Opgaven Inleiding Analyse

Transcriptie

1 Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3 = 0 door stellingen te gebruiken. Opgave.2 (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat (b) Bewijs dit ook door stellingen te gebruiken. x = 2. x /2 Opgave.3 We willen met behulp van de definitie van iet bewijzen dat x + x 2 = 2. (a) Laat zien dat we voor elke δ > 0 het volgende hebben: voor alle x R met x < δ geldt: + x < 2 + δ. Concludeer dat voor zulke x geldt: + x 2 2 < 2 δ + x < δ(2 + δ). 2 Men kan nu δ oplossen als functie van ε uit de kwadratische vergelijking 2 δ2 + δ ε = 0. Als positieve wortel vinden we δ = + 2ε. Dit argument is in dit geval toepasbaar, maar in algemenere situaties niet zo geschikt. We geven daarom de voorkeur aan de onderstaande argumentatie. (b) Beredeneer dat we mogen aannemen dat 0 < δ. Laat zien dat dan geldt: 2 δ(2 + δ) 3 2 δ.

2 (c) Zij ε > 0 willekeurig gekozen. Laat zien dat voor elke 0 < δ < met δ < ε we het volgende hebben. Voor elke x R met x < δ geldt: + x 2 2 < 3ε. (d) Bewijs met behulp van de definitie van iet dat x +x 2 = 2. Opgave.4 (a) x = ; x x x x (b) Opgave.5 Bewijs met behulp van de definitie van iet: x = 2. Gegeven zijn een functie f : R R en een punt a R. Bewijs dat f(x) = f(a + h) x a h 0 zodra een van de twee ieten bestaat (u moet dus in het bijzonder het bestaan van de andere iet bewijzen). Opgave.6 (a) Gegeven zijn een functie f : R R en een reëel getal b R. Bewijs: de uitspraak x 0 f(x) = b is equivalent met de uitspraak x 0 f(x 3 ) = b. (b) Geef een voorbeeld van een functie f : R R waarvoor x 0 f(x 2 ) bestaat, terwijl x 0 f(x) niet bestaat. Opgave.7 Bepaal de afsluiting van de volgende deelverzamelingen van R. Vergeet niet te bewijzen dat uw antwoord correct is. (a) ], [ ; (b) {x R x 2 < 2}; (c) { n 2 n N} ] 0, [. Opgave.8 Bepaal de volgende ieten. sin 2x (a) x 0 x. sin(ax) (b) x 0 sin(bx), (a, b R, b 0); sin (c) 2 2x x 0 x ; sin (d) 2 2x x 0 ; x 2 x sin (e) 2 x x 0 ; x 3 x sin x (f) x 0 x sin x ; (g) x sin(x 2 ) x. 2

3 Opgave.9 Zij b = (b, b 2 ) R 2. (a) Toon vanuit de definitie van iet aan dat y y 2 = b b 2. y b We beschouwen nu een tweetal functies f, g : R n R en een punt a R n. (b) Toon met behulp van (a) en de substitutiestelling (nog eens) de volgende produktregel aan. Als x a f(x) = b en x a g(x) = b 2, dan is f(x)g(x) = b b 2. x a Hint: definieer m : R 2 R, y y y 2 en beschouw de functie m (f, g). Opgave.0 (a) Bewijs dat de iet niet bestaat. sin( x 0 x ) (b) We beschouwen de functie f : R R, gedefinieerd door { x sin( f(x) = x ) als x 0; 0 als x = 0. Bewijs dat x 0 f(x) bestaat. Hint: gebruik de insluitstelling. Is de iet uniek? Motiveer uw antwoord. Opgave. Bereken de volgende ieten. Maak daarbij gebruik van de formule a 2 b 2 = (a b)(a + b) voor a, b R. (a) x x 2 x x, (b) x 2x + 3x x x. Opgave.2 Onderzoek of de volgende ieten bestaan. Zo ja, bepaal ze. sin(sin x) (a), (b) sin( x 0 x x 0 sin x ). Opgave.3 Definieer de functies f : R R en g : ] 0, [ R door f(x) = x 2, en g(x) = x2 x x x. Bepaal x 0 (g f)(x). 3

4 Opgave.4 Van een functie f : R R is gegeven: f is continu en f(0) = 2. Laat zien dat er een δ > 0 bestaat zo dat voor alle t ] 0 δ, 0 + δ [ geldt: f(t) >. Hint: gebruik de definitie van iet. Opgave.5 Gegeven zijn een continue functie f : R n R en een punt c R n. (a) Veronderstel dat f(c) > 0 en dat 0 < m < f(c). Toon aan dat er een δ > 0 bestaat zo dat voor alle x B(c; δ) geldt f(x) > m. (b) Veronderstel dat f(c) 0. Toon aan dat er een δ > 0 bestaat zo dat voor alle x B(c; δ) geldt f(x) 0. Opgave.6 Gegeven zijn een continue functie f : R n R m en een punt c R n zo dat f(c) 0. Toon aan dat er een δ > 0 bestaat zo dat voor alle x B(c; δ) geldt f(x) 0. Opgave.7 (a) Zij f : R R continu in 0 en zij g : R R gedefinieerd door g(x) = xf(x), voor x R. Bewijs dat g differentieerbaar is in 0. (b) Zij f : R R een begrensde functie, en zij g(x) = x 2 f(x), (x R). Toon aan dat g differentieerbaar is in 0. (c) Toon aan dat de functie h : R R gedefinieerd door h(x) = x 2 sin(/x) voor x R \ {0} en door h(0) = 0, differentieerbaar is in 0. Bepaal h (0). (d) Van een functie f : R R is gegeven dat f differentieerbaar is in 0 en dat f(0) = 0. Bewijs dat er een functie g : R R bestaat die continu is in 0, terwijl f(x) = xg(x), (x R). Opgave.8 Bewijs dat de volgende afbeeldingen R n R continu zijn: (a) x a, x, waarbij a een gegeven vast element in R n is. (b) x x. (c) x x, x. Geef het bewijs op twee manieren: (i) Zonder gebruik te maken van coördinaten en met behulp van de definitie van continuïteit en eigenschappen van het inprodukt. (ii) Door gebruik te maken van coördinaten en geschikte stellingen toe te passen. Opgave.9 De functie f : R 2 R is gedefinieerd door f(x, y) = 2xy x 2 + y 2 als (x, y) (0, 0) f(0, 0) = 0. 4

5 (a) Bewijs dat f continu is op R 2 \ {(0, 0)}. (b) Bewijs dat voor iedere x R de functie y f(x, y) continu is en dat voor iedere y R de functie x f(x, y) continu is. (c) Schets de niveauverzamelingen van f voor de functiewaarden, 2, 0, 2,. (d) Bewijs dat f niet continu is in (0, 0). (e) Voor welke c R bestaat er een rij (x n, y n ) n in R 2 met n (x n, y n ) = (0, 0) en n f(x n, y n ) = c? Voor welke c R bestaat er niet zo n rij? Motiveer uw antwoord. (f) Bewijs dat f begrensd is en bereken sup f en inf f. Opgave.20 Gegeven zijn twee continue functies f, g : R R. De functie k : R R wordt gedefinieerd door k(x) = max{f(x), g(x)}; dus k(x) = f(x) als f(x) g(x) en k(x) = g(x) als f(x) g(x) (probeer in het onderstaande steeds deze karakterisering van k te gebruiken). In het vervolg veronderstellen we dat a R en dat f(a) g(a); dus k(a) = g(a). Zij ε > 0 willekeurig. (a) Toon aan dat er een δ > 0 bestaat zo dat voor alle x R met x a < δ geldt: f(x) ] f(a) ε, f(a) + ε [ en g(x) ] g(a) ε, g(a) + ε [. In het vervolg veronderstellen we dat δ > 0 voldoet aan het bovenstaande. Zij x B(a; δ) = ] a δ, a + δ [ willekeurig. (b) Veronderstel dat f(x) g(x). Bewijs dat k(x) ]k(a) ε, k(a) + ε[. (c) Veronderstel nu dat f(x) > g(x). Bewijs dat k(x) < f(a) + ε k(a) + ε. Bewijs tevens dat k(a) ε < g(x) < k(x). (d) Toon aan dat de functie k continu is in het punt a. (e) Toon aan dat de functie k continu is. Opgave.2 We beschouwen de functie f : R R, gedefinieerd door f(x) = x 2 voor x Q en door f(x) = x 2 voor x R \ Q. Bewijs dat f differentieerbaar is in 0 en bepaal f (0). Opgave.22 Gegeven zijn een interval I R, een punt a I en een functie f : I R die differentieerbaar is in a. Bewijs dat f(a + h) f(a h) = f (a). h 0 2h 5

6 2 Open en gesloten verzamelingen Opgave 2. Geef een voorbeeld waaruit blijkt dat de vereniging van oneindig veel gesloten verzamelingen niet gesloten hoeft te zijn. Opgave 2.2 Schets elk van de volgende verzamelingen V R 2, en bepaal tevens het inwendige inwv, de afsluiting V en de rand V \ inwv. Zeg tevens of de verzameling open en/of gesloten of geen van beiden is. U mag volstaan met het geven van antwoorden zonder motivatie. (a) V = {(x, y) R 2 (x, y) < }, (b) V = {(x, y) R 2 (x, y) }, (c) V = {(x, y) R 2 (x, y), y > 0}, (d) V = {(x, y) R 2 xy }, (e) V = {(x, y) R 2 x <, y <, (x, y) (0, 0)}, (f) V = {(x, y) R 2 xy =, y > 0}. Opgave 2.3 Schets elk van de volgende deelverzamelingen V R 2 en bepaal of hij open of gesloten of geen van beiden is. Bewijs uw beweringen door zoveel mogelijk gebruik te maken van de resultaten van Hoofdstuk 2 uit het dictaat. (a) V = {(x, y) R 2 y < x 2 }, (b) V = {(x, y) R 2 y x 2 }, (c) V = {(x, y) R 2 0 y x 2 }, (d) V = {(x, y) R 2 0 < y < x 2 4}, (e) V = {(x, y) R 2 x <, y <, (x, y) (0, 0)}, (f) V = {(x, y) R 2 xy =, y > 0}. Opgave 2.4 Gegeven zijn een metrische ruimte V en twee continue functies f, g : V R. De functie k : V R wordt gedefinieerd door k(x) = max{f(x), g(x)}, (x V ); dus k(x) = f(x) als f(x) g(x) en k(x) = g(x) als f(x) g(x) (probeer in het onderstaande steeds deze karakterisering van k te gebruiken). In het vervolg veronderstellen we dat a V en dat f(a) g(a); dus k(a) = g(a). Zij ε > 0 willekeurig. (a) Toon aan dat er een δ > 0 bestaat zo dat voor alle x B(a; δ) geldt: f(x) ] f(a) ε, f(a) + ε [ en g(x) ] g(a) ε, g(a) + ε [. In het vervolg veronderstellen we dat δ > 0 voldoet aan het bovenstaande. Zij x B(a; δ) willekeurig. 6

7 (b) Veronderstel dat f(x) g(x). Bewijs dat k(x) ] k(a) ε, k(a) + ε [. (c) Veronderstel nu dat f(x) > g(x). Bewijs dat k(x) < f(a) + ε k(a) + ε. Bewijs tevens dat k(a) ε < g(x) < k(x). (d) Toon aan dat de functie k continu is in het punt a. (e) Toon aan dat de functie k continu is. Opgave 2.5 We definiëren de functie : R 2 R door x := max( x, x 2 ). (a) Toon aan dat een norm op R 2 definieert. De bij behorende afstand noteren we met d. De door deze metriek gedefinieerde bol met middelpunt a R 2 en straal r > 0 noteren we met B (a; r). (b) Bepaal de open bol B (0; ) met middelpunt 0 = (0, 0) en straal. (c) Bewijs dat voor iedere a R 2 en iedere ε > 0 de bol B (a; ε) open is ten aanzien van de Euclidische metriek. (d) Bewijs dat voor iedere a R 2 en iedere ε > 0 de bol B(a; ε) open is ten aanzien van de metriek d. (e) Toon aan dat voor een deelverzameling A R 2 het volgende geldt: A is open ten aanzien van d A is open ten aanzien van d. Opgave 2.6 We schrijven U = R n, V = R m, W = R n+m, en voorzien deze verzamelingen van de Euclidische metrieken. Zij a U, b V. We zien (a, b) als punt van W. (a) Bewijs dat voor (x, y) U V geldt: d U (x, a) d W ((x, y), (a, b)) en d V (y, b) d W ((x, y), (a, b)). (b) Toon aan dat voor iedere r > 0 geldt B W ((a, b); r) B U (a; r) B V (b; r). Laat dmv een schets zien wat dit betekent voor n = m =. (c) Gegeven zijn twee open verzamelingen O U en O 2 V. Toon aan dat de verzameling O O 2 open is in W. Opgave 2.7 Gegeven is een metrische ruimte V en een deel A V. (a) Toon aan: als A open is, dan bestaat er een functie ε : A ] 0, [ zo dat A = a A B(a; ε(a)). Geldt de omgekeerde implicatie ook? Bewijs uw bewering. In het vervolg veronderstellen we dat V een deel is van R n voorzien van de geïnduceerde metriek. Merk op dat voor iedere p V en r > 0 geldt B V (p; r) = V B(p; r). 7

8 (b) Laat O een open deel zijn van R n. Toon aan dat O V open in V is. (c) Zij A V. Toon aan: als A open is in V dan bestaat er een open verzameling O R n zo dat A = O V. Hint: gebruik (a). Opgave 2.8 Zij (V, d) een metrische ruimte. Voor een deelverzameling A V definiëren we de rand fr(a) door fr(a) = A \ inw(a). Toon aan: een punt p V behoort tot fr(a) dan en slechts dan als voor elke δ > 0 geldt dat B(p; δ) A en B(p; δ) (V \ A). Opgave 2.9 Gegeven zijn twee continue functies f, g : R n R. (a) Toon aan dat de verzameling A := {x R n f(x) < g(x)} open is. (b) Zij c R n en veronderstel dat f(c) < g(c). Toon aan dat er een δ > 0 bestaat zo dat voor alle x B(c; δ) geldt f(x) < g(x). (c) Toon aan dat de verzameling gesloten is. B := {x R n f(x) = g(x)} Opgave 2.0 Gegeven is een open deelverzameling U van R n. (a) Toon aan dat voor iedere a U een δ > 0 bestaat zo dat de kubus V (a; δ) := ] a δ, a + δ [ ] a n δ, a n + δ [ bevat is in U. (b) We beschouwen de afbeelding π : R n R gegeven door π (x) = x. Toon aan dat de verzameling π (U) open is in R. (c) Geef een voorbeeld van een gesloten deelverzameling S R 2 zo dat π (S) niet gesloten is in R. Opgave 2. In deze opgave is V een metrische ruimte en A een deelverzameling van V. (a) Laat B V en veronderstel dat A B. Bewijs dat A B. (b) Zij f : V R continu en veronderstel dat f(x) 0 voor alle x A. Toon aan dat f(x) 0 voor alle x A. (c) Zij f, g : V R continu en veronderstel dat f(x) = g(x) voor alle x A. Toon aan dat f(x) = g(x) voor alle x A. (d) Geef een voorbeeld van een verzameling A R en een continue functie f : R R met f(x) > 0 voor alle x A, maar niet f(x) > 0 voor alle x A. 8

9 3 Rijen en volledigheid Opgave 3. Bepaal de volgende ieten: (a) (b) (c) n n n 2 +5 ; 2n 2 +n+2; n n 2 + n 2 n n 3 0. Opgave 3.2 Bepaal voor de volgende rijen (a n ) n of ze convergeren, en zo ja, bepaal de eit, indien a n wordt gegeven door: (a) 2 n ; (b) + ( ) n ; (c) 2 /n ; (d) ( ) n n; (e) ( + 2 n ) 2 ; (f) n!. Opgave 3.3 We beschouwen de rij (a n ) n in R gedefinieerd door de recurrente betrekkingen a = en a n+ = 3a n (n ). Bewijs de volgende beweringen. (a) De rij (a n ) n is monotoon stijgend; (b) De rij (a n ) n is naar boven begrensd; (c) a n = 3. n Opgave 3.4 Zij 0 < a < b, en definieer met inductie: a n+ = a n b n (meetkundig gemiddelde), b n+ = 2 (a n + b n ) (rekenkundig gemiddelde). Bewijs het volgende: (a) 0 a n b n voor alle n ; (b) (a n ) is monotoon stijgend; (c) (b n ) is monotoon dalend; (d) (a n ) en (b n ) convergeren en hebben beide dezelfde iet. 9

10 Opgave 3.5 Gegeven is een rij (a n ) n in R die voldoet aan Bewijs de volgende beweringen: (a) Als a > 3, dan 3 < a n+ < a n (n N). a > 0 en a n+ = a n + 6 (n ). (b) Als a < 3, dan 0 < a n < a n+ < 3 (n N). (c) (a n ) n is convergent. Bepaal n a n. Opgave 3.6 De rij (a n ) n wordt gegeven door a = 2 en a n+ = (a 2 n + 3)/2(a n ), (n N). Bewijs dat a n > a n+ > 3 voor alle n 2. Bewijs dat de rij (a n ) n convergeert en bepaal de iet. Opgave 3.7 Definieer de rijen a n := 4 n ( 2n n ) n, bn := 4 n ( 2n n ) n +, (n ). Laat zien dat (a n ) n monotoon stijgend is en dat (b n ) n monotoon dalend is. Toon aan dat beide rijen convergent zijn en dat a n = b n. n n Opgave 3.8 Voor elke n definiëren we n ( ) k+ a n :=. k k= (a) Bewijs dat de rij (a 2n+ ) n 0 monotoon dalend is. (b) Bewijs dat de rij (a 2n ) n monotoon stijgend is. (c) Bewijs dat de in (a) en (b) genoemde rijen convergent zijn. (d) Bewijs dat a 2n+ a 2n 0 voor n. (e) Bewijs dat n a n bestaat. Opgave 3.9 Bepaal ( n n n ) n n n 2. n + Aanwijzing: geef eerst een boven- en een ondergrens voor /(n 2 k + ) voor k n, beide onafhankelijk van k. 0

11 Opgave 3.0 Zij (a n ) n een rij in R en a R. (a) Veronderstel dat N N, ε > 0 en dat voor alle n > N geldt a n a < ε. Toon aan dat voor alle n > N geldt n a k a n ε + N n a. k=n+ (b) Toon aan dat: a n = a n n n n a k = a. k= Opgave 3. Laat r R zijn, r. (a) Toon aan dat voor iedere n N geldt: + r + + r n = rn+ r. (b) Toon aan: als 0 r <, dan geldt n n k=0 r k = r. We beschouwen nu een oneindig voortlopende repreterende decimale breuk van de vorm x = 0, {}}{ c... c p {}}{ c... c p... {}}{ c... c p..., met p en c,..., c p {0,..., 9}. We definiëren de rij (a n ) n N door (c) Toon aan dat n a n = x. a n = 0, {}}{ c... c p {}}{ c... c p... {}}{ c... c p (n groepjes). (d) Toon aan dat x een rationaal getal is. Hint: herschrijf a n op een geschikte manier door onderdeel (a) te gebruiken. Opmerking. Uit het bovenstaande valt direkt af te leiden dat iedere decimale ontwikkeling die op een gegeven moment periodiek wordt een rationaal getal definieert. Met iets meer moeite kan men laten zien dat omgekeerd iedere decimale ontwikkeling van een rationaal getal op den duur periodiek wordt.

12 Opgave 3.2 Bewijs voor elk van de volgende deelverzamelingen van R dat zij een infimum en een supremum bezit. Bepaal tevens het infimum en het supremum; bewijs daarbij de juistheid van uw antwoord. (a) ], ]. (b) ] 3, 4 [ {7}. (c) {r Q r 2 4}. (d) { 3}. (e) n= [0, + n [. Opgave 3.3 Onderzoek welke van de volgende verzamelingen een supremum of een infimum bezit. Bepaal alle suprema en infima; bewijs daarbij de juistheid van uw antwoorden. (a) { p p N priemgetal }. (b) {n + n n N, n }. (c) {x R x 2 < 3}. (d) n= ] n, + n [. (e) n= [ n+, n ]. (f) n= [0, n ]. Opgave 3.4 We beschouwen een niet-lege deelverzameling V R en een ondergrens a van V. Bewijs dat de volgende twee uitspraken equivalent zijn. (a) a = inf V ; (b) voor elke ε > 0 geldt [a, a + ε [ V. Opgave 3.5 We beschouwen twee niet-lege en naar boven begrensde deelverzamelingen V en W van R. We definiëren de som van V en W door V + W = {x + y x, y R}. (a) Toon aan dat V + W naar boven begrensd is en dat sup V + sup W een bovengrens voor V + W is. (b) Toon aan dat V + W een supremum heeft en dat sup(v + W ) sup V + sup W. (c) Zij δ > 0. Toon aan dat er een v V en een w W bestaan met v > sup V δ/2 en w > sup W δ/2. (d) Zij a R en veronderstel dat a < sup V + sup W. Toon aan dat a geen bovengrens is voor V + W. Hint: gebruik onderdeel (c) met δ = sup V + sup W a. (e) Toon aan dat sup(v + W ) = sup V + sup W. 2