + x + x x k = 1 xk+1. 1 x Anders gezegd, we nemen aan dat de Stelling waar is voor n = k. Dit noemen we de inductiehypothese. Dan volgt daaruit dat 1+x+x 2 + +x k +x k+1 = k+1 +xk+1 = k+1 + x k+1 () = k+2 We zien dat de Stelling nu ook waar is voor n = k+1. Deze stap hebben hierboven expliciet voor k = 1, 2, 3 uitgevoerd. We noemen deze stap de inductiestap. Door deze modelstap te gebruiken voor k = 4, 5,... concluderen we dat onze stelling waar is voor 1 + x + + x 5, 1 + x + + x 6,.... Met andere woorden de stelling is waar voor iedere som 1 + x + + x n. Ter verduidelijking geven we nog een voorbeeld. In het voorwoord hebben we het gehad over de identiteit ( n) 2 = n 3 (2.2)
6 2.3. VOLLEDIGE INDUCTIE 11 die voor alle natuurlijke n geldt. Voor we aan het bewijs beginnen merken we eerst op dat n = n(n + 1) 2 Een bekend verhaal dat aan deze formule vastzit is dat van Gauss toen hij nog schooljongen was. De klas waarin hij zat kreeg bij wijze van strafexercitie de opdracht om alle getallen van 1 tot en met 100 bij elkaar op te tellen. De meeste leerlingen begonnen slaafs met het optelwerk door 2 bij 1 op te tellen, daar weer 3 bij, enzovoort. Alleen Gauss niet. Hij merkte op dat je eerst kunt nemen, daarbij optellen, daarbij , enzovoort. Elk paar heeft som 101. Aangezien je 50 van zulke paren optelt is het antwoord = 5050, hetgeen door de jonge Gauss na korte tijd aan zijn verbaasde leerkracht werd voorgelegd. Natuurlijk werkt het argument van Gauss ook voor de som n. We kunnen het alleen nog iets anders opschrijven. Stel X = n. Merk nu op dat X = (n 2) + (n 1) + n X = n + (n 1) + (n 2) Tellen we deze gelijkheden op, dan vinden we dat 2X som is van de paren (1, n), (2, n 1),..., (n, 1). Elk van deze paren heeft som n + 1 en aangezien er n zulke paren zijn betekent dat dat 2X = n(n + 1). Delen we aan beide zijden door 2 dan krijgen we de formule X = n(n + 1)/2. Om onze gelijkheid ((2.2) aan te tonen moeten we nu laten zien dat n 3 gelijk is aan n 2 (n + 1) 2 /4. Dit gaat niet zo makkelijk als de som van de getallen van 1 tot en met n. We zullen in dit geval volledige inductie naar n gebruiken. Allereerst de initialisatie. Er geldt (1) 2 = 1 3. Onze gelijkheid klopt dus voor het geval n = 1. Nu de inductiehypothese. Stel nu k 1 en neem aan dat onze bewering bewezen is voor het geval dat n = k. Dus k 3 = k 2 (k + 1) 2 /4 Tel nu aan beide zijden (k + 1) 3 op. Links krijgen we de som k 3 + (k + 1) 3 en rechts, k 2 (k + 1) 2 /4 + (k + 1) 3. Om deze laatste som uit te werken merken we op dat beide termen een factor (k + 1) 2 bevatten. Haal deze buiten haakjes, (k+1) 2 (k 2 /4+k+1) De tweede factor tussen haakjes is precies gelijk aan k 2 /4 + k + 1 = (k + 2) 2 /4. We krijgen aan de rechterkant dus (k + 1) 2 (k + 2) 2 /4 en we concluderen dat k 3 + (k + 1) 3 = (k + 1) 2 (k + 2) 2 /4.
7 22 HOOFDSTUK 2. DE REGELS VAN HET SPEL met andere woorden, onze bewering is ook waar voor n = k + 1. Hiermee is onze inductiestap gezet en de formule ((2.2) voor alle n bewezen. Tussen haakjes, nu we bovenstaande formules gezien hebben kan men zich afvragen of er ook formules bestaan voor n 2 of, nog algemener, 1 r + 2 r + + n r met r N willekeurig. Het antwoord is dat voor elke r zo n formule bestaat. Als middelbare scholier heb ik zelf, en ik vermoed ook vele anderen, genoeglijke uurtjes besteed aan het vinden van dergelijke formules. Voor de lezer die het ook eens wil proberen verklap ik al vast dat n 2 = n(n + 1)(2n + 1)/6.
1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12
Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal
Nadere informatieGetaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
Nadere informatieWe beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Nadere informatieNATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN
II NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN Iedereen ent getallen: de natuurlije getallen, N = {0,1,2,3,...}, gebruien we om te tellen, om getallen van elaar af te unnen treen hebben we de gehele getallen,
Nadere informatie7.1 Het aantal inverteerbare restklassen
Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo
Nadere informatieBijzondere kettingbreuken
Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar
Nadere informatiePriemontbinding en ggd s
Hoofdstuk 3 Priemontbinding en ggd s 3.1 Priemgetallen Een getal > 1 dat alleen 1 en zichzelf als positieve deler heeft noemen we een priemgetal. De rij priemgetallen begint als volgt, 2, 3, 5, 7, 11,
Nadere informatieBewijs door inductie
Bewijs door inductie 1 Bewijs door inductie Vaak bestaat een probleem erin aan te tonen dat een bepaalde eigenschap geldt voor elk natuurlijk getal. Als je wilt weten of iets waar is voor alle natuurlijke
Nadere informatieIn Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:
Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel
Nadere informatieFinaletraining Wiskunde Olympiade
Finaletraining Wiskunde Olympiade Birgit van Dalen, Julian Lyczak, Quintijn Puite, Merlijn Staps Voor het schrijven van dit trainingsmateriaal hebben we inspiratie opgedaan uit materiaal van de Rijksuniversiteit
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatie1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen
46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:
Nadere informatieKaternen. regionale training. Finale
Katernen voor de regionale training ten behoeve van de Finale van de Nederlandse Wiskunde Olympiade NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Birgit van Dalen Julian Lyczak Quintijn Puite Katernen voor de
Nadere informatieRSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002
RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven
Nadere informatieOpgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie
Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer Voorwoord 1 Voorwoord Beste leerling, Deze nota s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren Opgeloste
Nadere informatiehandleiding formules
handleiding formules inhoudsopgave inhoudsopgave 2 de grote lijn 3 bespreking per paragraaf 4 applets 4 1 rekenen en formules 4 2 formules maken 4 3 de distributiewet 5 4 onderzoek 5 tijdpad 6 materialen
Nadere informatieVolledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen.
Hoofdstuk 7 Volledige inductie Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen we het volgende: (i) 0 V (ii) k N k V k + 1 V Dan is V = N. Men ziet dit als
Nadere informatie2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen ( 15 x 3 = 45
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
Nadere informatie1 Kettingbreuken van rationale getallen
Kettingbreuken van rationale getallen Laten we eens starten met een breuk bijvoorbeeld 37/3 Laten we hier ons kettingbreuk algoritme op los, We concluderen hieruit dat 37 3 3 + 3 + + 37 3 + + + hetgeen
Nadere informatieHoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties
Hoofdstuk 6 Congruentierekening 6.1 Congruenties We hebben waarschijnlijk allemaal wel eens opgemerkt dat bij vermenigvuldigen van twee getallen de laatste cijfers als het ware meevermenigvuldigen. Stel
Nadere informatiePolynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2
Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van
Nadere informatieII.3 Equivalentierelaties en quotiënten
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde
Nadere informatieJe hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen
Nadere informatieFinaletraining Wiskunde Olympiade
Finaletraining Wiskunde Olympiade Met uitwerkingen Birgit van Dalen, Julian Lyczak, Quintijn Puite, Merlijn Staps Voor het schrijven van dit trainingsmateriaal hebben we inspiratie opgedaan uit materiaal
Nadere informatieAanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran
Aanvulling aansluitingscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de Aansluitingscursus staan. Die onderwerpen zijn: complexe getallen en volledige
Nadere informatieKaternen. regionale training. tweede ronde. Nederlandse Wiskunde Olympiade
Katernen voor de regionale training ten behoeve van de tweede ronde van de Nederlandse Wiskunde Olympiade NEDERLANDSE WISKUNDE OLYMPIADE Birgit van Dalen Julian Lyczak Quintijn Puite Inhoudsopgave Katern
Nadere informatieIMO-selectietoets I woensdag 5 juni 2013
IMO-selectietoets I woensdag 5 juni 201 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Vind alle viertallen (a, b, c, d) van reële getallen waarvoor geldt ab + c + d =, bc + d + a = 5, cd
Nadere informatieFinaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade
NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade Met uitwerkingen Birgit van Dalen, Julian Lyczak, Quintijn Puite Dit trainingsmateriaal is deels gebaseerd op materiaal
Nadere informatieOpmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen
Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,
Nadere informatieCombinatoriek groep 1
Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Getallenrijen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een directe formule geeft a n in
Nadere informatieSelectietoets vrijdag 9 maart 2018
Selectietoets vrijdag 9 maart 2018 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. We hebben 1000 ballen in 40 verschillende kleuren, waarbij er van elke kleur precies 25 ballen zijn. Bepaal
Nadere informatieWiskundige beweringen en hun bewijzen
Wiskundige beweringen en hun bewijzen Analyse (en feitelijk de gehele wiskunde) gaat over het bewijzen van beweringen (proposities), d.w.z. uitspraken waaraan de karakterisering waar of onwaar toegekend
Nadere informatieI.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Nadere informatieAanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran
Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch) staan. Die
Nadere informatieOPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN
OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal
Nadere informatieWillem van Ravenstein
Willem van Ravenstein 1. Variabelen Rekenen is het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken je de bewerkingen machtsverheffen en worteltrekken.
Nadere informatie1 Complexe getallen in de vorm a + bi
Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...
Nadere informatieOver de construeerbaarheid van gehele hoeken
Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:
Nadere informatieEnkele valkuilen om te vermijden
Enkele valkuilen om te vermijden Dit document is bedoeld om per onderwerp enkele nuttige strategieën voor opgaven te geven. Ook wordt er op een aantal veelgemaakte fouten gewezen. Het is géén volledige
Nadere informatie1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3
HOOFDSTUK 6: RIJEN 1 Limiet van een rij 2 1.1 Het begrip rij 2 1.2 Bepaling van een rij 2 1.2.1 Expliciet voorschrift 2 1.2.2 Recursief voorschrift 3 1.2.3 Andere gevallen 3 1.2.4 Rijen met de grafische
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 februari 2009 INDUCTIE & RECURSIE Paragrafen 4.3-4.6 Discrete Structuren Week 3:
Nadere informatieGeldwisselprobleem van Frobenius
Geldwisselprobleem van Frobenius Karin van de Meeberg en Dieuwertje Ewalts 12 december 2001 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Afspraken 3 3 Is er wel zo n g? 3 4 Eén waarde 4 5 Twee waarden 4 6 Lampenalgoritme
Nadere informatie2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
Nadere informatieGetallen 2. Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 2
Getallen 2 Getallen 2 bestrijkt de uitbreiding van de basisvaardigheden van het rekenen, regels en vaardigheden die in het vmbo en de onderbouw van havo/vwo worden aangeleerd, geoefend en toegepast. Doelgroep
Nadere informatieUitwerkingen toets 12 juni 2010
Uitwerkingen toets 12 juni 2010 Opgave 1. Bekijk rijen a 1, a 2, a 3,... van positieve gehele getallen. Bepaal de kleinst mogelijke waarde van a 2010 als gegeven is: (i) a n < a n+1 voor alle n 1, (ii)
Nadere informatieGetaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)
Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen
Nadere informatieDe partitieformule van Euler
De partitieformule van Euler Een kennismaking met zuivere wiskunde J.H. Aalberts-Bakker 29 augustus 2008 Doctoraalscriptie wiskunde, variant Communicatie en Educatie Afstudeerdocent: Dr. H. Finkelnberg
Nadere informatieRekenen met cijfers en letters
Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatiekwadratische vergelijkingen
kwadratische vergelijkingen In deze paragraaf: 'exact berekenen van oplossingen', 'typen kwadratische vergelijkingen' en 'de abc-formule en de discriminant'. de abc-formule Voor een tweedegraads vergelijking
Nadere informatieGetal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429)
Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429) - een lijst met operationele en concrete doelen van de lessenserie, indien mogelijk gerelateerd
Nadere informatieinhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2
handleiding algebra inhoudsopgave Inhoudsopgave 2 De grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 1 Routes in een rooster 4 2 Oppervlakte in een rooster 4 3 Producten 4 4 Onderzoek 5 Tijdpad 9 Materialen voor
Nadere informatieDe n-dimensionale ruimte Arjen Stolk
De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk In het vorige college hebben jullie gezien wat R 2 (het vlak) is. Een vector v R 2 is een paar v = (x,y) van reële getallen. Voor vectoren v = (a,b) en w = (c,d) in
Nadere informatieWiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4
Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen
Nadere informatieOefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Nadere informatieSelectietoets vrijdag 10 maart 2017
Selectietoets vrijdag 10 maart 2017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Zij n een even positief geheel getal. Een rijtje van n reële getallen noemen we volledig als voor elke gehele
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De
Nadere informatieCover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/887/25833 holds various files of this Leiden University dissertation Author: Palenstijn, Willem Jan Title: Radicals in Arithmetic Issue Date: 204-05-22 Samenvatting
Nadere informatieHoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen
Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan
Nadere informatieHoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten
Hoofdstuk 12 Sommen van kwadraten 12.1 Sommen van twee kwadraten In Hoofdstuk 11 hebben we gezien dat als p een oneven priemdeler van a 2 + b 2 is, en p deelt niet zowel a als b, dan is p gelijk aan 1
Nadere informatieBEWIJZEN EN REDENEREN
BEWIJZEN EN REDENEREN voor Bachelor of Science in Fysica en Wiskunde Academiejaar 2012/2013 Arno KUIJLAARS Departement Wiskunde, Katholieke Universiteit Leuven, Celestijnenlaan 200 B, 3001 Heverlee Inhoudsopgave
Nadere informatiePriemgetallen en de rij van Fibonacci, Vier artikelen voor het tijdschrift Pythagoras
Priemgetallen en de rij van Fibonacci, Vier artikelen voor het tijdschrift Pythagoras Bart Zevenhek 0 februari 008 Samenvatting In deze vier artikelen wordt ingegaan op enkele getaltheoretische eigenschappen
Nadere informatie2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.
Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt
Nadere informatieIn Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:
Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 Extremenprincipe 6 3 Ladenprincipe 11 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van
Nadere informatieUitwerkingen Rekenen met cijfers en letters
Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatieVerzamelingen. Hoofdstuk 5
Hoofdstuk 5 Verzamelingen In de meest uiteenlopende omstandigheden kan het handig zijn om een stel objecten, elementen, of wat dan ook, samen een naam te geven. Het resultaat noemen we dan een verzameling.
Nadere informatieGetallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte
Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal
Nadere informatieSelectietoets vrijdag 18 maart 2016
Selectietoets vrijdag 18 maart 016 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Voor een positief geheel getal n dat geen tweemacht is, definiëren we t(n) als de grootste oneven deler van
Nadere informatie1 Rekenen met gehele getallen
1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9
Nadere informatieOpgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep.
Opgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht
Nadere informatieGetaltheorie groep 3: Primitieve wortels
Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Trainingsweek juni 2008 Inleiding Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als ord m (a) = min { n Z + a n 1 (mod m) }. De verzameling
Nadere informatieGödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3
Gödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3 Koen Rutten, Aris van Dijk 30 mei 2007 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 2 1.1 Definitie................................ 2 1.2 Eigenschappen............................
Nadere informatieHoofdstuk 16. De vergelijking van Pell De oplossing. Stel dat N N geen kwadraat is. Beschouw de vergelijking. x 2 Ny 2 = 1
Hoofdstuk 16 De vergelijking van Pell 16.1 De oplossing Stel dat N N geen kwadraat is. Beschouw de vergelijking x Ny = 1 in de onbekenden x, y Z 0. We noemen dit soort vergelijking de vergelijking van
Nadere informatieDe telduivel. Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen
De telduivel Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen Een praktische opdracht voor leerlingen van 5VWO met wiskunde B DE TELDUIVEL Inleiding Wiskunde? Hou op zeg! Voor
Nadere informatieGroepen, ringen en velden
Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.
Nadere informatie7.0 Voorkennis. Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden.
7.0 Voorkennis Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden. Voorbeeld definitie: Een gestrekte hoek is een hoek van 180 ; Een rechte hoek is een hoek van 90 ; Een parallellogram is een vierhoek
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30 Auditorium L.00.07 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatieVoorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214
Open Inhoud Universiteit Appendix A Wiskunde voor milieuwetenschappen Voorkennis getallenverzamelingen en algebra Introductie Leerkern Natuurlijke getallen Gehele getallen 8 Rationele getallen Machten
Nadere informatie1 Rekenen in eindige precisie
Rekenen in eindige precisie Een computer rekent per definitie met een eindige deelverzameling van getallen. In dit hoofdstuk bekijken we hoe dit binnen een computer is ingericht, en wat daarvan de gevolgen
Nadere informatieFormeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen
Formeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen (29/01/15) 1. Benader de betekenis van de volgende Nederlandse zin zo goed mogelijk (6 punten) door een formule van de propositielogica: Als het regent word ik
Nadere informatie3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Nadere informatieGetallen 2. Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 2. Omschrijving Rekenen en Wiskunde Getallen 2
Getallen 2 Getallen 2 bestrijkt de uitbreiding van de basisvaardigheden van het rekenen, regels en vaardigheden die in het vmbo en de onderbouw van havo/vwo worden aangeleerd, geoefend en toegepast. Doelgroep
Nadere informatieUniversiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr.
Universiteit Gent Academiejaar 2001 2002 Discrete Wiskunde 1ste kandidatuur Informatica Collegenota s Prof. Dr. Frank De Clerck Herhalingsoefeningen 1. Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van
Nadere informatieCombinatoriek groep 2
Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een
Nadere informatieVERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN
I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN Het begrip verzameling kennen we uit het dagelijks leven: een bibliotheek bevat een verzameling van boeken, een museum een verzameling van kunstvoorwerpen. We kennen verzamelingen
Nadere informatieV.2 Limieten van functies
V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de
Nadere informatieDefinitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat:
Hoofdstuk 1 Eerste begrippen 1.1 Wat is een groep? Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat: 1. a, b G : a b G 2. a, b, c G : a (b c) = (a b) c = a
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 9 februari 2009 INLEIDING
Discrete Structuren Piter Dystra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 9 februari 2009 INLEIDING Discrete Structuren Wee1: Inleiding Onderwerpen Elementaire
Nadere informatieHoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen
Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1
Nadere informatieGehelen van Gauss. Hector Mommaerts
Gehelen van Gauss Hector Mommaerts 2 Hoofdstuk 1 Definities Gehelen van Gauss zijn complexe getallen van de vorm a + bi waarbij a, b Z. De verzameling van alle gehelen van Gauss noteren we met Z(i). Dus
Nadere informatie(iii) Enkel deze bundel afgeven; geen bladen toevoegen, deze worden toch niet gelezen!
Examen Wiskundige Basistechniek, reeks A 12 oktober 2013, 13:30 uur Naam en Voornaam: Lees eerst dit: (i) Naam en voornaam hierboven invullen. (ii) Nietje niet losmaken. (iii) Enkel deze bundel afgeven;
Nadere informatieCover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/20310 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Jansen, Bas Title: Mersenne primes and class field theory Date: 2012-12-18 Samenvatting
Nadere informatieInzien en Bewijzen. Jan van Eijck en Albert Visser. Noordwijkerhout, 4 februari Samenvatting
Inzien en Bewijzen Jan van Eijck en Albert Visser albert@phil.uu.nl, jve@cwi.nl Noordwijkerhout, 4 februari 2005 Samenvatting In maart 2005 verschijnt bij Amsterdam University Press Inzien en Bewijzen,
Nadere informatieMETA-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen
META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek
Nadere informatieMin maal min is plus
Min maal min is plus Als ik een verontruste wiskundeleraar moet geloven, is de rekenregel voor het product van twee negatieve getallen nog steeds een probleem. Hessel Pot schreef me: waarom willen we dat
Nadere informatieIntroductie tot de p-adische getallen
Introductie tot de p-adische getallen Profielwerkstuk Junior College Utrecht Lars van den Berg, Joep van den Hoven, Linda van der Spaa Onder begeleiding van dr. R.W. Bruggeman 26 februari 2010 1 1 Laatst
Nadere informatieKettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1
Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking
Nadere informatieDE basis. Wiskunde voor de lagere school. Jeroen Van Hijfte en Nathalie Vermeersch. Leuven / Den Haag
DE basis Wiskunde voor de lagere school Jeroen Van Hijfte en Nathalie Vermeersch Acco Leuven / Den Haag Inhoud GETALLENKENNIS 13 1 Getallen 13 2 Het decimale talstelsel 14 3 Breuken 16 Begrippen 16 Soorten
Nadere informatieIII.3 Supremum en infimum
III.3 Supremum en infimum Zowel de reële getallen als de rationale getallen vormen geordende lichamen. Deze geordende lichamen zijn echter principieel verschillend. De verzameling R is bijvoorbeeld aanzienlijk
Nadere informatie