Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2

Transcriptie

1 Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van P (), de constante getallen a n, a n 1,..., a 0 heten de coëfficiënten. Zijn P () en Q() polynomen van graad respectievelijk m en n dan is het mogelijk P () door Q() te delen, d.w.z. men kan polynomen S() (quotiënt) en R() (rest) bepalen zo, dat P () = Q()S() + R() (1) waarbij de graad r van de rest R() kleiner is dan de graad m van Q() (als m > n voldoen S() 0, P () = R()). Men kan S() en R() bepalen met een staartdeling. Hebben we bijvoorbeeld P () = en Q() = 3 2 2, dan geldt / \ 3 1 = S() = R() In dit geval geldt dus = (3 2 2)( 2 3 1) + ( ). De deling eindigt altijd zodra de graad van de rest kleiner is dan de graad van de deler Q(). Opgave 1.1 Bepaal quotiënt en rest bij deling van (a) door (c) 10 1 door 1. (b) door 3 +. De coëfficiënten a i zijn in het algemeen reële getallen. Soms wordt ook gewerkt met polynomen met uitsluitend gehele coëfficiënten. Het is van belang op te merken dat als P () en Q() beide gehele coëfficiënten hebben en de coëfficiënt van de hoogste macht ±1 is, het quotiënt en de rest bij deling van P () door Q() weer polynomen met gehele coëfficiënten zijn. (Ga dit na.) Beschouw weer in het algemeen vergelijking (1). Stel nu Q() = p. De rest is dan een polynoom van graad nul, dus een constante: P () = ( p)s() + R. Substitueer = p, dan volgt R = P (p). De rest bij deling van P () door p is dus P (p). Als in het bijzonder P (p) = 0, dan geldt P () = ( p)s(). Van P () kan men dus een factor p afsplitsen. Is q p een tweede nulpunt van P (), dan is 0 = P (q) = (q p)s(q), dus ook S(q) = 0. Van S() is dus een factor q af te splitsen. Als in het algemeen p 1, p 2,..., p k verschillende nulpunten van P () zijn, dan geldt P () = ( p 1 )( p 2 ) ( p k )P (). We vinden dus: 1

2 Stelling 1.1 Elk polynoom van graad n, n > 0, heeft ten hoogste n nulpunten. Er zijn polynomen zonder reële nulpunten, bijvoorbeeld P () = Maar elk polynoom van oneven graad heeft minstens één reëel nulpunt. Stel namelijk 0, dan geldt P () = a n n +a n 1 n 1 + +a 0 = n (a n + an 1 a0 + + ) (n oneven en n a n 0). Als voldoende groot is, is an a0 < a n n, dus als voldoende groot positief is, heeft P () hetzelfde teken als a n, en als voldoende groot negatief is, heeft P () juist het tegengestelde teken. Omdat polynomen continue functies zijn, moet er dan ook minstens één nulpunt zijn. Stelling (1.1) kan men vaak op de volgende wijze gebruiken: weet men dat het polynoom P () van graad kleiner dan of gelijk aan n is en meer dan n nulpunten heeft, dan moet het van graad nul zijn. Maar een constante functie met een nulpunt moet identiek nul zijn, dus P () 0. Alle coëfficiënten zijn dan ook nul. Voorbeeld: Stel dat P () = a a 1 + a 0 voldoet aan P () 1 voor alle [ 1, 1]. Dan geldt a 2 2. Bewijs.Stel a 2 > 2. Noem Q() = Dan Q(±1) = 1, Q(0) = 1. Noem P () = 2 a 2 P () dan geldt P () < P () 1 op [ 1, 1]. Nu is R() = Q() P () een eerstegraads polynoom met R( 1) > 0, R(0) < 0 en R(1) > 0. R heeft dus minstens twee nulpunten, dus R is identiek nul, m.a.w. Q() P (), in tegenspraak met P () < 1 op [ 1, 1]. De veronderstelling a 2 > 2 was dus onjuist Figuur 1: de grafiek van Q(). Voorbeeld: Elk polynoom van positieve graad met gehele coëfficiënten geeft voor gehele -waarden ook gehele functiewaarden. Kunnen die waarden allemaal priemgetallen zijn? Het antwoord is nee. Stel namelijk P () = a n n + + a 0 en stel dat voor een zekere gehele k P (k) = p met p priem. Beschouw voor een gehele waarde van i P (k + ip) P (k) = a n ((k + ip) n k n ) + + a 1 ((k + ip) k). Voor iedere j is a j b j deelbaar door a b, dus P (k + ip) P (k) is deelbaar door k + ip k = ip. Voor elke gehele i is P (k + ip) dus deelbaar door p. Zouden al deze waarden priemgetallen zijn, dan zouden ze allemaal gelijk zijn aan p. Het polynoom P () p zou dan oneindig veel verschillende nulpunten hebben. Tegenspraak. Er is al aangetoond dat van P () een factor a kan worden afgesplitst zodra P (a) = 0: P () = ( a)s(). Geldt ook S(a) = 0, dan kan ook van S() een factor a worden afgesplitst: P () = ( a) 2 T (). Kan men zo doorgaande k maal een factor a afsplitsen (P () = ( a) k U()) en geldt U(a) 0 (zodat er niet nog meer factoren a afgesplitst kunnen worden) dan heet a een k-voudig nulpunt van P (). Het getal k heet de multipliciteit van het nulpunt a. Een k- voudig nulpunt kan men opvatten als k samenvallende nulpunten. Stelling (1.1) is blijkbaar uit te breiden: Stelling 1.2 Het aantal nulpunten, elk geteld met zijn multipliciteit, van een polynoom van graad n > 0 bedraagt ten hoogste n. 2

3 Uit de regels voor differentiëren volgt: Stelling 1.3 Als a een k-voudig nulpunt van P () is (k > 1), dan is a een (k 1)- voudig nulpunt van P (). Als a een enkelvoudig nulpunt van P () is, dan geldt P (a) 0. Stel dat het polynoom P () = a n n + + a 0 (a n 0) precies n (niet noodzakelijk verschillende) nulpunten 1, 2,..., n heeft. Dan is Q() = a n ( 1 )( 2 ) ( n ) een polynoom van dezelfde graad met ook 1, 2,..., n als nulpunten. Het verschil is van graad kleiner dan n, heeft minstens n nulpunten, en is dus identiek nul. Na uitwerken van de haakjes in de uitdrukking voor Q() moet daarom de coëfficiënt van elke macht k gelijk zijn aan a k. In het bijzonder is de constante term a 0 = ( 1) n a n 1 2 n, m.a.w. het product van alle nulpunten is ( 1) n a0 a n. Vergelijken van de coëfficiënten van n 1 geeft a n 1 = a n ( n ), m.a.w. de som van alle nulpunten is an 1 a n. Vergelijken van de coëfficiënten van de andere machten geeft nog meer betrekkingen tussen de coëfficiënten en de nulpunten, maar de twee genoemde betrekkingen zijn de belangrijkste. Opgave 1.2 Stel P () = a a a 1 + a 0 voldoet aan P () 1 als [ 1, 1]. Bewijs a 3 4. (Men kan in het algemeen bewijzen dat als een n-de graads polynoom aan deze voorwaarde voldoet, dan a n 2 n 1.) Opgave 1.3 Bewijs stelling (1.3). Opgave 1.4 a en n zijn gehele getallen. De vergelijking a 2 n = 0 heeft drie gehele wortels. Bepaal a en n. (NWO 1970) Opgave 1.5 P () = ( ) 84 ( ) 184 wordt uitgewerkt tot P () = a n n + + a 0. Bepaal de som a n + a n a 0. Opgave 1.6 P () = a n n + + a 0 voldoet aan P () = P ( ) voor alle. Bewijs dat a i = 0 voor alle oneven i. Bewijs ook: als P () = P ( ) voor alle, dan is a i = 0 voor alle even i. Opgave 1.7 Bewijs dat als men het product ( )( ) uitwerkt, een polynoom ontstaat dat slechts even machten van bevat. Opgave 1.8 Bepaal de rest na deling van door (a) 1 (b) 2 1. Opgave 1.9 Een onbekend polynoom geeft rest 2 na deling door 1 en rest 1 na deling door 2. Wat is de rest na deling door ( 1)( 2)? Opgave 1.10 Uitwerken van ( 2 + 1) n ( 2 + 2) n + (1 + ) n + (2 ) n, n > 2, geeft a 2n 2 2n a 1 + a 0. Bewijs dat a 2n 2 + a 2n a 2 = 0. (NWO 1963) Opgave 1.11 P () = 2 + a + 1 en Q() = a. Bepaal alle waarden van a waarvoor P en Q een gemeenschappelijk nulpunt bezitten. Opgave 1.12 Bepaal alle mogelijke polynomen van de vorm P () = ( a)( b)( c) + 1 met a, b en c positief geheel en onderling verschillend die geschreven 3

4 kunnen worden als product van twee polynomen van positieve graad met gehele coëfficiënten. Opgave 1.13 Bewijs dat een polynoom met gehele coëfficiënten de waarde 14 voor geen enkele gehele waarde van de variabele kan aannemen als het de waarde 7 voor vier gehele waarden van de variabele aanneemt. Opgave 1.14 P () is een polynoom met gehele coëfficiënten en positieve graad n. Er zijn precies k gehele getallen N waarvoor P (N) 2 = 1. Bewijs dat k n 2. 2 De interpolatieformule van Lagrange Door elk tweetal punten ( 0, y 0 ), ( 1, y 1 ) met 0 < 1 kan men de grafiek van een eerstegraads polynoom (een rechte lijn) trekken. Dit polynoom is te schrijven als P () = y y Door elk drietal punten ( 0, y 0 ), ( 1, y 1 ), ( 2, y 2 ) met 0 < 1 < 2 kan men de grafiek trekken van het tweedegraads polynoom ( 1 )( 2 ) P () = y 0 ( 0 1 )( 0 2 ) + y ( 0 )( 2 ) 1 ( 1 0 )( 1 2 ) + y ( 0 )( 1 ) 2 ( 2 0 )( 2 1 ). In het algemeen geldt: Stelling 2.1 Stel gegeven 0 < 1 < < n en n + 1 getallen y 0, y 1,..., y n, dan voldoet het polynoom P () = n i=0 y i ( 0 ) ( i 1 )( i+1 ) ( n ) ( i 0 ) ( i i 1 )( i i+1 ) ( i n ) aan P ( i ) = y i voor i = 0, 1,..., n. Het is ook het enige polynoom van graad hooguit n met deze eigenschap. Bewijs. Door invullen controleert men dat inderdaad P ( i ) = y i voor alle i. Zou een tweede polynoom Q() van graad hooguit n dezelfde eigenschap hebben, dan zou P () Q() nul zijn in de n + 1 punten 0, 1,..., n. Dit kan alleen als het verschil identiek nul is, dus als P en Q gelijk zijn. Het bepalen van een functie die in voorgeschreven punten voorgeschreven waarden aanneemt, heet interpoleren. De interpolatieformule uit bovenstaande stelling is afkomstig van de franse wiskundige J.L. Lagrange( ). Opgave 2.1 Bepaal het polynoom P van graad hooguit 2 dat voldoet aan (a) P (0) = 1, P (1) = 0 en P (2) = 0. (b) P (0) = 0, P (1) = 1 en P (2) = 0. (c) P (0) = 0, P (1) = 0 en P (2) = 1. Opgave 2.2 Gebruik opgave (2) om een polynoom van graad hooguit 2 te vinden dat voldoet aan P (0) = π, P (1) = e en P (2) = π e. 4

5 Opgave 2.3 Noem Q() = ( 0 )( 1 ) ( n ) en definieer voor i = 0, 1,..., n L i () = Q() ( i )Q ( i ) als i en L i ( i ) = 1. Bewijs dat P () uit de stelling geschreven kan worden als P () = n y i L i (). i=0 3 Polynomen in meer variabelen Elke eindige som van termen van de vorm c k1 1 k2 2 kn n waarin de k i nietnegatieve gehele eponenten zijn, heet een polynoom in de variabelen 1, 2,..., n. De getallen c heten de coëfficiënten van het polynoom. Neem aan dat gelijksoortige termen, d.w.z. termen met hetzelfde stel eponenten k 1, k 2,..., k n zijn samengenomen. Voorbeeld voor n = 3: (In de tweede term geldt k 2 = k 3 = 0.) Vult men voor n 1 van de variabelen vaste waarden in, dan ontstaat een polynoom in de overblijvende variabele. De coëfficiënten van dit polynoom zijn zelf polynomen in de n 1 andere variabelen. Als P 1 ( 1 ), P 2 ( 2 ),..., P n ( n ) polynomen in respectievelijk 1, 2,..., n zijn, dan is het product P 1 ( 1 )P 2 ( 2 ) P n ( n ) een polynoom in 1, 2,..., n. Een voorbeeld is ( )( 2 5)( ). Het is echter niet waar dat elk polynoom in n variabelen ook geschreven kan worden als product van n polynomen in één variabele. Zo is het bijvoorbeeld duidelijk dat er geen polynomen P 1 ( 1 ) en P 2 ( 2 ) bestaan met P 1 ( 1 )P 2 ( 2 ) = Een polynoom in meer dan één variabele kan oneindig veel nulpunten hebben. Zo geldt bijvoorbeeld = 0 voor alle punten ( 1, 2 ) met 1 = ± 2. Stelling 3.1 Als het polynoom P ( 1, 2,..., n ) voor alle reële waarden van 1, 2,..., n de waarde 0 aanneemt, dan zijn alle coëfficiënten van het polynoom nul. Bewijs. We passen volledige inductie naar n toe. Voor n = 1 hebben we de stelling al bewezen. Stel dat de stelling geldt voor elk polynoom van n variabelen en dat P ( 1, 2,..., n, n+1 ) = 0 voor alle ( 1, 2,..., n, n+1 ). P ( 1, 2,..., n, n+1 ) = A 0 + A 1 n+1 + A 2 2 n A k k n+1, waarin de A i polynomen zijn in 1, 2,..., n. Voor elk stel ( 1, 2,..., n ) is P een polynoom in n+1 dat identiek nul is. Dit betekent dat de coëfficiënten A i allemaal nul zijn. Elke A i is dus nul voor elk stel waarden van de variabelen 1, 2,..., n. Volgens de inductieveronderstelling zijn dan alle coëfficiënten van elke A i nul, m.a.w. alle coëfficiënten van P zijn nul. Men gebruikt vaak polynomen in n variabelen waarbij de som k 1 + k k n voor alle termen c k1 1 k2 2 kn n hetzelfde is. Zulke polynomen heten homogeen. Voorbeelden voor n = 3: , en ( ) 8. Als in elke term k 1 + k k n = r, dan heet het polynoom homogeen van graad r. De voorbeelden hierboven zijn homogeen van respectievelijk graad 4, graad 5 en 5

6 graad 8. Het is duidelijk dat als P homogeen van graad r is, voor iedere waarde van t de gelijkheid geldt. Het omgekeerde is ook waar: P (t 1, t 2,..., t n ) = t r P ( 1, 2,..., n ) (2) Stelling 3.2 Voldoet het polynoom P voor iedere t en elk stel ( 1, 2,..., n ) aan (2), dan is P homogeen van graad r. Bewijs. Kies een vast stel waarden ( 1, 2,..., n ); P (t 1, t 2,..., t n ) is dan een polynoom in t: P (t 1, t 2,..., t n ) = A 0 + A 1 t + A 2 t 2 +. Hierbij is A i de som van alle termen c k1 1 k2 2 kn n met k 1 + k k n = i. Het polynoom in t P (t 1, t 2,..., t n ) t r P ( 1, 2,..., n ) = A 0 +A 1 t+a 2 t 2 + +A r 1 t r 1 +(A r P ( 1, 2,..., n ))t r + A r+1 t r+1 + is identiek nul, dus alle coëfficiënten zijn nul. Er geldt dus A i = 0 als i r, en dit geldt voor elk stel waarden ( 1, 2,..., n ). De coëfficiënten van alle polynomen A i ( 1, 2,..., n ) met i r zijn dus allemaal nul, dus P is homogeen van graad r. Opgave 3.1 P ( 1, 2,..., n ) en Q( 1, 2,..., n ) zijn homogene polynomen van graad r respectievelijk s. Bewijs dat het product van P en Q homogeen van graad r + s is. Wanneer is de som van P en Q ook homogeen? Opgave 3.2 Voor welke waarden van k bestaat er een polynoom P (, y, z) zo, dat 3 + y 3 + z 3 + kyz = ( + y + z)p (, y, z). Opgave 3.3 Het polynoom P (, y) voldoet aan P (, ) = 0 voor alle. Bewijs dat er een polynoom Q(, y) bestaat zo, dat P (, y) = ( y)q(, y). Opgave 3.4 Vind alle polynomen P (, y) die voldoen aan de volgende eigenschappen: (1) er is een n N zo, dat voor alle, y, t R geldt P (t, ty) = t n P (, y); (2) voor alle a, b, c R geldt P (a + b, c) + P (b + c, a) + P (c + a, b) = 0; (3) P (1, 0) = 1. 4 Gemengde opgaven Opgave 4.1 P () = ( a)( b) k( c)( d) met a < c < b. (a) Bewijs dat als k = 1, P voor elke waarde van d hooguit één nulpunt heeft. (b) Bewijs dat als k < 1, P voor elke waarde van d precies twee nulpunten heeft. (NWO 1 e ronde, 1969) Opgave 4.2 Bepaal alle polynomen P en Q zo, dat voor alle P () 3 + Q()P () 2 + ( 4 + 1)P () = 0. 6

7 Opgave 4.3 Bewijs dat deelbaar is door Opgave 4.4 Bepaal alle gehele getallen a zo, dat ( a)( 10) + 1 geschreven kan worden als ( b)( c) met b en c geheel. Opgave 4.5 P is een zevendegraads polynoom met gehele coëfficiënten en voor zeven verschillende gehele waarden van de variabele geldt P () 2 = 1. Bewijs dat P niet geschreven kan worden als product van twee polynomen met gehele coëfficiënten en positieve graad. Opgave 4.6 Een polynoom met gehele coëfficiënten neemt oneven gehele waarden aan in 0 en in 1. Bewijs dat geen van zijn nulpunten geheel is. Opgave 4.7 Bewijs dat alle rationale nulpunten van het polynoom met gehele coëfficiënten n + a n 1 n 1 + a n 2 n a 0 (a n = 1!) geheel zijn. Opgave 4.8 a en b zijn reële getallen zo, dat de vergelijking 4 +a 3 +b 2 +a+1 = 0 minstens één oplossing heeft. Bepaal de minimale waarde van a 2 + b 2. (IWO 1973) 7