Complexe getallen. Les 3 Complexe vergelijkingen

Transcriptie

1 Complexe getallen Les 3 Complexe vergelijkingen (Deze les sluit aan bij paragraaf 2, vanaf blz 13, van Inleiding Complexe getallen van de Wageningse Methode)

2 Vooraf Belangrijk om te weten en te gebruiken: α π 66 π 44 π 33 sin(α) 1 2 cos(α) π π 0 1 tan(α)

3 Vooraf Belangrijk om te weten en te gebruiken: π 5π 6 2π 3 π 2 π 3 π π 6 4π 3 3π 2 11π 6 = π 6 5π 3 = π 3

4 Vergelijkingen Voorbeeld Gegeven de vergelijking: zz 4 = 1 zz 4 = zz 4 = 1 dus zz = 1 arg(zz 4 ) = arg 1 = 0 op een veelvoud van 2π na. zz 2 arg(zz 4 ) = 4 arg zz = 0,2π, 4π, 6π, 8π.. arg zz = 0, 1 π, π, 3 π, 2π,. 2 2 Er zijn vier oplossingen 1, ii, 1, ii, op de eenheidscirkel. zz 4 zz 3 zz 1

5 De vergelijking zz nn = 1 Gegeven z voldoet aan de vergelijking zz nn = 1. Dan is zz nn = zz nn = 1 dus zz = 1 en z ligt op de eenheidscirkel. Ook is arg zz nn = nn arg zz = 0,2π, 4π, 6π,.., 2nnπ Dus arg zz = 0, 2π, 4π, 6π,. 2nnπ = 2π. nn nn nn nn De oplossing van de vergelijking zz nn = 1 vormen een regelmatige veelhoek op de eenheidscirkel in het complexe vlak.

6 De vergelijking zz nn = 1 Gegeven z voldoet aan de vergelijking zz nn = 1. Dan is zz nn = zz nn = 1 dus zz = 1 en z ligt op de eenheidscirkel. Ook is arg zz nn = nn arg zz = 0,2π, 4π, 6π,.., 2nnπ Dus arg zz = 0, 2π, 4π, 6π,. 2nnπ = 2π. nn nn nn nn De oplossing van de vergelijking zz nn = 1 vormen een regelmatige veelhoek op de eenheidscirkel in het complexe vlak. Deze oplossingen zijn van de vorm: cos 2πkk nn + i sin 2πkk nn. (k = 0,1,2,,n-1)

7 De vergelijking zz nn = 1 Voorbeeld De oplossingen van zz 6 = 1 zijn: cos 0 + i sin 0 = 1 cos 2π + i sin 2π = cos π + i sin π = 1 + i cos 4π + i sin 4π = cos 2π + i sin 2π = 1 + i cos 6π + i sin 6π = cos π + i sin π = cos 8π + i sin 8π = cos 4π + i sin 4π = 1 i cos 10π 6 + i sin 10π 6 = cos 5π 3 + i sin 5π 3 = 1 2 i 1 2 3

8 De vergelijking zz nn = ww Voorbeeld Stel z is oplossing van zz 3 = 8. Dan is zz 3 = 8 dus z = 3 8 =2. De oplossingen liggen op een cirkel met straal 2. arg zz 3 = 3arg(zz) en arg zz 3 = arg 8 = π + 2kkπ arg zz = 1 arg zz kkπ = π kkπ Deze oplossingen zijn: 2cos π + 2ii 3 sin(π) = 1 + ii 3 3 2cos π + 2ii sin π = 2 2cos 5π + 2ii sin 5π = 1 i 3 3 3

9 De vergelijking zz nn = ww Laat zien dat (1 i 3) 3 = 8

10 De vergelijking zz nn = ww (1 i 3) 3 = (1) ii ii ii 3 3 = = 1 3 ii ii i = = 1 3 ii ii 3 3 = 1 3 ii ii 3 = 1 9 = 8

11 De vergelijking zz nn = ww Voorbeeld Los op zz 3 = i

12 De vergelijking zz nn = ww Voorbeeld Los op zz 3 = i zz 3 = ii = 1 zz =1 arg zz 3 = 3 arg zz = arg ii = π 2 arg zz = π, π + 2 π, π + 4 π kkπ, k = 0,1,2 zz = cos π 6 + i sin π 6 = i zz = cos 5π 6 + i sin 5π 6 zz = cos 3π 2 + i sin 3π 2 = i = 0 i = i

13 De vergelijking zz nn = ww Los op zz 3 = i

14 De vergelijking zz nn = ww Los op zz 3 = i Antwoord zz 1 = ii 2 2 zz 2 = ii 2 2 zz 3 = ii

15 De Formule van de Moivre (cos φφ + ii sin φφ) nn = cos nnφφ + ii sin nnφφ Bewijs Stel zz = cos φφ + ii sin φφ Dan is zz = (cos φφ) 2 +(sin φφ) 2 = 1 zz nn = zz nn = 1 en arg zz nn = nn arg zz = nnφφ (cos φφ + ii sin φφ) nn = zz nn = cos nnφφ + ii sin nnnn

16 De Formule van de Moivre Voorbeeld Bereken ( ii 3)10

17 De Formule van de Moivre Voorbeeld Bereken ( ii 3)10 Uitwerking ii 3 = cos π + ii sin(π) 3 ( ii 2 2 3)10 = (cos π + ii 3 sin(π 3 ))10 = cos 10π 3 + ii sin( 10π 3 )= = cos 2π + 4π 3 + ii sin 2π + 4π 3 = = ii 3

18 De Formule van de Moivre Voorbeeld Bereken (1 + ii 3) 10

19 De Formule van de Moivre Voorbeeld Bereken (1 + ii 3) 10 Uitwerking 1 + ii 3 = = 2 (1 + ii 3) 10 = (2 ( ii 3))10 = ii 3 10 = = ii 3 = ii 3

20 De uitgebreide Formule van de Moivre (rr (cos φφ + ii sin φφ)) nn = rr nn ( cos nnφφ + ii sin nnφφ) Bewijs Stel zz = rr cos φφ + ii rr sin φφ zz nn = (rr (cos φφ + ii sin φφ)) nn = rr nn (cos φφ + ii sin φφ)) nn = = rr nn ( cos nnφφ + ii sin nnnn) (volgens de Moivre)

21 De complex geconjugeerde Als zz = aa + bbbb dan heet zz = aa bbbb de complex geconjugeerde van z. bb zz = aa + bbbb aa bb zz = aa bbbb De overgang van zz = aa + bbbb naar zz = aa bbbb komt overeen met een spiegeling in de x-as.

22 De complex geconjugeerde Eigenschappen zz + ww = zz + ww zz ww = zz ww zz zz = zz 2

23 De complex geconjugeerde Eigenschappen zz + ww = zz + ww zz ww = zz ww zz zz = zz 2 Bewijs zz + ww = aa + bbbb + cc + dddd = aa + cc + (bb + dd)ii = aa + cc bb + dd ii = = aa bbbb + cc dddd = zz + ww

24 De complex geconjugeerde Eigenschappen zz + ww = zz + ww zz ww = zz ww zz zz = zz 2 Bewijs zelf de laatste twee eigenschappen.

25 Complexe getallen delen zz = aa + bbbb eeee ww = cc + dddd. De breuk aa+bbbb cc+dddd kun je als volgt herschrijven: aa + bbbb cc + dddd = (aa + bbbb)(cc dddd) (cc + dddd)(cc dddd) = (aa + bbbb)(cc dddd) cc 2 + dd 2 = aacc + bbbb + (bbbb aadd)ii cc 2 + dd 2

26 Complexe getallen delen zz = aa + bbbb eeee ww = cc + dddd. De breuk cc+dddd kun je als volgt herschrijven: aa+bbbb cc + ddii aa + bbii = (cc + ddii)(aa bbbb) (aa + bbii)(aa bbbb) = (cc + ddii)(aa bbii) aa 2 + bb 2 = aacc + bbbb + (aaaa bbbb)ii aa 2 + bb 2 Gevolg 1 aa + bbii = aa bbii aa + bb 2 = aa aa + bb 2 bbbb aa + bb 2 Let op: op blz 15 staat een fout in het grijze vlak.

27 Complexe getallen delen Voorbeelden 1 = ii = ii = ii ii ii ii = 1 ii = 1 ii = 1 1 ii (1+ii)(1 ii) ii = (1 ii)(1 ii) = 1 2ii+ii2 = ii. 1+ii (1+ii)(1 ii) 2

28 Complexe getallen delen Bereken 1 ii 1 ii 1 ii 1 ii (1+ii) 2

29 Worteltrekken Voorbeeld Gegeven is dat z voldoet aan: zz 2 = ii Dan is zz 2 = zz 2 = ii = 1 zz = 1 En: arg zz 2 = 2 arg zz = arg ii = π 2 + 2kkπ arg zz = π 4 + kkπ = π 4, 5π 4 Twee oplossingen: zz = ii 2 en ii 2

30 Worteltrekken Controleer of de oplossingen: zz = ii 2 en ii voldoen aan de vergelijking zz 2 = ii.

31 Worteltrekken z en w zijn complexe getallen die voldoen aan de vergelijking: zz 2 = ww. Dan is: zz = ww en arg zz = 1 arg ww + kkπ (k = 0,1) 2

32 Worteltrekken Los op zz 2 = ii Aanwijzing: schrijf ii 3 in de vorm rr (cos αα + ii ssssss αα ) 2 2

33 Worteltrekken Los op zz 2 = ii Aanwijzing: schrijf ii 3 in de vorm rr cos αα + ii ssssss αα 2 2 Antwoord zz 1 = ii 2 2 zz 2 = ii 2 2

34 Oefenen Maken: De opgaven van paragraaf 2 vanaf blz 13, in ieder geval de opgaven 9,10, 11, 14 en 18.

35 Huiswerk Inleveren: van paragraaf 2, opgave 23.