Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels

Transcriptie

1 Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Trainingsweek juni 2008 Inleiding Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als ord m (a) = min { n Z + a n 1 (mod m) }. De verzameling Z m = { a Z 0 < a < m ggd(a, m) = 1 } bestaat uit φ(m) elementen, waarbij we voor m = p e 1 1 p e 2 2 p e k k φ(m) = (1 1 p 1 )(1 1 p 2 ) (1 1 p k )m weten dat = (p 1 1)(p 2 1) (p k 1)p e p e p e k 1 k. Stelling Voor a en m met ggd(a, m) = 1 geldt: n Z: a n 1 (mod m) ord m (a) n; n 0, n 1 Z: a n 0 a n 1 (mod m) ord m (a) (n 0 n 1 ). In het bijzonder, omdat a φ(m) 1 (mod m), geldt dus ook ord m (a) φ(m). Een element g Z m met ord m (g) = φ(m) heet een primitieve wortel modulo m. Niet voor elke m is er zo n primitieve wortel g. Als er wel een is, dan zijn er meteen ook een paar; zie opgave 7. Bovenstaande stelling laat zich direct herformuleren voor primitieve wortels; zie opgave 1. Opgave 1 Zij g een primitieve wortel modulo m. Bewijs: n Z: g n 1 (mod m) φ(m) n; n 0, n 1 Z: g n 0 g n 1 (mod m) φ(m) (n 0 n 1 ). 1

2 Opgave 2 Zij g een primitieve wortel modulo m. Bewijs dat de machten 1, g, g 2,..., g φ(m) 1 modulo m precies gelijk zijn aan de elementen van Z m. Omgekeerd geldt dat als voor zekere g Z m de machten g i (i = 0, 1, 2,..., φ(m) 1) modulo m precies alle elementen van Z m zijn, g orde φ(m) heeft en dus een primitieve wortel is. Gegeven een primitieve wortel g modulo m, dan is elk element a Z m dus modulo m van de vorm g i voor zekere unieke i met 0 i φ(m) 1 (opgave 2). De algemene i waarvoor g i a (mod m), zijn bepaald op veelvouden van φ(m) na (opgave 1). We noemen deze bij a behorende i de index van a ten opzichte van basis g, notatie ind g (a); dat is in feite een restklasse modulo φ(m). Deze gedraagt zich net als de logaritme. Opgave 3 Zij g een primitieve wortel modulo m. Bewijs: ind g (1) 0 (mod φ(m)) en ind g (g) 1 (mod φ(m)) a b (mod m) ind g (a) ind g (b) (mod φ(m)) ind g (ab) ind g (a) + ind g (b) (mod φ(m)) ind g (a k ) k ind g (a) (mod φ(m)) Opgave 4 Zij m > 2. Bewijs dat φ(m) even is. Opgave 5 (a) Stel dat er een primitieve wortel modulo m is, m > 2. Bewijs dat de congruentie x 2 1 (mod m) precies twee oplossingen modulo m heeft. (b) Zij g een primitieve wortel modulo m, m > 2. Bewijs dat g φ(m)/2 1 (mod m). (c) Geef een tegenvoorbeeld voor (a) in een geval dat er geen primitieve wortel modulo m is. 2

3 Opgave 6 (Generalisatie van opgave 5(a)) Zij g een primitieve wortel modulo m en n een positief geheel getal. Bepaal het aantal oplossingen van de congruentie x n 1 (mod m) modulo m. Opgave 7 Stel dat er een primitieve wortel modulo m is. φ(φ(m)) primitieve wortels modulo m zijn. Bewijs dat er dan precies Opgave 8 (Bonusopgave) Zij g een primitieve wortel modulo m. Stel dat g voldoet aan g 2 g + 1 (mod m). Bewijs dat g 1 ook een primitieve wortel is. Opgave 9 (Bonusopgave) Zij p een priemgetal van de vorm 4k + 3 en zij g een primitieve wortel modulo p. Stel dat g voldoet aan g 2 g + 1 (mod p). (a) Bewijs dat (g 1) 2k+3 (g 2) (mod p). (b) Bewijs dat g 2 ook een primitieve wortel modulo p is. Soms zijn er geen primitieve wortels Het is niet moeilijk in te zien dat er modulo 2 en ook modulo 4 een primitieve wortel is (namelijk het element 1 respectievelijk het element 3). We gaan nu bewijzen dat dit voor hogere tweemachten niet meer geldt: voor k 3 is er modulo 2 k geen primitieve wortel. Opgave 10 Laat gegeven zijn een positief geheel getal n en een oneven positief geheel getal a. Bewijs dat a 2n 1 (mod 2 n+2 ). 3

4 Opgave 11 Bewijs voor alle positieve gehele n dat er geen primitieve wortel modulo 2 n+2 is. Ook voor een bepaalde klasse van samengestelde m laten we zien dat er modulo al zulke m geen primitieve wortel is (opgave 12). We kijken daarbij naar alle m die we kunnen schrijven als m 1 m 2 met m 1 > 2, m 2 > 2 en m 1 en m 2 relatief priem. Opgave 12 Stel dat we m kunnen schrijven als m 1 m 2 met m 1 > 2 en m 2 > 2 relatief priem. (a) Bewijs dat a φ(m)/2 1 (mod m) voor alle a relatief priem met m. (b) Concludeer dat er geen primitieve wortel modulo m is. Welke m zijn er nu nog over? (Zie opgave 13.) Het blijkt dat voor deze waarden van m er juist wel een primitieve wortel modulo m is. In het volgende hoofdstukje zullen we dit bewijzen voor m een driemacht. Het bewijs voor algemene m laten we achterwege. Toepassingen vind je in het laatste hoofdstukje. Opgave 13 Bepaal alle m > 1 zodanig dat m geen tweemacht is en we bovendien m niet kunnen schrijven als m 1 m 2 met m 1 > 2 en m 2 > 2 relatief priem. (Geef het antwoord in termen van de priemontbinding van m.) De primitieve wortel 2 modulo 3 n Door de rij 1, 2, 4, 8, 16,... modulo 3 n te lezen (of te wel: bereken steeds a k+1 = 2a k modulo 3 n ) krijgen we de volgende tabel. Het lijkt erop of 2 een primitieve wortel is modulo elke 3 n. Z Z Z

5 Opgave 14 Bewijs voor alle positieve gehele n dat 2 2 3n n (mod 3 n+1 ). Opgave 15 Bewijs voor alle positieve gehele n dat 2 een primitieve wortel modulo 3 n is. Opgave 16 Zij n 2 en zij m = 3 n. Bepaal alle oplossingen modulo m van de congruentie (a) x 6 1 (mod m); (b) x 7 1 (mod m); (c) x 8 1 (mod m). Opgave 17 Bewijs voor k, n positieve gehele getallen: als 2 n 1 (mod 3 k ) dan 3 k 1 n. Opgave 18 Zij n een positief geheel getal. Bewijs dat 2 3n 1 1 (mod 3 n ). Opgave 19 (IMO ) Bepaal alle positieve gehele getallen n zodat geheel is. 2 n + 1 n 2 Primitieve wortels modulo 2, 4, p n en 2p n De volgende stelling mag je zonder bewijs gebruiken. 5

6 Stelling van de primitieve wortels Er is een primitieve wortel modulo m (m > 1) dan en slechts dan als: m = 2 m = 4 of of m = p n (p oneven priem; n positief geheel) of m = 2p n (p oneven priem; n positief geheel). Volgens Sato voorbeeld 4.9 heeft de congruentie x 2 1 (mod m) een aantal oplossingen dat afhankelijk is van de priemfactorisatie van m = 2 e p e 1 1 p e 2 2 p e k k. e aantal oplossingen 0 2 k 1 2 k 2 2 k k+2 De congruentie heeft dus 2 oplossingen als (e = 0 of e = 1) en (k = 0 of k = 1), of als e = 2 en k = 0. Dat is als m = 1, m = 2 (1 oplossing), m = p e 1 1, m = 2p e 1 1 of m = 4 (2 oplossingen). Merk op dat dit precies de hierboven genoemde gevallen zijn (op m = 1 na). We concluderen dat er een primitieve wortel modulo m is (m > 1) dan en slechts dan als de congruentie x 2 1 (mod m) alleen de oplossingen x ±1 (mod m) heeft (deze vallen voor m = 2 samen). Voor m > 2 hebben we de ene kant ( ) van deze equivalentie daadwerkelijk bewezen in opgave 5. Opgave 20 Zij p > 3 een priemgetal. Bewijs dat het product van de primitieve wortels van p (tussen 1 en p 1) congruent is aan 1 modulo p. Opgave 21 Zij p een oneven priemgetal. Bewijs dat voor alle k met 1 k p 2. 1 k + 2 k + + (p 1) k 0 (mod p) Opgave 22 Zij p een oneven priemgetal. Bewijs dat de congruentie x 4 1 (mod p) een oplossing heeft precies dan als p 1 (mod 8). 6