Huiswerk Hints&Tips Analyse 2, College 26

Transcriptie

1 Huiswerk Hints&Tips Analyse, College 6 [K..]. Tip : Toon aan dat er punten (x, y ) en (x, y ) en scalars m, M R bestaan zo dat m = f(x, y ) f(x, y) f(x, y ) = M. Laat dan zien dat m(b a)(d c) = m f M = M(b a)(d c) en daarmee R R R dat m f M. Het te vinden punt (x, y ) ligt nu op het lijnstuk tussen (b a)(d c) R (x, y ) and (x, y ). Zie dat in door de functie g(t) = f(x + (x x )t, y + (y y )t) op [, ] te bestuderen. [K..6a]. Alternatief: Twee maal middelwaarde stelling (op grond van Fubini) let op dat je begint met de juist van de twee integralen. Tip: Er geldt voor alle continue partieel differentieerbare functies dat d c y f(x, y) dy = [f(x, y)]d y=c dus dat geldt ook voor functie (x, y) f x (x, y). R f xy = d c f xy (x, y) dy = d c y (f x(x, y)) dy = [f x (x, y)] d y=c = f x(x, d) f x (x, c) [K..7a]. 3. Integreer dit resultaat nu in de x-richting. Geen tip. Tip eigenlijk het antwoord met veel details: Laat ε > willekeurig klein. Gegeven: R = [a, b] [c, d]. an bestaan er partities P van [a, b] en P van [c, d] zo dat P = {a = x < x <... < x n = b} en P = {c = y < y <... < y m = d}, en daarmee een partitie P = P P van R (bestaande uit rechthoekjes R i,j := [x i, x i ] [y j, y j ]) zó dat U(P, f) L(P, f) < ε. Per definitie U(P, f) = i=n,j=m i=,j= M i,j x i y j, L(P, f) = i=n,j=m i=,j= m i,j x i y j met M i,j = sup f(x, y), m i,j = inf f(x, y) (x,y) [x i,x i] [y j,y j] (x,y) [x i,x i] [y j,y j] efinieer verzameling I := {(i, j): i {,..., n} j {,..., m}} en merk op dat elke (i, j) I verwijst naar het uniek rechthoekje R i,j met oppervlakte x i y j >. Merk op dat P zo is gekozen dat U(P, f) L(P, f) = waar door constructie i=n,j=m i=,j= (M i,j m i,j ) x i y j = (i,j) I M i,j m i,j and x i y j > i =,..., n, j =..., m. (M i,j m i,j ) x i y j < ε 6.

2 Stel nu dat we niet sommeren over alle rechthoekjes R i,j met (i, j) I maar een deel daarvan: over (i, j) I I. an geldt ook voor dat deel van de rechthoekjes dat U(P, f) L(P, f) = (M i,j m i,j ) x i y j + (M i,j m i,j ) x i y j < ε }{{}}{{} (i,j) I (i,j) I\I > en daarmee (we laten een positief deel weg) dat U(P, f) L(P, f) = (i,j) I (M i,j m i,j ) x i y j < ε. Stel dat rechthoekjes in I precies R overdekken dan zijn we klaar want dan nemen we de partitie die hoort bij de rechthoekjes uit I. Mocht dat niet lukken (er is geen I zodat het lukt) dan verfijnen we P (door P en/of P te verfijnen): Stel nu dat S = [a, b ] [c, d ] R een rechthoek is die binnen R valt. an kan P worden uitgebreid met punten a, b tot fijnere partitie P van [a, b] en dan kan P worden uitgebreid met punten c, d tot fijnere partitie P van [c, d] dit levert een fijnere partitie P = P P P zodat ook U(P, f) L(P, f) U(P, f) L(P, f) = (M i,j m i,j ) x i y j < ε. (i,j) P 4. Laat nu het juiste deel weg. Tip: Gebruik dat het het begrip Vol alleen gedefinieerd is voor rechthoeksgebieden. aarnaast neem aan dat voor twee elkaar niet overlappende rechthoeken R en R geldt dat Vol(R R ) = Vol(R ) + Vol(R ). () eze aanname is niet noodzakelijk en strikt genomen ook niet correct omdat Vol alleen voor rechthoeken is gedefinieerd (en R R hoeft geen rechthoek te zijn). We maken een partitie die alle rechthoeken in A k en B k A k overdekt en zó dat elke A k en B precies door een eindig aantal rechthoekjes wordt overdekt. In feite zorgen we voor een raster zó dat A k en B elk precies worden overdekt met raster-rechthoekjes R i,j = [x i, x i ] [y j, y j ]: efiniëer a i, b i, c i, d i door A k = [a k, b k ] [c k, d k ], en x, x,..., x n door a = x < x <... < x n = b en {x, x,..., x n } = {a,..., a N, b,..., b N }, en net zo y, y,..., y m door c = y < y <... < y m = d en {y, y,..., y m } = {c,..., c N, d,..., d N }. efinieer weer I = {(i, j): i {,..., n} j {,..., m}}. e verdeling a = x <..., < x n = b definieert partitie P en de verdeling c = y <..., < y m = d definieert partitie P. Samen definieren P = P P een partitie van rechthoekjes R i,j = [x i, x i ] [y j, y j ] zó dat elke A k en B precies de vereniging van een aantal van de rechthoekjes in P is. Stel B wordt overdekt door drie rechthoeken A, A en A 3. Teken deze situatie en teken de hierboven geconstrueerde partitie P = P P. Er gelden nu de volgende interessante eigenschappen: voor iedere A k is er een I k I zodat geldt A k = (i,j) Ik R i,j 6.

3 waaruit volgt dat V ol(a k ) = (i,j) Ik V ol(r i,j ) Omdat B k A k geldt dat er een I B I moet bestaan zó dat B = (i,j) IB R i,j (i,j) I R i,j k A k waar uit volgt dat V ol(b) k V ol(a k). Om in te zien dat alles echt klopt, bepaal voor je voorbeeld met B en A, A en A 3 de deelverzamelingen I, I, I 3 en I B. Toon tenslotte aan dat zonder aanname () ook alle interessante eigenschappen bewezen kunnen worden. 6.3

4 a. b [K..]. 5[K.3.b]. Huiswerk Hints&Tips Analyse, College 7 Tip: it volgt een bewijs gegeven op het college. Zonder verlies van algemeenheid bestuderen we de eenheidscirkel en tonen aan dat die Jordan-inhoud heeft. efinieer de n punten (x k, y k ) = (cos kπ kπ n, sin n ) voor k =,,..., n. Zie in dat de afstand tussen ieder tweetal naast elkaar liggende punten kleiner is dan π n. Voor alle k =,,..., n definieer nu vierkant R k = [a k, b k ] [c k, d k ] met diameter b k a k = d k c k = π n en midpunt (x k, y k ). an ligt het hele stukje cirkelboog tussen (x k, y k ) en (x k, y k ) in de twee vierkanten om deze punten. us de complete cirkelboog wordt overdekt door deze vierkanten. e totale oppervlakte is n ( ) π n = 4π n. Voor het algemene geval: Merk op dat de cirkel met middelpunt (m, m ) en straal r geparametriseerd wordt door (x, y) = (m + r cos φ, m + r sin φ) en dat deze functie continu differentieerbaar is en dus Lipschitz. Tip: Handel net zo als in (a): Het is voldoende te laten zien dat een lijnstuk Jordan-inhoud heeft. Zonder verlies van algemeenheid bestuderen we het lijnstuk van de oorsprong naar (a, b). efinieer de n punten (x k, y k ) = k+ n (a, b) voor k =,,..., n. e afstand tussen ieder tweetal naast elkaar liggende punten is dan n a + b. Voor alle k definieer nu vierkant R k met diameter n a + b en midpunt (x k, y k ). an ligt het hele stukje lijn tussen (x k, y k ) en (x k, y k ) in de twee vierkanten om deze punten. us het complete lijnstuk wordt overdekt door deze vierkanten. e totale oppervlakte is n ( n a + b ) = a +b n. Voor het algemene geval handel als in (a). Tip: Laat a A, en laat r > zodat B(a, r) A. an is het vierkant V om a met diameter r geheel bevat in B(a, r) dus in A, en de oppervlakte van dit vierkant is r >. Het begrip Jordaninhoud is niet gedefinieerd. Wel is gedefinieerd het begrip Jordan-inhoud, namelijk als: voor iedere ε > bestaat er een eindige overdekking met rechthoeksgebieden waarvan de som van de volumes < ε is. Een overdekking van A overdekt ook V, en dus is volgens Opgave Tip: Schrijf φ(x) = (φ (x), φ (x)) en merk op φ, φ continu zijn op I, dus er zijn A, B met φ (x) A, φ (x) B voor alle x I. Pas nu de middelwaardestelling toe voor alle x, y I op... Geen Tip x dy dx = = y dx dy = = 6 3. c. 7.

5 .5..5 π/ x π/ y sin x dy dx = =. x sin x x geen expliciete primitieve van sin x x. dx dy gaat niet werken want we kennen d...5. x y/ e y dy dx is zo niet direct uit te rekenen. e y dx dy = = 4 (e4 )..5 [K.3.]a. 3 4 y+ y / 3 x+6 3 x+6 x dx dy = x dy dx + x+6 x x dy dx = = b. 4 3 x 4 y (x + 3) dy dx = = x 3. y/ (x + 3) dx dy = = 3. c y dx dy = y π. x dy dx = = π.. Maar poolcoordinaten werken het beste: 7.

6 y y dx dy = π r dφ dr = = π. 7.3