Complexe e-macht en complexe polynomen
|
|
- Anita Pieters
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten daarvan behandeld 1 De invoering van e z 11 De exponentiële functie f(x) = e x is voor iedere x R gedefinieerd en heeft als belangrijke eigenschap dat voor x 1, x R geldt dat e x 1 e x = e x 1+x We willen de functie uitbreiden naar de complexe getallen met behoud van deze eigenschap Dat wil dus zeggen: als z R dan is e z gelijk aan de bekende e-macht van z, en verder zal de definitie zo moeten zijn dat voor z 1, z C geldt dat e z 1 e z = e z 1+z Schrijven we z = x + iy dan moeten we dus eisen dat e z = e x e iy Tevens zal voor y 1, y R moeten worden voldaan aan e iy 1 e iy = e i(y 1+y ) Kijken we naar de eigenschappen van de complexe vermenigvuldiging, dan zien we dat e iy = cos y + i sin y voldoet We komen zo tot de volgende definitie van e z : 1 Definitie Zij z = x + iy dan is e z = e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i sin y) Stelling Voor iedere z 1, z C geldt dat e z 1 e z = e z 1+z Bewijs: Is z 1 = x 1 + iy 1 en z = x + iy dan is e z 1 e z = e x 1+iy 1 e x +iy = e x 1 (cos y 1 + i sin y 1 )e x (cos y + i sin y ) = e x 1+x (cos(y 1 + y ) + i sin(y 1 + y )) = e z 1+z 13 Stelling 1 Als y R, dan is e iy = 1 1
2 Als z = x + iy met x, y R, dan is e z = e x, arg e z = y 3 e z 0 voor alle z C 4 Als y R, dan is cos y = Re e iy = 1 (eiy + e iy ), sin y = Im e iy = 1 i (eiy e iy ) 5 Een complex getal z 0 is te schrijven als z = re iϕ, waarbij r = z, ϕ = arg z 6 e z+πi = e z voor alle z C De functie e z heet daarom periodiek met periode πi 7 Als e z 1 = e z, dan is er een k Z met z = z 1 + k πi Bewijs: Doe dat zelf Voorbeelden e 1+i = e(cos 1 + i sin 1), e π i = cos π + i sin π = i, 1 + i = e π 4 i, (e 1+i ) = e +i, e a+πi = e a (cos π + i sin π) = e a 14 Met behulp van de complexe e-macht kunnen we sommige eerder behandelde technieken eenvoudiger beschrijven Zo wordt de formule van De Moivre: (e iϕ ) n = e inϕ Reële polynomen 1 Definitie Een polynoom of veelterm is een functie p : R R die we als volgt kunnen schrijven: p(x) = p n x n + p n 1 x n p 1 x + p 0, waarin p 0, p 1,, p n vaste reéle getallen zijn en p n 0 Deze getallen worden de coëfficiënten genoemd Het gehele getal n 0 heet de graad van het polynoom De notatie voor de graad is gr(p) Ook de nulfunctie, dus de functie p : R R met p(x) = 0 voor alle x, zullen we als een polynoom opvatten, het zg nulpolynoom We geven geen definitie van de graad van het nulpolynoom De uitspraak Het polynoom p heeft gr(p) = n impliceert dat p niet het nulpolynoom is
3 Voorbeelden 1 p(x) = is een reëel polynoom met gr(p) = 0 p(x) = x 10 + x is een reëel polynoom met gr(p) = 10 3 Als p(x) = p 0 + p 1 x + + p n 1 x n 1 + p n x n, dan is de afgeleide van p het polynoom, genoteerd door p, met p (x) = p 1 + p x + + (n 1)p n 1 x n + np n x n 1 Ook de tweede afgeleide p = (p ), de derde afgeleide p, in het algemeen de k e afgeleide p (k) zijn polynomen Men ziet gemakkelijk in dat voor k n p (k) (x) = k!p k + 3(k + 1)p k+1 x + + +(n k + 1)(n k + )np n x n k Voor k > n is p (k) (x) = 0 voor alle x R Laat p en d polynomen zijn, d niet het nulpolynoom Indien gr(p) gr(d), dan kan p/d met behulp van een staartdeling herleid worden We geven een voorbeeld, waarin p(x) = x 3 + x x 1 en d(x) = x x 1: zodat x x 1 /x 3 + x x 1 \ x + 3 x 3 x x 3x 1 3x 3x 3 3x + x 3 + x x 1 x x 1 = x x + x x 1, ofwel x 3 + x x 1 = (x + 3)(x x 1) + (3x + ) De rest na deling was in dit geval 3x + ; in het algemeen is de rest òf het nulpolynoom (als de deling opgaat) òf een polynoom met een lagere graad dan die van d (anders zou de deling nog voortgezet kunnen worden) We formuleren en bewijzen deze eigenschap in de volgende stelling 3 Stelling Laten p en d polynomen zijn, d niet het nulpolynoom Dan bestaan er polynomen q en r met: 3
4 1 p(x) = q(x)d(x) + r(x) voor alle x R, r is het nulpolynoom, òf gr(r) < gr(d) Bovendien zijn deze polynomen q en r eenduidig bepaald Bewijs Als p het nulpolynoom is en ook als gr(p) < gr(d) voldoet r = p en q gelijk aan het nulpolynoom Als gr(p) gr(d) leidt het boven geschetste staartdelingsproces tot de gevraagde polynomen q en r Dat q en r eenduidig bepaald zijn zien we als volgt in: stel p(x) = q 1 (x)d(x)+r 1 (x) en p(x) = q (x)d(x) + r (x), waarbij r 1 het nulpolynoom is, of een graad kleiner dan die van d heeft, r evenzo, dan is (q 1 (x) q (x))d(x) = r (x) r 1 (x), zodat (q 1 (x) q (x))d(x) ofwel het nulpolynoom is, ofwel een lagere graad heeft dan die van d Dit is slechts mogelijk als q 1 = q en dus ook r 1 = r 4 Neem d(x) = x a in deze stelling, dan is p(x) = (x a)q(x) + r(x), waarbij r het nulpolynoom is of een graad kleiner dan 1 heeft; r is dus een constante We krijgen zo p(x) = (x a)q(x) + r Door invullen van x = a vinden we r = p(a), zodat p(x) = (x a)q(x) + p(a) (Reststelling) 5 Stelling Zij p een polynoom, niet het nulpolynoom, en zij a R Als p(a) = 0, dan bevat p(x) de factor x a, dwz p(x) = (x a)q(x) waarin q weer een polynoom is Bewijs Zie 4 3 Complexe polynomen 31 Definitie Een complex polynoom is een functie p : C C, die we als volgt kunnen schrijven: p(z) = p n z n + p n 1 z n p 1 z + p 0, waarin n N en waarin p 0, p 1,, p n complexe getallen zijn Deze getallen worden de coëfficiënten van p genoemd Is p n 0, dan heet n de graad van p Een element z 0 C noemen we nulpunt van een polynoom p, wanneer p(z 0 ) = 0 4
5 Analoog aan het behandelde in, onderdeel 5, ziet men in dat een polynoom p met nulpunt z 0 geschreven kan worden in de vorm p(z) = (z z 0 )q(z) waar q weer een polynoom is Stelling Zij p een polynoom met reële coëfficiënten Als z 0 C nulpunt is van p, dan is z 0 ook nulpunt van p Bewijs: Stel p(z) = p n z n +p n 1 z n 1 ++p 1 z +p 0, zodat p 0, p 1,, p n R Nu is voor z C p( z) = p n z n + p n 1 z n p 1 z + p 0 = = p n z n + p n 1 z n p 1 z + p 0 = = p n z n + p n 1 z n p 1 z + p 0 = = p n z n + p n 1 z n p 1 z + p 0 = p(z) Daar p(z 0 ) = 0 is dus p( z 0 ) = p(z 0 ) = 0 = 0 Voorbeeld Van de vergelijking z 4 z 3 + 9z z + 66 = 0 is gegeven dat 1 i 5 een oplossing is Bepaal de overige oplossingen Omdat 1 i 5 een oplossing is, is volgens bovenstaande stelling ook 1+i 5 een oplossing Het linkerlid is dus deelbaar door (z +1+i 5)(z + 1 i 5) = z + z + 6 Uitdelen levert op dat z 4 z 3 + 9z z + 66 = (z + z + 6) (z 4z + 11) Voor de twee overige oplossingen vinden we dus + i 7 en i 7 Zonder bewijs vermelden we nog de volgende stelling: Hoofdstelling van de algebra Als p(z) = p n z n + p n 1 z n p 1 z + p 0 een complex polynoom is van de graad n 1 dan is er een complex getal z 1 met p (z 1 ) = 0 Een gevolg van deze stelling is dat elk complex polynoom geheel in eerstegraads factoren ontbonden kan worden 3 Zij p het polynoom p(z) = az + bz + c, waarvan a, b, c R en a 0 De nulpunten van p(z) vinden we als volgt: ( p(z) = a z + b a z + c ) ( = a z + b ) 4ac b + a 4a Is de discriminant D = b 4ac 0, dan is ( p(z) = a z + b ) ( ) b 4ac = = a ( z + b b 4ac ) ( z + b + b 4ac ) 5
6 De nulpunten van p zijn dan z 1, = b ± b 4ac is D = b 4ac < 0 dan is p(z) ( = a z + b ) ( 4ac b i ) = = a ( z + b 4ac b i ) ( z + b 4ac b + i ) We vinden nu als nulpunten z 1, = b ± i 4ac b Merk op dat deze nulpunten toegevoegd complex zijn Het geval dat D 0 komt dus neer op het bepalen van de nulpunten door middel van de zogenaamde a, b, c-formule, die hier opnieuw is afgeleid Is D < 0, dan komen we dus uit op een enigzins gemodificeerde a, b, c-formule Voorbeelden: 1 p(z) = z + z + 1 = (z + 1 ) = (z + 1 ) ( 1 3i) = (z i 3)(z i 3) De nulpunten zijn dus z 1, = 1 ± 1 i 3 p(z) = 9z 18z + 5 ; de formule geeft de nulpunten 18±4i 18 = 1 ± 4 3 i 33 We behandelen nu opnieuw (zie ook Appendix I) de oplossingsmethode voor de zg binomiaalvergelijking, dit is de vergelijking z n = a, waarbij n N, a C en a 0 (voor a = 0 is z = 0 de enige oplossing van de vergelijking) Ter oplossing van deze vergelijking schrijven we z = re iϕ, a = r 0 e iα, waarna de vergelijking z n = a overgaat in: r n e inϕ = r 0 e iα 6
7 Bedenk nu dat twee complexe getallen ( 0) dan en slechts dan gelijk zijn als ze gelijke moduli hebben en als hun argumenten gelijk zijn of een veelvoud van π verschillen We vinden dus r n = r 0, r = n r 0 ; nϕ = α + kπ, ϕ = α n + kπ n (k Z) De vergelijking z n = a heeft dan de wortels z k = n r 0 e i( α n + kπ n ) eventueel ook te schrijven als z k = n r 0 [cos ( α n + kπ ) ( α + i sin n n + kπ ) ], k Z n Merk op dat z k = z k+n We kunnen daarom volstaan met achtereenvolgens k = 0, 1,, n 1 te stellen; aldus vinden we n verschillende oplossingen van de vergelijking z n = a Voorbeelden 1 Los op de vergelijking z 3 = i Bepaal i = 1, arg( i) = 1 π, en stel z = r(cos ϕ + i sin ϕ), dan is de vergelijking te herleiden tot r 3 (cos 3ϕ + i sin 3ϕ) = 1(cos( 1 π) + i sin( 1 π)) met de oplossing r = 1, ϕ = 1π + kπ, k Z 6 3 Substitueer achtereenvolgens k = 0, 1,, dan vinden we de wortels k = 0 : z 1 = cos( 1 6 π) + i sin( 1 6 π) = i, k = 1 : z = cos 1 π + i sin 1 π = i, k = : z 3 = cos 7 6 π + i sin 7 6 π = i Substitutie van k = 3 levert opnieuw de wortel z 1 Los op de vergelijking z 4 = 1 Bepaal 1 = 1, arg( 1) = π Schrijf z = r(cos ϕ + i sin ϕ), dan vinden we als oplossingen r = 1, ϕ = 1π + 1 kπ, k Z Substitutie van 4 k = 0, 1,, 3 levert de oplossingen z 1 = 1 (1 + i), z = 1 ( 1 + i), z 3 = 1 ( 1 i), z4 = 1 (1 i); teken deze oplossingen in een figuur Merk op dat z 1 = z 4, z = z 3, in overeenstemming met de Stelling uit 31 Merk ook op dat z 1, z, z 3 en z 4 op de cirkel z = 1 liggen, en ook dat arg z k+1 = arg z k + 1 π(k = 1,, 3; dit afgezien van veelvouden van π) zodat z, z 3 en z 4 uit z 1 verkregen kunnen worden door draaien om de 1 oorsprong over resp π, π en 3π De punten z 1, z, z 3 en z 4 zijn dus de hoekpunten van een regelmatige vierhoek 7
8 34 De vergelijking (az + b) n = c, waarbij a, b, c C en a 0 is eenvoudig te herleiden tot een binomiaalvergelijking Stel nl w = az + b, dan ontstaat de vergelijking w n = c die op de hierboven beschreven wijze is op te lossen In het bijzonder kan men aldus elke vierkantsvergelijking oplossen dmv kwadraatafsplitsing We kunnen de vierkantsvergelijking az +bz +c = 0 met a C\{0}, b, c C namelijk schrijven als ( z + b ) = b 4ac 4a en dit is inderdaad van de gedaante ω = α, α C Voorbeeld: Los op de vierkantsvergelijking iz + ( + i)z + = 0 Oplossing: delen door i geeft z + (1 i)z i = 0 en kwadraat afsplitsen: z + ( 1 i) z + (1 i) = i + ( 1 i) ofwel (z + 1 i) = i + ( 1 i) = ( 1 + i) dus (z + 1 i 1 i) (z + 1 i i) = 0 ofwel (z i) (z + 1) = 0 Dit geeft de oplossingen z 1 = i, z = 1 Opmerking Vergelijk dit procedé met dat uit 8
9 4 Opgaven 1 Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan de vergelijking e z = a, voor a = achtereenvolgens: (a) 1 (b) i (c) 1 (d) 1 + i (e) 1 i 3 Bepaal alle oplossingen van de vergelijking e iz = 1 i 3 Bepaal de nulpunten van de volgende polynomen (a) z + iz (b) z + z + 5 (c) z iz 1 (d) z 3 3iz z 4 Geef een vierdegraads polynoom met reële coëfficiënten waarvan 3i en 1 i nulpunten zijn 5 Het polynoom p(z) = z heeft twee paar complex toegevoegde nulpunten Bepaal deze, en schrijf vervolgens p(z) als een product van twee reële polynomen van de graad 6 Controleer dat z = i een nulpunt is van het polynoom p(z) = z 5 + 3z 4 + 4z 3 + 4z + 3z + 1 Ontbind vervolgens p(z) in eerstegraads factoren 7 Bepaal in C alle oplossingen van de volgende vergelijkingen (a) (iz + i) 3 = i (b) (iz + ) 4 = + i 3 9
Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen
Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk
Nadere informatie6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1
WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We
Nadere informatie4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i
COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche
Nadere informatieAanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran
Aanvulling aansluitingscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de Aansluitingscursus staan. Die onderwerpen zijn: complexe getallen en volledige
Nadere informatiez 1 z 2 r 2 r 1 z 2 z 1 r 1 r 2
Lesbrief 10 Complexe getallen 1 Het complexe vlak Zoals we ons reële getallen kunnen voorstellen als de punten van een lijn waarop 0 en 1 zijn vastgelegd, zo kunnen we ons de complexe getallen voorstellen
Nadere informatieOp deze manier ligt φ exact vast (als we zouden zeggen 0 φ 2π zouden we de reële getallen dubbelop hebben, en dat willen wij als wiskundigen niet).
Moddergooien n.a.v. 31 augustus Allereerst: hartelijk dank voor de vragen; als dat zo doorgaat en als jullie zo blijven komen en ook nog eens huiswerk maken, dan weet ik zeker dat ik dicht bij 100% ga
Nadere informatieLes 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen
Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina van Les Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen N = Natuurlijke getallen =,2,,.. Z
Nadere informatieBestaat er dan toch een wortel uit 1?
Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn
Nadere informatie16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i
16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =
Nadere informatie5.1 Constructie van de complexe getallen
Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder
Nadere informatieComplexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen
Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder
Nadere informatieComplexe getallen: oefeningen
Complexe getallen: oefeningen Hoofdstuk 2 Praktisch rekenen met complexe getallen 2.1 Optelling en aftrekking (modeloplossing) 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 2 + i en z 2 = 2 3i. Bereken de
Nadere informatiePolynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2
Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van
Nadere informatieHoofdstuk 8 : Complexe getallen
1 Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen getallen : (1) N = Natuurlijke getallen = 1,2,3,.. (2) Z = Gehele
Nadere informatieWiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier
Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier najaar 2004 Deel I Voortgezette Analyse Les 1 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 18 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 31 Outline 1 Section I.1 Complex numbers K. P. Hart
Nadere informatieProefToelatingstoets Wiskunde B
Uitwerking ProefToelatingstoets Wiskunde B Hulpmiddelen :tentamenpapier,kladpapier, een eenvoudige rekenmachine (dus geen grafische of programmeerbare rekenmachine) De te bepalen punten per opgave staan
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 De getallenverzameling C 1 2 Het complex vlak of het vlak van Gauss 7 3 Vierkantsvergelijkingen
Nadere informatieMathematical Modelling
1 / 95 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Last adapt: 30-08-09 2 / 95 Overzicht 1 Inleiding 2 Complexe getallen: rekenen 3 Complexe getallen: iets meer dan rekenen alleen 3 /
Nadere informatie8.1 Rekenen met complexe getallen [1]
8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn
Nadere informatieLineaire algebra 1 najaar Complexe getallen
Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds
Nadere informatieDe wortel uit min één. Jaap Top
De wortel uit min één Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 20 maart 2007 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen
Nadere informatieJe moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.
6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel
Nadere informatieCalculus. P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam
Calculus P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam 30 november 2006 Hoofdstuk 1 Complexe getallen 1.1 Introductie In dit hoofdstuk gaat het over complexe getallen. We voeren
Nadere informatieComplexe functies. 2.1 Benadering door veeltermen
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, Les Complexe functies Nadat we de complexe getallen hebben leren kennen, is het een voor de hand liggende vraag of hiervoor net als voor de reële getallen ook functies
Nadere informatie1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen
1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1.1 Algemene begrippen Een (gewone) differentiaalvergelijking heeft naast de onafhankelijke veranderlijke (bijvoorbeeld genoteerd als x), eveneens een onbekende functie
Nadere informatie10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden
10.0 Voorkennis 5 1 6 6 cos( ) = -cos( ) = -½ 3 [cos is x-coördinaat] 5 1 3 3 sin( ) = -sin( ) = -½ 3 [sin is y-coördinaat] 1 Voorbeeld 1: Getekend is de lijn k: y = ½x 1. De richtingshoek α van de lijn
Nadere informatieAanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran
Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch staan. Die
Nadere informatieAanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran
Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch) staan. Die
Nadere informatieDe meetkunde van de. derdegraadsvergelijking
Jan van de Craats De meetkunde van de derdegraadsvergelijking 22 februari 2007 Algemene (complexe) derdegraadsvergelijking met a 1, a 2, a 3 C z 3 3a 1 z 2 + 3a 2 z a 3 = 0 Oplossingen z 1, z 2, z 3 Dan
Nadere informatie1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE
E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Uiterste inleverdatum dinsdag oktober, voor het begin van het college N.B. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je moet het huiswerk
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 21 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 32 Outline 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Nadere informatieAntwoorden. 1. Rekenen met complexe getallen
1. Rekenen met complexe getallen 1.1 a. 9 b. 9 c. 16 d. i e. 1 1. a. 1 b. 3 c. 1 d. 4 3 e. 3 4 1.3 a. 3 i b. 3 i c. i d. 5 i e. 15 i 1.4 a. 33 i b. 7 i c. 4 3 i d. 3 5 i e. 5 3 i 1.5 a. 1 ± i b. ± i c.
Nadere informatieDe wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton
De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.3, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 34 Outline 1 Conforme afbeeldingen 2 K. P. Hart TW2040:
Nadere informatieDe hoofdstelling van de algebra en het veld van de complexe getallen
Hoofdstuk 6 De hoofdstelling van de algebra en het veld van de complexe getallen 6.1 Factoriseren van veeltermen 1. Een reële veelterm q(x) met hoogstegraadsterm 5x 5 heeft als nulpunten 2, 1 + 3i, 2 2i
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatie1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en
Nadere informatieMathematical Modelling
Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Overzicht 1 Inleiding 2 Overzicht 1 Inleiding 2 Bijeenkomsten Vrijdagmiddagen: 13:45 17:30 (tijden in benadering) 13:45-14:15: nabespreken
Nadere informatieIn dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies.
03 college 5: meer technieken In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. Opmerking over de notatie. Net als in het
Nadere informatieComplexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
Nadere informatieMathematical Modelling
1 / 64 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 09-11-09 2 / 64 Niet overal analytisch: een rangschikking 2. De hoofdklasse A: rationale functies: f (z) = z5 + z 2 + 3z + 4 z 3 + 4z 2 + 5z
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op ,
1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op 25-11-1998, 9.00-12.00 uur Opgave 1 1. Formuleer de Cauchy-Riemann-vergelijkingen.
Nadere informatiePraktische opdracht Wiskunde B Complexe Getallen
Praktische opdracht Wiskunde B Complexe Get Praktische-opdracht door een scholier 1750 woorden 12 mei 2003 5,2 86 keer beoordeeld Vak Wiskunde B Inleiding Deze praktische opdracht wiskunde heeft als onderwerp:
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.10, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 23 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline 1 2 3 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Nadere informatieWiskundige Technieken
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen 1ste Bachelor Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 014-015 1ste semester 1 oktober 014 Wiskundige Technieken 1. Beschouw een scalaire functie f : R R en een vectorveld
Nadere informatieAlgebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies
Algebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies Trainingsweek juni 2008 Kwadraat afsplitsen Een kwadratische functie oftewel tweedegraads polynoom) px) = ax 2 + bx + c a 0) kan in verschillende
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, 9.00-12.00 uur. Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven. De uitwerkingen van deze opgaven dienen
Nadere informatie2 Modulus en argument
Modulus en argument Verkennen Modulus en argument Inleiding Verkennen Probeer zelf te bedenken hoe je een complex getal kunt opschrijven vanuit de draaihoek en de lengte van de bijbehorende vector. Uitleg
Nadere informatieH. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie
H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische
Nadere informatieLineaire Algebra 1. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven
Lineaire Algebra 1 Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven 2012-2013 ii Syllabus bij Lineaire Algebra 1 (2WF20) Inhoudsopgave 1 Complexe getallen 1 1.1 Rekenen met complexe
Nadere informatieCombinatoriek groep 1 & 2: Recursie
Combinatoriek groep 1 & : Recursie Trainingsweek juni 008 Inleiding Bij een recursieve definitie van een rij wordt elke volgende term berekend uit de vorige. Een voorbeeld van zo n recursieve definitie
Nadere informatie1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
Nadere informatie2 de Bachelor IR 2 de Bachelor Fysica
de Bachelor IR de Bachelor Fysica 6 augustus 05 Er worden 4 vragen gesteld. Vul op ieder blad je naam in. Motiveer of bewijs iedere uitspraak. Los alle vragen op, op een apart blad! Het examen duurt u30.
Nadere informatieWiskundige Technieken
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 009-010 1ste semester 7 oktober 009 Wiskundige Technieken 1. Integreer de volgende differentiaalvergelijkingen: (a) y + 3x y = 3x (b) y + 3y + y = xe
Nadere informatieWiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4
Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen
Nadere informatiede optelling en vermenigvuldiging van complexe getallen, de beschrijving van complexe getallen in termen van poolcoördinaten,
Hoofdstuk 1 Complexe getallen 1.1 Rekenen met complexe getallen 1.1.1 We kunnen reële getallen opvatten als punten van een rechte lijn, de getallenrechte. Net zo kunnen we complexe getallen opvatten als
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatieExamen Complexe Analyse vrijdag 20 juni 2014, 14:00 18:00 uur Auditorium De Molen. Het examen bestaat uit 4 schriftelijke vragen.
Examen Complexe Analyse vrijdag 0 juni 04, 4:00 8:00 uur Auditorium De Molen Naam: Studierichting: Het examen bestaat uit 4 schriftelijke vragen. Elke vraag telt even zwaar mee. Het boek Visual Complex
Nadere informatie4051CALC1Y Calculus 1
4051CALC1Y Calculus 1 College 1 2 september 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/
Nadere informatieVectorruimten en deelruimten
Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie
Nadere informatief : z z 2 + c. x n = 1 2 z n dan krijgen we z n+1 = z 2 n + a 2 a2 4 De parameter c correspondeert dus met a middels c = a 2 a2 4
Juliaverzamelingen en de Mandelbrotverzameling In de eerste twee colleges hebben we gezien hoe het itereren van een eenvoudige afbeelding tot ingewikkelde verschijnselen leidt. Nu gaan we dit soort afbeeldingen
Nadere informatieExamen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011
Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011 vraag 1: Gegeven is het complex getal ω = exp(i π 5 ). vraag 1.1: Als we in het complexe vlak het punt P met cartesiaanse coördinaten (x, y) vereenzelvigen
Nadere informatieSignalen en Transformaties
Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Complexe getallen z D a C bi We definiëren de complex
Nadere informatieUitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieGetaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
Nadere informatieRINGEN EN LICHAMEN. Aanvullende opgaven met uitwerkingen
RINGEN EN LICHAMEN Aanvullende opgaven met uitwerkingen Hierna volgen een aantal aanvullende opgaven die gaan over kernbegrippen uit de eerste hoofdstukken van Ringen en Lichamen. Probeer deze opgaven
Nadere informatieLes 1 De formule van Euler
Aatekeig VWO 6 Wis D Hfst 12 : Complee getalle gebruike Les 1 De formule va Euler Je kut complee getalle op 3 maiere schrijve : z = a + bi z = z (cosφ + i si φ) z = r e iφ = e p e iφ = e p+iφ met e iφ
Nadere informatieInhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen
Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 16 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline III.7 Applications of the Residue Theorem
Nadere informatieWeek 2. P.6 Polynomen en rationale functies P.7 Goniometrische functies
Week 2 P.6 Polynomen en rationale functies P.7 Goniometrische functies 2 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.6 Polynomen phxl = 2 x 3 - x + 4 en qhxl = x 2 zijn polynomen in x. Een polynoom in x is een veelterm
Nadere informatieFuncties van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Kunnen we elke integraal oplossen? Z e x x dx Z e x2 dx
Nadere informatieInfi A oefententamen ψ
Infi A oefententamen ψ Aanwijzingen Motiveer alle antwoorden. Werk rustig, netjes en duidelijk. Zorg dat je uitwerking maar één interpretatie toelaat. Alle informatie op dit opgavenblad mag bij alle (deel)opgaven
Nadere informatieCombinatoriek groep 2
Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een
Nadere informatieTENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN ANALYSE. dinsdag april 2007, 4.00-7.00. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste vijf opgaven gaan over de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vijf opgaven gaan
Nadere informatieTentamen Calculus 2 25 januari 2010, 9:00-12:00 uur
Tentamen Calculus 5 januari 00, 9:00 -:00 uur Je mag geen rekenapparaat gebruiken. De opgaven t.e.m. 6 tellen allemaal even zwaar. Vermeld op elk papier dat je inlevert je naam en je studentnummer. Geef
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieTentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30
Tentamen WISN11 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov 16 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Nadere informatie168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieOefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Nadere informatieVoorbereidende sessie toelatingsexamen
1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar
Nadere informatieComplexe getallen in context
Complexe getallen in context voor wiskunde D ( 5 VWO) R.A.C. Dames H. van Gendt Versie 4, juni 0 In deze vierde versie zijn alleen een aantal zetfouten verbeterd. Inhoudelijk is deze versie geheel gelijk
Nadere informatieStandaardfuncties. x c
Standaards Constante Parameter We geven in dit document een overzicht van een aantal veelvoorkomende s. We geven steeds het voorschrift en de grafiek. (Ter herinnering: het domein vermelden we niet, het
Nadere informatieExamen Complexe Analyse vrijdag 21 juni 2013, 14:00 18:00 uur Auditorium De Molen
Examen Complexe Analyse vrijdag 1 juni 013, 14:00 18:00 uur Auditorium De Molen Naam: Studierichting: Het examen bestaat uit 4 schriftelijke vragen. Elke vraag telt even zwaar mee. Er is een bonusvraag
Nadere informatieVeeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm
Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n
Nadere informatieCombinatoriek groep 1
Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Getallenrijen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een directe formule geeft a n in
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatieComplexe getallen in context
Complexe getallen in context voor wiskunde D ( 5 VWO) R.A.C. Dames H. van Gendt Versie, november 006 Deze module is ontwikkeld in opdracht van ctwo. Copyright 006 R.Dames en H. van Gendt Inhoud Inhoud...3
Nadere informatie8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3
8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar
Nadere informatieOver de construeerbaarheid van gehele hoeken
Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:
Nadere informatietoelatingsexamen-geneeskunde.be Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld.
Wiskunde juli 2009 Laatste aanpassing: 29 juli 2009. Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Vraag 1 Wat is de top van deze parabool 2 2. Vraag
Nadere informatieHertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur
Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieWeek 2. P.5 Combineren van functies P.6 Polynomen en rationale functies P.7 Goniometrische functies
Week 2 P.5 Combineren van functies P.6 Polynomen en rationale functies P.7 Goniometrische functies 2 Basiswiskunde_College_2.nb P.5 Combineren van functies Het combineren gaat op 3 manieren: é algebraïsch
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 13 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 41 Outline III.6 The Residue Theorem 1 III.6 The
Nadere informatie. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom
8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer
Nadere informatieOPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010
OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 1. Zij V een vectorruimte en A = {v 1,..., v m } een deelverzameling van m vectoren uit V die voortbrengend is voor V, m.a.w. V = A.
Nadere informatie