3.2 Vectoren and matrices

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "3.2 Vectoren and matrices"

Transcriptie

1 we c = 6 c 2 = c 3 = c 4 = c 5 = c 6 = Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden, niet strijdig is De volgende secties geven een samenvatting van de theorie van stelsels lineaire vergelijkingen 32 Vectoren and matrices Het stelsel vergelijkingen ( is een voorbeeld van een algemeen stelsel van n lineaire vergelijkingen met n onbekenden: ( a c + a 2 c a n c n = b a 2 c + a 22 c a 2n c n = b 2 a n c + a n2 c a nn c n = b n De coëfficiënten a ij van dit stelsel kunnen verzameld worden in een vierkante tabel die we een matrix noemen: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = a n a n2 a nn De matrix heeft n rijen and n kolommen De onbekende coëfficiënten c j en de gegeven getallen b k zetten we ook in matrices met één kolom: c b c 2 c = en b = b 2 c n b n Men spreekt dan van een n n matrix A en van n matrices c en b Matrices met slechts één kolom worden vaak vectoren genoemd; vectoren met n elementen worden veelal aangeduid als n-vectoren Een n m matrix heeft n rijen and m kolommen De getallen in de matrix noemen we elementen; het element in de i-de rij en in de j-de kolom duiden we aan met a ij Elementen met gelijk rij- en kolomnummer (dat wil zeggen op de diagonaal van linksboven naar rechtsonder noemt men de diagonaalelementen Als alle elementen beneden de diagonaalelementen gelijk aan nul zijn, heet de matrix een bovendriehoeksmatrix Als alle elementen boven de diagonalelementen gelijk aan nul zijn, heet de matrix een benedendriehoeksmatrix Elementen van een vector heten ook componenten We willen ( als één vergelijking herschrijven, namelijk ( Ac = b 49

2 Hoofdstuk 3 STELSELS VAN LINEAIRE VERGELIJKINGEN Definitie 3 Het produkt Ax van een n n matrix A = a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a n a n2 a nn met een n-vector x x 2 x = x n is een n-vector y = zo dat y i = y y 2 y n a ij x j, i =, 2,,n j= Met deze definitie is de vergelijking ( gelijkwaardig met het stelsel vergelijkingen ( ; Ax = y is de korte vorm van a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a n a n2 a nn Voorbeeld = x x 2 x n = Bijvoorbeeld het tweede element in de rechtervector (32 volgt uit de vermenigvuldiging van de tweede rij van de matrix met de linkervector: = y y 2 y n 5 {}} { =32

3 33 Het matrixprodukt Door het vermenigvuldigen met een andere matrix van het matrix-vector produkt, ontstaat er het begrip van een produkt van twee matrices Sectie 33 HET MATRIXPRODUKT Definitie 32 Het produkt van twee n n matrices A en B is een n n matrix C, zo dat Cx = A(Bx voor alle n-vectoren x Notatie: C = AB Stelling 33 Zijn a ij de elementen van een n n matrix A en b ij de elementen van een n n matrix B, dan zijn de elementen van het matrixprodukt C = AB gegeven door c ik = a ij b jk, i,k =, 2,,n j= Om deze formule te onthouden, merken we op dat het element c ik van de produktmatrix C ontstaat als het produkt van de i-de rij van A met de k-de kolom van B Bijvoorbeeld, om c te vinden moeten we de elementen in de eerste rij van A met de corresponderende elementen in de eerste kolom van B vermenigvuldigen en dan de resultaten optellen: a a 2 a n b b 2 b n = c Merk op dat we in de definitie 3 ook de produkten maken van de rijen van A met de één-kolomsmatrix (vector b Voorbeeld 33 ( ( = ( Bewijs van stelling 33 Zij y = Bx Wegens definitie 3, hebben we y j = b jk x k, j =, 2,,n k= 2 Als z = Ay, dan geeft dezelfde definitie: z i = a ij y j, i =, 2,,n j= 3 Substitueren van regel in regel 2, geeft z i = a ij b jk x k k= j= 4 Dus z i = c ik x k, k= 5

4 Hoofdstuk 3 STELSELS VAN LINEAIRE VERGELIJKINGEN Kader 32: EEN KETEN VAN MATRICES VERMENIGVULDIGEN Matrixvermenigvuldiging is niet commutatief (de regel A B = B A geldt niet, maar wel associatief: (A B C = A (B C A (B (C D A ((B C D (A B (C D ((A B C D (A (B C D Dit betekent, dat je een product als A B C D op vijf manieren kunt uitrekenen (tabel; de uitkomst van de vijf berekeningen is gelijk, maar de kosten van het uitvoeren niet! Wanneer je namelijk een k l matrix en een l m matrix vermenigvuldigt, kost dat klm vermenigvuldigingen en het resultaat is een k m matrix Is nu bijvoorbeeld A een 3 matrix, B een 5 matrix en C een 5 2 matrix, dan kost A (B C je 6 vermenigvuldigingen (ga na! en (A B C kost 45 vermenigvuldigingen Het is een lastige, maar leerzame en interessante probleemstelling om bij een gegeven rij matrices de meest efficiënte volgorde van vermenigvuldigen te vinden Zie T Cormen, C Leiserson, R, Rivest, Introduction to Algorithms, MIT Press, 99 (Hoofdstuk 6 waarin c ik = a ij b jk j= Hiermee is de stelling bewezen Als n >, dan is in het algemeen AB BA Dus de volgorde in het vermenigvuldigen van de matrices is belangrijk Voorbeeld 34 Neem twee matrices: ( ( 2 A =, B = 2 Dan geldt AB = ( Het is evident dat AB BA ( 5 3, BA = 34 Inverse matrix Definitie 34 Een n n matrix B heet de inverse matrix van de n n matrix A, als B(Ax =x voor iedere n-vector x Notatie: B = A Als A bestaat, heet de matrix A inverteerbaar 52 Definitie 35 De n n matrix E = heet de eenheidsmatrix

5 Merk op, dat alle elementen van E behalve de diagonaalelementen gelijk aan nul zijn De diagonaalelementen zijn gelijk aan E heeft de volgende eigenschappen: E = E, AE = EA = A, voor iedere matrix A, en A A = E voor iedere inverteerbare matrix A Wanneer A inverteerbaar is, kunnen we de oplossing van het lineaire stelsel Ac = b door het vermenigvuldigen van beide zijden met A schrijven als c = A b voor iedere n-vector b Dit volgt uit: AC = b A AC = A b EC = A b C = A b Sectie 34 INVERSE MATRIX Anderzijds, bestaat de oplossing c voor ieder rechterlid b, dan is à = A de enige matrix waarvoor c = Ãb Anders gezegd, zijn de coëfficiënten ã ij voor b j in de formule c i = ã ij b j, i =, 2,,n, j= gelijk aan de elementen van de matrix A Voorbeeld 35 Iedere bovendriehoeksmatrix met alle diagonaalelementen niet gelijk aan nul u u 2 u 3 u n u 22 u 23 u 2n U = u nn is inverteerbaar De componenten x i van de oplossing x van het bijbehorende lineaire stelsel Ux = y kunnen berekend worden voor iedere y met de formules x n = u nn y n, x n = u (y n u (n (n (n n x n, x = u (y u 2 x 2 u 3 x 3 u n x n, waarin alleen reeds bekende x i zijn gebruikt in iedere volgende formule Als we de substituties maken en de coëfficiënt voor y j in de vergelijking voor x i verzamelen, krijgen we het ij-de element van U Doe dit zelf voor n =2 en 3 Merk op dat in de formule voor x alle y,y 2,,y n voorkomen, in de formule voor x 2 komen y 2,,y n voor (maar geen y, in de formule voor x 3 komen y 3,,y n voor (maar geen y of y 2, enz Uiteindelijk hangt x n alleen maar van y n af Dit betekent dat U ook een bovendriehoeksmatrix is Op dezelfde manier bewijzen we dat iedere benedendriehoeksmatrix L met alle diagonaalelementen niet gelijk aan nul inverteerbaar is, en dat L ook een benedendriehoeksmatrix is 53

6 Hoofdstuk 3 STELSELS VAN LINEAIRE VERGELIJKINGEN Stelling 36 Zijn A en B n n boven-/benedendriehoeksmatrices met alle diagonaalelementen niet gelijk aan nul, dan zijn ook A en C = AB boven- /benedendriehoeksmatrices met alle diagonaalelementen niet gelijk aan nul Bewijs Het feit dat A een bovendriehoeksmatrix is, als A een bovendriehoeksmatrix is, volgt uit voorbeeld 35 2 Als we de rijen van een bovendriehoeksmatrix A met de kolommen van een andere bovendriehoeksmatrix B vermenigvuldigen (zie stelling 33, krijgen we slechts nullen onder de diagonaalelementen van C en c ii = a ii b ii voor zijn diagonaalelementen 3 Benedendriehoeksmatrices gaan analoog 35 Getransponeerde matrix Definitie 37 De getransponeerde matrix, notatie A T, van de matrix A is de matrix waarvan de kolommen worden gevormd door de rijen van A Voorbeeld 36 Als ( 2 3 A = dan is A T = Voorbeeld 37 Als A = ( dan is A T = Als A afmetingen m n heeft, dan heeft A T afmetingen n m en element a ij van matrix A is element a T ji van AT Voor symmetrische matrices geldt daarom A T = A Zonder bewijs vermelden we de volgende rekenregels: (A T T = A (A + B T = A T + B T (AB T = B T A T 54 (A T =(A T

7 36 Optelling en scalaire vermenigvuldiging van matrices Definitie 38 Zij λ een reëel getal Dan is het produkt van λ met een n-vector x gedefinieerd door λx λx 2 λx = λx n Zijn x en y twee n-vectoren, dan is de som van x en y gedefinieerd door x + y x 2 + y 2 x + y = x n + y n Sectie 36 OPTELLING EN SCALAIRE VERMENIGVULDIGING VAN MATRICES Optelling en scalaire vermenigvuldiging gaan dus componentgewijs Uit het produkt van een n-vector met λ =, krijgen we de zogenaamde nulvector: = In aanvulling op de definities 32 and 34, kunnen we λa and A + B introduceren Definitie 39 Het produkt van een reëel getal λ met een n n matrix A is een n n matrix λa, zo dat (λax = λ(ax voor alle n-vectoren x De som van n n matrices A en B is een n n matrix A + B, zo dat (A + Bx = Ax + Bx voor alle n-vectoren x Uit deze definitie blijkt dat de matrix λa ontstaat door het vermenigvuldigen van de overeenkomstige elementen van A met λ, terwijl de matrix A + B ontstaat door de overeenkomstige elementen van A en B bij elkaar op te tellen Optelling en scalaire vermenigvuldiging van matrices gaan dus elementsgewijs Voorbeeld 38 ( ( ( ( ( = = In de context van matrices en vectoren wordt een dergelijk getal meestal een scalar genoemd 55

8 Hoofdstuk 3 STELSELS VAN LINEAIRE VERGELIJKINGEN Noem O de nulmatrix: O = Ten aanzien van de optelling en vermenigvuldiging gedraagt de verzameling van alle n n matrices zich in veel opzichten zoals de reële getallen De nulmatrix O en de eenheidsmatrix E spelen de rol van en, respectievelijk De matrixoperaties hebben de volgende eigenschappen: Stelling 3 ( A + B = B + A; (2 (A + B+C = A +(B + C; (3 (ABC = A(BC; (4 A(B + C =AB + AC; (5 A + O = A; (6 OA = AO = O; (7 Voor iedere A is er één matrix B waarvoor A + B = O; (8 AE = EA = A, waarin E de eenheidsmatrix is Ga de uitspraken ( (7 zelf na! Toch is er een groot verschil tussen de matrices en de reële getallen: In het algemeen geldt AB BA (zie voorbeeld 34! Ook heeft niet elke n n matrix A O een inverse 37 Gausseliminatie en matrices Een systematische methode om een stelsel lineaire vergelijkingen op te lossen is Gausseliminatie Voorbeeld 39 Beschouw het volgende stelsel lineaire vergelijkingen c c 2 + c 3 c 4 = 3, c =, c + c 2 + c 3 + c 4 =, c + 2c 2 + 4c 3 + 8c 4 = 3 Trek de eerste vergelijking van de tweede, derde en vierde vergelijking af We krijgen zo een stelsel dat gelijkwaardig (equivalent is met het oorspronkelijke stelsel vergelijkingen: c c 2 + c 3 c 4 = 3, c 2 c 3 + c 4 = 2, 2c 2 + 2c 4 = 4, 3c 2 + 3c 3 + 9c 4 = 6, 56 waarin de eerste onbekende c verwijderd is uit alle vergelijkingen behalve de eerste

9 Door de tweede vergelijking in het nieuwe stelsel twee keer van de derde vergelijking en drie keer van de vierde af te trekken krijgen we c c 2 + c 3 c 4 = 3, c 2 c 3 + c 4 = 2, 2c 3 =, 6c 3 + 6c 4 = Sectie 37 GAUSSELIMINATIE EN MATRICES Trek de derde vergelijkig drie keer van de vierde vergelijking af Dit geeft het stelsel met de bovendriehoeksmatrix: c c 2 + c 3 c 4 = 3, c 2 c 3 + c 4 = 2, 2c 3 =, 6c 4 = Uit de laatste twee vergelijkingen blijkt dat c 4 = c 3 = Dan implicieert de tweede vergelijking c 2 = 2+c 3 c 4 = 2 Tenslotte geeft de eerste vergelijking c =3+c 2 c 3 + c 4 =3 2= Dus alle onbekende variabelen c i zijn gevonden Het bovenstaande is een voorbeeld van Gausseliminatie, een proces waarbij successievelijk variablen uit vergelijkingen worden geëlimineerd tot een bovendriehoeksvorm overblijft Vanuit deze vorm kan door substitutie snel de oplossing van het oorspronkelijke stelsel worden gevonden Het is interessant om naar Gausseliminatie te kijken vanuit de invalshoek van matrices Beschouw een algemeen stelsel van n lineaire vergelijkingen: (X a c + a 2 c a n c n = b a 2 c + a 22 c a 2n c n = b 2 a n c + a n2 c a nn c n = b n en veronderstel dat a (verwissel anders de eerste vergelijking met een vergelijking waarin de coëfficiënt voor x niet gelijk aan nul is Laat de eerste vergelijking onveranderd, maar vermenigvuldig hem nu in gedachten (of op een kladblaadje met m 2 = a 2 a en trek het resultaat van de tweede vergelijking af, vermenigvuldig de eerste vergelijking met m 3 = a 3 a en trek het resultaat van de derde vergelijking af, enz Vermenigvuldig tenslotte de eerste vergelijking met m n = a n a 57

10 Hoofdstuk 3 STELSELS VAN LINEAIRE VERGELIJKINGEN en trek het resultaat van de laatste vergelijking af Zo krijgen we een gelijkwaardig stelsel A c = b : a c +a 2 c a n c n = b a 22c a 2nc n = b (X 2 a n2c a nnc n = b n, waarin a ij = a ij m i a j,b i = b i m i b, i,j =2, 3,,n Het blijkt dat de matrices van de lineaire stelsels (X en (X voldoen aan de vergelijking A = MA, waarin M een benedendriehoeksmatrix is met alle diagonaalelementen niet gelijk aan nul: m 2 M = m n Het is duidelijk dat b = Mb Dus ontstaat het stelsel A c = b uit het stelsel Ac = b door het produkt met de benedendriehoeksmatrix M Merk op dat alle diagonaalelementen van M gelijk aan zijn Als a 22, kan de eliminatie herhaald worden met behulp van de tweede vergelijking in (X Dit is equivalent met de vermenigvuldiging van A c = b met een andere benedendriehoeksmatrix met alle diagonaalelementen niet gelijk aan nul: M m 32 =, m n2 waarin m i2 = a i2 a, i =3, 4,,n 22 Dus het oorspronkelijk stelsel Ac = b is equivalent met A c = b waarin A = M MA en b = M Mb Met Stelling 36, is M M weer een benedendriehoeksmatrix met alle diagonaalelementen niet gelijk aan nul (alle gelijk aan Als alle bijbehorende noemers niet gelijk aan nul zijn, zien we uiteindelijk dat het stelsel Ac = b equivalent is met het stelsel LAc = Lb, 58 waarin L = M M een benedendriehoeksmatrix is met alle diagonaalelementen niet gelijk aan nul

11 De matrix U = LA van dit stelsel is een bovendriehoeksmatrix met alle diagonaalelementen niet gelijk aan nul Dus bestaat U en het produkt U x kan gemakkelijk berekend worden voor iedere n-vector x als in voorbeeld 35 (zonder het expliciete berekenen van de elementen van U Sectie 38 VRAAGSTUKKEN Stelling 36 impliceert dat L ook een benedendriehoeksmatrix is met alle diagonaalelementen niet gelijk aan nul Nu kunnen we LA = U herschrijven als A = L U, die de LU-decompositie van A wordt genoemed In dit geval is de matrix A herschreven als het produkt van een benedendriehoeksmatrix B = L en een bovendriehoeksmatrix U Dus is de eenvoudige Gausseliminatie equivalent met de LU-decompositie van de matrix van het stelsel Natuurlijk kan bijvoorbeeld a 22 gelijk aan nul zijn In dit geval verwisselen we twee van de laatste n vergelijkingen in (X zodat de eliminatie verder kan gaan, enz Men noemt deze Gausseliminatie met rijverwisseling de LUP -decompositie, waarin P permutatie betekent (of pivot Het kan gebeuren dat er geen diagonaalelementen meer bestaan In dit geval stopt de eliminatie als de laatste rijen in de matrix alleen maar nullen bevatten Opmerking Het gebruik van matrixnotatie bij Gausseliminatie (en bij andere formuleringen die stelsels van vergelijkingen bevatten in plaats van het volledig uitschrijven van het stelsel maakt het geheel vaak overzichtelijker Voorbeeld 39 aan het begin van deze sectie ziet er bijvoorbeeld als volgt uit: c c 2 c 3 c 4 = 2 c c 2 c 3 c 4 = c c 2 c 3 c 4 c c 2 c 3 c 4 c c 2 c 3 c 4 = = = Vraagstukken vr3 Gegeven zijn de 2 2 matrices A en B en de 2-vectoren x en y, ( ( ( ( 2 3 A =,B=,x=,y=

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Matrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten.

Matrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Definitie Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Voorbeelden De coëfficiëntenmatrix of aangevulde matrix bij een stelsel lineaire vergelijkingen. Een rij-echelonmatrix

Nadere informatie

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper

Nadere informatie

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 6 26 september 2016 1 Hoofdstuk 3.1 en 3.2 Matrix operaties Optellen van matrices Matrix vermenigvuldigen met een constante Matrices vermenigvuldigen Machten

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12)

Lineaire Algebra (2DD12) Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

Blokmatrices. , I 21 = ( 0 0 ) en I 22 = 1.

Blokmatrices. , I 21 = ( 0 0 ) en I 22 = 1. Blokmatrices Soms kan het handig zijn een matrix in zogenaamde blokken op te delen, vooral als sommige van deze blokken uit louter nullen bestaan Berekeningen kunnen hierdoor soms aanzienlijk worden vereenvoudigd

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie

De inverse van een matrix

De inverse van een matrix De inverse van een matrix Laat A een n n matrix zijn. Veronderstel dat de matrixvergelijking A X = I n de oplossing X = C heeft. Merk op dat [ A I n ] rijoperaties [ I n C ] [ I n A] inverse rijoperaties

Nadere informatie

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014 Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen? In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.

Nadere informatie

Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen

Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen

Nadere informatie

Functies van vectoren

Functies van vectoren Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3. ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding

Nadere informatie

Determinanten. , dan is det A =

Determinanten. , dan is det A = Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is

Nadere informatie

Determinanten. Definities en eigenschappen

Determinanten. Definities en eigenschappen Determinanten Definities en eigenschappen Definities (korte herhaling) Determinant van een 2x2-matrix: a b ad bc c d S. Mettepenningen Determinanten 2 Definities (korte herhaling) Determinant van een 3x3-matrix:

Nadere informatie

Matrices en Grafen (wi1110ee)

Matrices en Grafen (wi1110ee) Matrices en Grafen (wi1110ee) Electrical Engineering TUDelft September 1, 2010 September 1, 2010 Inleiding Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http:

Nadere informatie

Supplement Wiskunde 2017/2018. Inhoudsopgave

Supplement Wiskunde 2017/2018. Inhoudsopgave Inhoudsopgave Hoofdstuk 1: Missende stof in de verslagen... 2 Hoofdstuk 2: Overbodige stof in de verslagen... 7 Hoofdstuk 3: Fouten in de verslagen... 8 Tentamen halen? www.rekenmaarverslagen.nl 1 Hoofdstuk

Nadere informatie

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 1. Zi (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte en veronderstel dat U en W deelruimten van V zin. Toon aan dat 2. Waar of fout? Argumenteer e antwoord.

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft

Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten Joost de Groot Les 5 1 Technische Universiteit Delft Doel van deze les Determinanten ben je al tegengekomen bij de behandeling van het in en het uitwendig

Nadere informatie

Geadjungeerde en normaliteit

Geadjungeerde en normaliteit Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b, UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 : Determinanten

Hoofdstuk 3 : Determinanten (A5D) Hoofdstuk 3 : Determinanten Les : Determinanten Definitie 3. De determinant van de [2 x 2]-matrix A = ( a c det(a) = ad bc. b ) is een getal met waarde d a b Notatie : det(a) = = ad bc c d Voorbeeld

Nadere informatie

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T

Nadere informatie

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Lineaire algebra (versie 15 september 2008)

Zomercursus Wiskunde. Lineaire algebra (versie 15 september 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Lineaire algebra (versie 15 september 2008) 2 Lineaire algebra Deze module wordt zowel gegeven in het A-programma als in het B-programma van de zomercursus

Nadere informatie

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen. Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.

Nadere informatie

Ruimtemeetkunde deel 1

Ruimtemeetkunde deel 1 Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen

Nadere informatie

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 Familienaam:....................................................................... Voornaam:.........................................................................

Nadere informatie

Stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte

Nadere informatie

OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010

OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 1. Zij V een vectorruimte en A = {v 1,..., v m } een deelverzameling van m vectoren uit V die voortbrengend is voor V, m.a.w. V = A.

Nadere informatie

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire

Nadere informatie

Linalg.nb 1. Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes!

Linalg.nb 1. Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes! Linalg.nb Lineaire Algebra Andr Heck AMSTEL Instituut, Universiteit van Amsterdam Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes! Å Introductie

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 16 Lineaire algebra B (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 16 Lineaire algebra B (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 16 Lineaire algebra B (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Vectoren in R n en matrices 1 2 Lineaire stelsels 11 21 Formulering en interpretatie

Nadere informatie

1 Stelsels lineaire vergelijkingen.

1 Stelsels lineaire vergelijkingen. Stelsels lineaire vergelijkingen Ter herinnering: in de tweede klas Havo/Atheneum leer je twee vergelijkingen met twee onbekenden oplossen Voorbeeld: { x + y = 5 x + y = 0 Twee keer de eerste vergelijking

Nadere informatie

Vectorruimten en deelruimten

Vectorruimten en deelruimten Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Inleiding in de lineaire algebra

Inleiding in de lineaire algebra Inleiding in de lineaire algebra (SV.9) W.Oele P.J. den Brok 6 maart 4 Inleiding De cursus lineaire algebra bestaat uit een aantal colleges in de matrix- en de vectorrekening. De colleges over en de oefenopdrachten

Nadere informatie

Unitaire en Hermitese transformaties

Unitaire en Hermitese transformaties Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het

Nadere informatie

Ruimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud

Ruimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud college 6 en lineaire collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 6 9 juni 27 3 2 3 van een matrix Toepassing: oppervlakte en inhoud.6-7[6] vandaag van de 2 2-matrix a b c d is gelijk aan ad bc.

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.

Nadere informatie

2. Transformaties en matrices

2. Transformaties en matrices Transformaties en matrices Lineaire afbeelding Onder een lineaire afbeelding van R n naar R m verstaan we een functie A die aan iedere vector uit R n een vector uit R m toevoegt en van het volgende type

Nadere informatie

4.0 Voorkennis [1] Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij.

4.0 Voorkennis [1] Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij. 3x4 y26 4x y3 4.0 Voorkennis [1] Voorbeeld 1 (Elimineren door substitutie): Los op: Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij. 4x y = 3 y = 4x 3 Stap 2: Vul de vrijgemaakte variabele

Nadere informatie

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Vectoren in R n 1 2 Lineaire combinaties 2 3 Matrices 7 31 Het begrip matrix 7 32 Som

Nadere informatie

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 8 november 2011, 13u30-16u30 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider (Victor Blasjo, Esther

Nadere informatie

Lineaire vergelijkingen II: Pivotering

Lineaire vergelijkingen II: Pivotering 1/25 Lineaire vergelijkingen II: Pivotering VU Numeriek Programmeren 2.5 Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam c.s.bos@vu.nl, 1A40 15 april 2013 2/25 Overzicht Pivotering: Methodes Norm en conditionering

Nadere informatie

Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten.

Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten. WIS8 8 Vectoren 8. Vectoren Vectoren Een vector met dimensie is een kolom bestaande uit twee reële getallen, bijvoorbeeld [ We kunnen deze meetkundig interpreteren als een pijl in het platte vlak van de

Nadere informatie

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud

Nadere informatie

Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen

Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen

Nadere informatie

Uitwerkingen huiswerk week 6

Uitwerkingen huiswerk week 6 Lineaire algebra 2 najaar 2008 Uitwerkingen huiswerk week 6 Opgave( 21. ) a b Zij A = F 2 2. (i) Laat zien dat deta noodzakelijk van de vorm deta = ad bc is (door A op bovendriehoeksvorm te transformeren).

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

11.0 Voorkennis V

11.0 Voorkennis V 11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan

Nadere informatie

te vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector

te vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D)

Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) 1 Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Les 1 : Stelsels en Echelon vorm DOEL : WE GAAN EEN AANTAL VERGELIJKINGEN MET EEN AANTAL VARIABELEN PROBEREN OP TE LOSSEN. Definities Stelsel

Nadere informatie

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015 Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en eigenvectoren Eigwaard eigvector Als A e vierkante matrix is, dan heet e vector x e eigvector van A als Ax e veelvoud van x is : Definitie Stel dat A e (n n-matrix is E vector x R n met x o heet e eigvector van A als

Nadere informatie

1 De permanent van een matrix

1 De permanent van een matrix De permanent van een matrix Schrijf S n voor de symmetrische groep, met als elementen alle permutaties σ van de getallen {,..., n}. De permanent van een n n matrix A = (a ij ) is een getal dat formeel

Nadere informatie

Lineair voor CT College 2a. Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul

Lineair voor CT College 2a. Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul Lineair voor CT College 2a Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul Speciale vormen van een matrix Een stelsel oplossen komt overeen met door elementaire rijopera-es bepalen van de gereduceerde echelon vorm

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9 Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte

Nadere informatie

3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.

3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. 3.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 7 J.Keijsper

Nadere informatie

4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra

4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra 4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra Positieve en niet-negatieve matrices komen veel voor binnen de stochastiek (zoals de PageRank matrix) en de mathematische fysica: temperatuur, dichtheid,

Nadere informatie

a a 1n a m1... a mn

a a 1n a m1... a mn Hoofdstuk Matrices Inleiding In het vorige hoofdstuk behandelden we de Gauss-eliminatie methode waarmee we stelsels lineaire vergelijkingen leerden oplossen We telden vergelijkingen bij anderen op enz

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een

Nadere informatie

Kwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat.

Kwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat. 1 Kwantummechanica Donderdag, 1 oktober 016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4 VECTOREN OVER DE REËLE RUIMTE DUS DE ELEMENTEN ZIJN REËLE GETALLEN Bestudeer Appendix A, bladzijden 110-114 van het dictaat. Opgave 1:

Nadere informatie

De dimensie van een deelruimte

De dimensie van een deelruimte De dimensie van een deelruimte Een deelruimte van R n is een deelverzameling die op zichzelf ook een vectorruimte is. Ter herinnering : Definitie. Een deelverzameling H van R n heet een deelruimte van

Nadere informatie

Samenvatting. Lineaire Algebra 1 - Collegejaar Dictaat met verwijzing naar het boek. Disclaimer

Samenvatting. Lineaire Algebra 1 - Collegejaar Dictaat met verwijzing naar het boek. Disclaimer Samenvatting Lineaire Algebra 1 - Collegejaar 2013-2014 Dictaat met verwijzing naar het boek Disclaimer De informatie in dit document is afkomstig van derden. W.I.S.V. Christiaan Huygens betracht de grootst

Nadere informatie

Ter Leering ende Vermaeck

Ter Leering ende Vermaeck Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel

Nadere informatie

compact weer te geven (ken ook een waarde toe aan n).

compact weer te geven (ken ook een waarde toe aan n). 1 HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 2 - Oplossingen Opgave 1: Er geldt n 3 en we hebben de compacte uitdrukking y i a r i x r, waarbij we gebruik maken van de Einsteinsommatieconventie. a Schrijf

Nadere informatie

1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec.

1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec. LINEAIRE ALGEBRA Eric Jespers Vrije Universiteit Brussel Referentie: David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, Fourth edition, Pearson International Edition, 2012, ISBN: 9781408287859 verplicht

Nadere informatie