Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen

Transcriptie

1 Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina van Les Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen N = Natuurlijke getallen =,2,,.. Z = Gehele getallen =,-,-2,-,0,,2,,.. Q = Rationale getallen (breuken) = Z en ½, - ¾, etc R = Reële getallen = Q en 7,π, - 28, etc C = Complexe getallen = R en alles van de vorm a+bi Definitie Complexe getallen zijn getallen van de vorm z = a + bi met i 2 = -!!!!! Voorbeelden zijn +4i, 0-2i, maar ook -i (=0 - i) of 4 (=4 + 0i) Stappenplan kwadraat afsplitsen (i) Schrijf (x+ ½b) 2 uit. (ii) Vul dit in de opgave in en los de vergelijking op. Voorbeeld Los de vergelijking x 2 + 8x 20 = 0 op met kwadraat afsplitsen. Oplossing (i) (x+4) 2 = x 2 + 8x +6 (ii) Vul in en los de vergelijking op. x 2 + 8x 20 = 0 x 2 + 8x = 0 (x+4) 2 6 = 0 (x+4) 2 = 6 x+4 = 6 v x+4 = -6 x = 2 v x = -0

2 Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina 2 van Voorbeeld 2 Los de vergelijkingen op. Maak gebruik van i 2 = - a. x 2 + 4x +9 = 0 b. x 2 5x 6¼ = 0 Oplossing 2 a. (i) (x+2) 2 = x 2 +4x + 4 (ii) x 2 +4x + 9 = 0 x 2 +4x = 0 (x+2) = 0 (x+2) 2 = -5 = 5i 2 (!!!!) x+2= (5) i v x+2= - (5) i x = -2 + (5) i v x = -2 - (5) i b. (i) (x-2½) 2 = x 2-5x + 6¼ (ii) x 2 5x 20 = 0 x 2 5x + 6¼ + 0 = 0 (x 2½) = 0 (x 2½) 2 = 0 =0i 2 x 2½= 0i v x 2½= 0i x = i v x = 2 2 0i

3 Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina van Les 2 : Rekenen met complexe getallen Definitie Als z = a + bi, dan is z = { geconjungeerde van z } = a - bi Er zijn vier bewerkingen die we uitleggen aan de hand van een voorbeeld Voorbeeld () Plus ( + 4i) + (5 + 7i) = 8 + i (2) Min ( + 4i) (5 + 7i) = 2 i () Keer ( + 4i) (5 + 7i) = 5 + 2i + 20i + 28i 2 = 5 + 4i 28 = + 4i 2 4i 4i 5 7i 5 2i 20i 28i 5 i 28 4 i 4 (4) Delen i 2 5 7i 5 7i 5 7i 25 49i

4 Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina 4 van Les 4 Het complexe vlak Gegeven is het complexe getal z = + 2i. Een aantal begrippen / definities : () z = {Modulus van z} = Voorbeeld : a b 2 5 (2) Re (z) = a en Im (z) = b Voorbeeld : Re ( + 2i) = en Im ( + 2i) = 2 () Tekenen van z = + 2i 2 2 a b = { Lengte van de vector / straal van de cirkel } 2i (4) Arg (z) = { Het argument van z } = { Hoek met de positieve x-as } Voorbeeld : Arg ( + i) = 45 want tan α = dus α=45 Voorbeeld : Teken de volgende figuren a. Im (z) = b. Im(z) + Re (z) = 4 c. z = 2 d. z 2i = e. 45 Arg 90

5 Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina 5 van Oplossing a. Im (z) = y = b. Im(z) + Re (z) = 4 x + y = 4 y = 4 - x c. z = 2 d. z 2i = a b 2 a b 2 (dit is een cirkel met straal 2) a b a b (dit is een cirkel met straal en Middelpunt + 2i) e. 45 Arg 90 (hoek tussen 45 en 90 graden) a. i b. 4i 4 c. d. e.

6 Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina 6 van Les 6 Poolcoördinaten Er geldt : Zo ook : sin(θ) = y coordinaat r cos(θ) = x coordinaat r dus y = r sin(θ) dus x = r cos(θ) In het complexe vlak : z = x + iy = r cos(θ) + ir sin(θ) = r(cos(θ) + i sin(θ)) Je kunt ze als volgt berekenen () r = x 2 + y 2 (2) tan(θ) = y (en let op kwadrant en -80 θ 80) x VB.Schrijf als poolcoördinaat : a. z = + i b. z = i c. z = - + 2i Opl. a. r = = 2 tan(θ) = θ = 45 Dus z = x + iy = 2(cos(45) + i sin(45)) b. r = 2 + ( ) 2 = 2 tan(θ) = θ = 60 Dus z = x + iy = 2(cos( 60) + i sin( 60)) c. r = ( ) = Je kunt nu ook met de knop Angle werken. Dit gaat als volgt : Mode Real a+bi Catalog (2nd 0) Angle (-+2i) = 46 θ = 46

7 Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina 7 van Dus z = x + iy = 2(cos(46) + i sin(46)) Les 7 Formules voor Poolcoördinaten (De Moivre) Er gelden een aantal formules : () z z 2 = z z 2 (Stralen van de losse delen mag je x doen) (2) z = z z 2 z 2 (Stralen mag je delen) () Arg(z z 2 ) = Arg(z ) + Arg(z 2 ) (Hoeken bij elkaar optellen bij keer) (4) Arg ( z z 2 ) = Arg(z ) Arg(z 2 ) Bewijs z z 2 op het bord uitschrijven?! VB. Geef de modulus (=r) en het Argument (=θ) van a. z = ( + i)( 4i) b. z = +i 4i c. z = ( + 2i)( 5 2i) Opl. (Hoeken van elkaar aftrekken bij deel) a. z = +i r = () = 0 Angle(+i) = 8 z2 = -4i r = () 2 + ( 4) 2 = 5 Angle(-4i) = -5 z = z z2 r = 5 0 Angle= = -5 b. z = z / z2 r = 0 5 c. Probeer zelf Angle= = 7 Opmerking Je kunt controleren door bij a. de vermenigvuldiging uit te voeren : z = ( + i)( 4i) = 9 2i + i 4i 2 = 9i Dit geeft r = 5 0 Angle= = -5 Formule van de Moivre : z n = (r(cos(θ) + i sin(θ)) n = r n (cos(nθ) + i sin(nθ)) VB. Bereken a. (+i) 5 b. (-4i) 4 Opl. a. z = +i r = () = 0 Angle(+i) = 8 (+i) 5 r 5 = 0 5 = 00 0 Angle = 5 8 = 90 b. z2 = -4i r = () 2 + ( 4) 2 = 5 Angle(-4i) = -5 (-4i) 4 r 4 = 5 4 = 625 Angle = 4-5 = -22

8 Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina 8 van Les 8 Complexe machtsvergelijkingen oplossen Stappenplan voor Complexe e (4 e) graads vergelijkingen oplossen () Schrijf het getal rechts als poolcoördinaat. (2) Schrijf (4) verschillende oplossingen op die een hoek van 60 graden verschillen. () Gebruik de Moivre om de (4) vergelijkingen op te lossen. VB. Los op a. z = 4i b. (z-) 2 = -25

9 Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina 9 van Opl. a. () z = 4i = 2(cos(90) + i sin(90)) (2) De drie oplossingen zijn o z = 2(cos(90) + i sin(90)) o z = 2(cos(450) + i sin(450)) (+60) o z = 2(cos(80) + i sin(80)) (+60) () De echte oplossingen zijn o z = 2(cos(0) + i sin(0)) o z = 2(cos(50) + i sin(50)) o z = 2(cos(270) + i sin(270)) = 0 2 i b. () (z-) 2 = -25 p 2 = 5(cos(80) + i sin(80)) (2) De drie oplossingen zijn o p 2 = 5(cos(80) + i sin(80)) o p 2 = 5(cos(540) + i sin(540)) (+60) () De echte oplossingen voor p zijn a. p = 5(cos(90) + i sin(90)) = 0 + 5i = 5i b. p = 5(cos(270) + isin(270)) = 0 5i = 5i (+60) Dus z = +5i of z = - 5i

10 Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina 0 van Les 9 Het Complexe vlak VB. Gegeven is het vlak met domein Re(z) en Im(z) 2 a. Teken dit vlak van z. Het vlak z wordt door Jan gedraaid volgens de formule f(z) = (+i)z met bovengenoemde domein. b. Bepaal het bereik. c. Teken het bereik in dezelfde tekening. Hoe is het bereik ontstaan uit het domein. Het vlak z wordt door Kees behandeld volgens de formule f(z) = 4 + 2i - z met bovengenoemde domein. d. Teken het bereik van deze functie in een nieuwe tekening. e. Bepaal het nulpunt bij oneindig domein. f. Bepaal het dekpunt bij oneindig domein. Opl. a. 2 b. z = +i r = () = 2 Angle(+i) = 45 Van de vector (0,ieder hoekpunt) wordt met 2 vermenigvuldigd en gedraaid over 45. Dus (,) r = 2 2 = 2 en hoek was 45 en wordt = 90 (0,2) (,) r = 0 2 = 20 en hoek was 8 en wordt = 6 (,2) r = 2 = 26 en hoek was 4 en wordt = 79 (,2) r = 5 2 = 0 en hoek was 6 en wordt = 08 c. Je kunt dit doen door vanuit ieder hoekpunt 45 graden verder te tekenen met de goede straal!!

11 Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina van d. 4 5 Opmerking : 4 hoger en 2i hoger. e. Nulpunt : 4 + 2i z = 0 z = 4 + 2i f. Dekpunt : 4 + 2i z = z 2z = 4 + 2i z = 2 + i 7