Vectoranalyse voor TG
|
|
- Gijs Baert
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 college 4 en raakvlakken collegejaar : college : 4 build : 19 september 2016 slides : 30 Vandaag Snowdon Mountain Railway (Wales) 1 De richtingsafgeleide 2 aan een grafiek 3 Differentieerbaarheid 4 1 intro VA
2 De richtingsafgeleide Section 14.5, blz VA De richtingsafgeleide Section 14.5 Definitie Stel f is differentieerbaar in a, en stel v 0. De lijn l in het xy-vlak is gedefinieerd als de lijn door a met richtingsvector v. We parametriseren l als volgt: l: x(t) = a + t v = (a + vt, b + wt), waarbij v = (v, w) genormeerd is, dus v = v v. De richtingsafgeleide van f in a in de richting van v is de afgeleide van de samenstelling f (a + t v), berekend in a. De richtingsafgeleide wordt genoteerd als v f (a). De richtingsafgeleide is de helling (richtingscoëfficiënt) van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt ( a, b, f (a, b) ) in de richting v. De richting moet genormeerd worden, omdat v f (a) anders af zou hangen van de lengte van v VA
3 De richtingsafgeleide Stelling Stel f heeft partiële afgeleiden die continu zijn in een omgeving van a. Merk op dat x (t) = d d t (a + t v) = v. Volgens de kettingregel is d d t f (a + t v) gelijk aan f (a + t v) x (t) = f (a + t v) v. Deze afgeleide moet worden berekend in a, dus kies t = 0. Als f partiële afgeleiden heeft die continu zijn in een omgeving van a, dan is de richtingsafgeleide van f in a in de richting v gelijk aan f (a) v VA De richtingsafgeleide Voorbeeld Section 14.5, example 1 Definieer f (x, y) = x 2 + xy en a = (1, 2). Bereken de richtingsafgeleide van f in a in de richting v = (1, 1). Normeer v: de lengte van v is v = = 2, dus v = 1 ( (1, 1) = 1 ) 2 2 2, De gradiënt van f is f (x, y) = (2x + y, x). De gradiënt van f in a = (1, 2) is f (1, 2) = (4, 1). De richtingsafgeleide van f in (1, 2) in de richting van v is v f (1, 2) = f (1, 2) v = (4, 1) ( ) 1 2 2, = VA
4 De richtingsafgeleide en de gradiënt De richtingsafgeleide van f in a in de richting v is het inproduct van de gradiënt en de genormeerde versie van v: v f (a) = f (a) v = f (a) v cos θ. waarbij θ de hoek is tussen de vectoren v en f (a). Er geldt v = 1, dus v f (a) = f (a) cos θ. Omdat geldt dat 1 cos θ 1 voor alle θ, is de maximale waarde van de richtingsafgeleide gelijk aan f (a), welke wordt bereikt door v in de richting van f (a) te laten wijzen (θ = 0). De minimale waarde van de richtingsafgeleide is gelijk aan f (a), welke wordt bereikt door v in de tegengestelde richting van f (a) te laten wijzen (θ = π). De richtingsafgeleide is gelijk aan 0 als θ = ±π/2, dus als v loodrecht op f (a) staat VA Niveaukrommen Stelling Een niveaukromme van een functie f is een kromme k waarvoor geldt dat f (x) constant is voor alle x k. Stel x(t) = ( x(t), y(t) ), t I is een parametrisering van de niveaukromme bij niveau c, dan f ( x(t), y(t) ) = c voor alle t I. Volgens de kettingregel geldt d d t f ( x(t), y(t) ) = f (x(t)) x (t) = 0, dus x (t) staat loodrecht op f (x(t)). Omdat x (t) de raaklijnvector is van k in x(t) hebben we het volgende bewezen: De vectoren van de gradiënt van f staan loodrecht op de niveaukrommen van f. Zowel x (t) als f (x) kunnen gelijk zijn aan 0. De nulvector staat loodrecht op iedere vector VA
5 Niveaukrommen Voorbeeld Bestudeer de gradiënt en de niveaukrommen van f (x, y) = x 2 y 2. De niveaukrommen van f zijn hyperbolen met asymptoten y = x en y = x, plus de lijnen y = x en y = x. De gradiënt van f wordt gegeven door f (x, y) = (2x, 2y). In 0 = (0, 0) bestaat de niveauverzameling uit twee snijdende lijnen y = x en y = x. Een vector kan hier alleen maar loodrecht op staan als deze gelijk is aan 0. Inderdaad geldt: f (0, 0) = (0, 0) VA Het raakvlak Het raakvlak aan de grafiek van f in het punt ( a, b, f (a, b) ) wordt gegeven door de vergelijking z = f (a) + f x 1 (a)(x a) + f x 2 (a)(y b), waarbij a = (a, b) VA
6 Het raakvlak Voorbeeld Definieer f (x, y) = x 2 + y 2. Bepaal een vergelijking van het raakvlak V in a = (1, 2). De partiële afgeleiden van f zijn f x = 2x en f y = 2y. In a = (1, 2) zijn de partiële afgeleiden f x (a) = 2 en f (a) = 4. y Er geldt f (a) = f (1, 2) = 5, een vergelijking van V is z = 5 + 2(x 1) + 4(y 2). Vereenvoudigen levert 2x + 4y z = VA Lineaire benadering Definitie Stel f : D R 2 R is een functie van 2 en stel a D. De lineaire benadering van f in a is de functie waarvan de grafiek het raakvlak is van graf f in (a, f (a)). Het functievoorschrift van de lineaire benadering is f (x, y) = f (a) + f f (a)(x a) + (a)(y b). x y Voorbeeld: de lineaire benadering van f (x, y) = x 2 + y 2 in (1, 2) is de functie f gegeven door f (x, y) = 5 + 1(x 1) + 4(y 2) = x + 4y VA
7 Differentieerbaarheid Definitie Stel f : D R 2 R is een functie van 2 en stel a D. De functie f is differentieerbaar in a als er een lineaire benadering van f in a bestaat. De lineaire benadering hoeft niet te bestaan. Als de lineaire benadering bestaat is deze uniek. Stelling Als f differentieerbaar is in a dan bestaan de partiële afgeleiden van f in a. Stelling Als de partiële afgeleiden van f in a bestaan en continu zijn in a dan is f differentieerbaar in a VA Functies van 3 De grafiek van f = f (x, y, z) is gedefinieerd door graf f = {( x, y, z, f (x, y, z) ) (x, y, z) D }. De grafiek van f is een vier-dimensionaal object! De niveauverzameling van f bij niveau c is de oplossingsverzameling van de vergelijking f (x, y, z) = c: {(x, y, z) f (x, y, z) = c} Vaak zijn de neveauverzamelingen vlakken in R 3. We spreken daarom wel van niveauvlakken. Section 14.2, fig De niveauvlakken van de G(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 zijn concentrische bollen met middelpunt VA
8 De gradiënt van een functie van 3 Een functie van 3 heeft 3 partiële afgleiden: f f (x, y, z), x f (x, y, z) en (x, y, z). y z De gradiënt van f is de vector in R 3 met de partiële afgeleiden als component: f (x, y, z) = ( ) f f f (x, y, z), (x, y, z), x y z (x, y, z) of korter: f = ( f x, f y, f ). z De vectoren van de gradiënt van f staan loodrecht op de niveauvlakken van f VA De kettingregel in R 3 Stelling Kettingregel Stel f is een functie van 3 waarvan de partiële afgeleiden bestaan. Stel x(t), y(t) en z(t) zijn differentieerbare functies, dan d d t f ( x(t), y(t), z(t) ) = f x ( ) r(t) x (t) + f ( ) r(t) y (t) + f ( ) r(t) z (t) y z = f ( r(t) ) r (t) met r(t) = ( x(t), y(t), z(t) ) en r (t) = ( x (t), y (t), z (t) ). De functie t r(t) = ( x(t), y(t), z(t) ) is parametrisering van een ruimtekromme. De functie t f ( x(t), y(t), z(t) ) beschrijft de waarde van G langs deze kromme, als functie van t VA
9 De richtingsafgeleide van een functie van 3 Definitie Stel f is een functie van 3, en stel v 0 R 3. De richtingsafgeleide van f in a in de richting v is gedefinieerd als de richtingscoëfficiënt van de functie t f (a + t v) in t = 0, waarbij v de genormeerde versie van v is. De richtingsafgeleide in a in de richting v wordt genoteerd als v f (a). Stelling Als de partiële afgeleiden van f bestaan en coninu zijn in a dan geldt v f (a) = f (a) v VA De richtingsafgeleide van een functie van 3 Als θ de hoek is tussen f (a) en v (of v), dan v f (a) = f (a) cos θ. De maximale waarde van de richtingsafgeleide is gelijk aan f (a), welke wordt bereikt door v in de richting van f (a) te laten wijzen (θ = 0). De minimale waarde van de richtingsafgeleide is gelijk aan f (a), welke wordt bereikt door v in de tegengestelde richting van f (a) te laten wijzen (θ = π). De richtingsafgeleide is gelijk aan 0 als θ = ±π/2, dus als v loodrecht staat op f (a) VA
10 Section 14.7 Definitie Blz. 821 Stel f (x, y) is gedefinieerd op D R 2, en stel (a, b) D. f (a, b) is een lokaal maximum van f op D als f (a, b) f (x, y) voor alle (x, y) in een omgeving van (a, b). f (a, b) is een lokaal minimum van f op D als f (a, b) f (x, y) voor alle (x, y) in een omgeving van (a, b). f (a, b) is een lokaal extreem van f op D als f (a, b) een lokaal maximum dan wel een lokaal minimum is VA Kritieke punten Stelling Theorem 10 Stel f heeft een lokaal extreem in (a, b), en f (x, y) is differentieerbaar in (a, b), dan f (a, b) = 0. f (a, b) = 0 betekent: f x (a, b) = 0 en f y (a, b) = 0. Definitie Blz. 822 Een inwendig punt (a, b) van het domein van f heet een kritiek punt van f als f (a, b) = 0 of als f x (a, b) dan wel f y (a, b) niet bestaat VA
11 Kritieke punten Voorbeeld Example 1 Bepaal de kritieke punten van f (x, y) = x 2 + y 2 4y + 9. De functie f is overal differentieerbaar, dus de enige kritieke punten zijn punten (a, b) waarvoor f (a, b) = 0. f (x, y) = (2x, 2y 4), dus los op { 2x = 0 2y 4 = 0. Het enige kritieke punt van f is (0, 2) VA Zadelpunten Definitie Blz. 822 Een kritiek punt (a, b) van f heet een zadelpunt van f als iedere omgeving van (a, b) punten bevat met functiewaarden die zowel kleiner als groter zijn dan f (a, b). Zadelpunten zijn geen extreme waarden VA
12 Apenzadel z 2 1 x y Het apenzadel is de grafiek van de functie f (x, y) = x 3 3xy 2. De niveaukrommen op hoogte 0 worden gegeven door de lijnen x = 0, y = x, y = x. Het punt (0, 0) is een zadelpunt VA De Hessiaan Definitie Blz. 823 Stel de tweede-orde afgeleiden van f (x, y) bestaan in (x, y), en zijn daar tevens continu, dan is de Hessiaan of discriminant van f in (x, y) gedefinieerd als D 2 f (x, y) = f xx (x, y)f yy (x, y) ( f xy (x, y) ) 2. De Hessiaan is de determinant van deze matrix: [ ] fxx (x, y) f xy (x, y) H f (x, y) =, f yx (x, y) f yy (x, y) welke ongelukkiggerwijs ook Hessiaan wordt genoemd VA
13 Tweede-orde afgeleide test Stelling Theorem 11, blz. 823 Stel (a, b) is een kritiek punt van f waarvoor f x (a, b) = f y (a, b) = 0. Stel de tweede-orde afgeleiden van f (x, y) bestaan in (a, b), en zijn daar continu, dan geldt het volgende: (i) Als D 2 f (a, b) > 0 en f xx (a, b) < 0 dan is (a, b) een lokaal maximum van f. (ii) Als D 2 f (a, b) > 0 en f xx (a, b) > 0 dan is (a, b) een lokaal minimum van f. (iii) Als D 2 f (a, b) < 0 dan is (a, b) een zadelpunt van f. (iv) Als D 2 f (a, b) = 0 dan is op grond van deze stelling geen uitspraak mogelijk VA Tweede-orde afgeleide test Voorbeeld Example 3 Bepaal aard en positie van de lokale extrema en zadelpunten van f (x, y) = xy x 2 y 2 2x 2y + 4. f is een polynoom, dus kritieke punten zijn punten (x, y) waarvoor f (x, y) = 0. f (x, y) = (y 2x 2, x 2y 2), het enige kritieke punt van f is ( 2, 2). [ ] [ ] fxx f xy 2 1 H f = =, 1 2 f yx f yy de determinant van deze matrix is D 2 f = 3 > 0. Omdat f xx ( 2, 2) = 2 negatief is, is ( 2, 2) een lokaal maximum VA
14 Absolute extremen Voorbeeld Zie example 4 Gegeven is de functie f (x, y) = 3y 2 2y 3 3x 2 + 6xy. Toon aan dat (0, 0) een zadelpunt van f is. f (x, y) = (6y 6x, 6y y 2 + 6x), dus f (0, 0) = (0, 0), met andere woorden: (0, 0) is een kritiek punt van f. [ ] fxx f xy H f = = f yx f yy [ ] 6 6, 6 6 2y dus D 2 f (x, y) = 6 (6 2y) 6 2 = 72(y 1). D 2 f (0, 0) = 72 < 0, dus (0, 0) is een zadelpunt VA Absolute extreme waarden Definitie Stel f : D R is een functie gedefinieerd op D R n. f (a, b) is een absoluut maximum van f op D als f (a, b) f (x, y) voor alle (x, y) D. f (a, b) is een absoluut minimum van f op D als f (a, b) f (x, y) voor alle (x, y) D. f (a, b) is een absoluut extreem van f op D als f (a, b) een absoluut maximum of een absoluut minimum is. Stelling Extreme Waardenstelling Stel f : D R is een continue functie gedefinieerd op een gesloten en begrensd gebied D R n, dan neemt f op D een maximum- en een minimumwaarde aan VA
15 Absolute extreme waarden Stelling Stel a is een absoluut extreem is van f : D R, en a ligt op het inwendige van D, dan is a een kritiek punt van f. Dit volgt uit het feit dat ieder absoluut extreem ook een lokaal extreem is. Hoe vind je de absolute extrema? Maak een lijst van kandidaten met daarin: 1. kritieke punten van f op het inwendige van D; 2. kandidaten op de rand van D. Bereken van alle kandidaten de functiewaarde en bepaal welke waarde het grootst, en welke waarde het kleinst is VA Absolute extreme waarden Voorbeeld Example 5 Bepaal de absolute extrema van de functie f (x, y) = 2 + 2x + 2y x 2 y 2 9 x + y = 9 III gedefinieerd op de driehoek begrensd door D de lijnen x = 0, y = 0 en x + y = II I 1. Op het inwendige van D f is overal differentieerbaar, dus kritieke punten zijn nulpunten van f. f (x, y) = (2 2x, 2 2y), dus (1, 1) is een kandidaat. 2. Op de rand van D Verdeel de rand van D in drie stukken: I: het lijnstuk van (0, 0) naar (9, 0); II: het lijnstuk van (0, 0) naar (0, 9); III: het lijnstuk van (0, 9) naar (9, 0); VA
16 Voorbeeld (vervolg) I. De rand van I zijn kandidaten: (0, 0) en (9, 0). Voor het inwendige van I: parametriseer I: r(t) = (t, 0), 0 t 9. f ( r(t) ) = 2 + 2t t 2, en deze functie heeft een lokaal minimum voor t = 1, dit levert kandidaat (1, 0). II. Zowel f als D zijn symmetrisch ten opzichte van y = x: (0, 1) en (0, 9) zijn ook kandidaten. III. Parametriseer III met r(t) = (9 t, t), 0 t 9, dan f ( r(t) ) = t 2t 2. Deze functie heeft een lokaal maximum voor t = 9 2, dit geeft kandidaat (4.5, 4.5). 9 II 1 x + y = 9 D III 0 1 I 9 (x, y) f (x, y) (0, 0) 2 (1, 1) 4 max (1, 0) 3 (0, 1) 3 (9, 0) 61 min (0, 9) 61 min ( 9 2, 9 ) VA
Vectoranalyse voor TG
college 2 Ruimte en oppervlakken collegejaar : 18-19 college : 2 build : 5 september 2018 slides : 25 Vandaag Ruimte 1 Vectoren in R 3 recap 2 Oppervlakken 3 Ruimte 4 1 intro VA Voorkennis uit Ruimtewiskunde
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 11 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 11 23 oktober 2017 35 De sterrennacht Vincent van Gogh, 1889 1 2 3 4 5 Verband met de stelling van n 1 VA intro ection 16.7 Definitie Equation
Nadere informatiex a k of.x 1 a 1 / 2 + ::+.x n a n / 2 k 2 bol om a, straal k
Punten, Vectoren in de R n Punten: a =.a 1 ; a 2 ; : : : ; a n / ; b =.b 1 ; b 2 ; : : : ; b n / Vectoren: a = a 1 ; a 2 ; : : : ; a n ; b = b 1 ; b 2 ; : : : ; b n lengte van a : a = a 2 1 + : : : + a2
Nadere informatieEigenschappen van de gradiënt
Eigenschappen van de gradiënt De functie f stijgt in (a, b) het snelst in de richting van f(a, b) en daalt het snelst in tegenovergestelde richting. April 19, 2007 6 Eigenschappen van de gradiënt De functie
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 1 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 1 25 september 214 28 1 2 3 4 otatie Green De wet van Faraday 1 VA vandaag 4.5.6 ection 16.7 telling Vergeleijking (4.62) Theorem 6 Het
Nadere informatieRuimtewiskunde. college 3 Lijnen, vlakken en oppervlakken in de ruimte. Vandaag
college 3 Lijnen, vlakken en in de collegejaar : 16-17 college : 3 build : 6 juni 2017 slides : 37 Vandaag 1 Lijnen 2 Vlakken 3 4 Toepassing: perspectivische.16-17[3] 1 vandaag Lijnen in het platte vlak
Nadere informatieWI1708TH Analyse 3. College 5 23 februari Challenge the future
WI1708TH Analyse 3 College 5 23 februari 2015 1 Programma Vandaag Richtingsafgeleide (14.6) Gradiënt (14.6) Maximalisatie richtingsafgeleide (14.6) Raakvlak voor niveauoppervlakken (14.6) 2 Richtingsafgeleide
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 12 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 12 4 september 217 3 ail Training Vessel 263 tad Amsterdam 1 2 3 4 stelling van Gauss stelling van Green Conservatieve vectorvelden 1 VA
Nadere informatieTussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde.
Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde. Dinsdag 9 maart 2010, 9.00-11.00. Het gebruik van een rekenmachine is toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een berekening of redenering.
Nadere informatieExtrema van functies van meerdere variabelen
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 005 Les 3 Extrema van functies van meerdere variabelen Bij gewone functies van één variabel hebben we in Wiskunde 1 de vraag behandeld hoe we minima en maxima van
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatieDefinitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:
Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 6 collegejaar : 8-9 college : 6 build : 2 oktober 28 slides : 38 Vandaag Minecraft globe van remi993 2 erhaalde 3 4 intro VA Drievoudige integralen Section 5.5 Definitie Een rechthoekig blok is
Nadere informatie3.2 Kritieke punten van functies van meerdere variabelen
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 007/008 Als in een kritiek punt x 0 ook de tweede afgeleide f (x 0 ) = 0 is, kunnen we nog steeds niet beslissen of de functie een minimum, maximum of een zadelpunt
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 6 van een vectorveld collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 6 22 september 214 51 1 2 3 4 5 Gradiënt van een vectorveld 1 VA vandaag Section 16.2 Hoofdstu 4 Definitie Een vectorveld
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatie(10 pnt) Bepaal alle punten waar deze functie een relatief extreem of een zadelpunt heeft. Opgave 3. Zij D het gebied gegeven door
Calculus 3. Tentamen Calculus 3, 8 April 11 Opgave 1. Zij f(x, y, z) = xy z 3xz en g(x, y, z) = x 3 +z sin(y) y sin(z). i) (5 pnt) Laat zien dat p = (, 1, 1) op de oppervlakken {f(x, y, z)} = en {g(x,
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieMore points, lines, and planes
More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)
Nadere informatie2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE 2
2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE 2 Inleverdatum 30 maart 207, uiterlijk :5 uur Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je mag de theorie gebruiken die op het college
Nadere informatie10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
10.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0, b) y = -4x + 8 kan
Nadere informatieAanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen):
Deel I Voortgezette Analyse Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Robert C. Wrede, Murray Spiegel: (Schaum s Outline of Theory and Problems of) Advanced Calculus. McGraw-Hill
Nadere informatieRuimtewiskunde. college. Het inwendig- en het uitwendig product. Vandaag. Hoeken Orthogonaliteit en projecties. Toepassing: magnetische velden
college 2 - en het uitwendig collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 2 30 mei 207 30 2 3 4 5 Hoeken Orthogonaliteit en projecties Toepassing: magnetische velden.6-7[2] vandaag meetkundig Section
Nadere informatie(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1
Les Taylor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Analyse A, deeltentamen Uitwerkingen maandag 1 november 2010, 9 11 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan
Nadere informatie1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en
Nadere informatieInhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft
Nadere informatieDe parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor
Nadere informatieTENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN ANALYSE. dinsdag april 2007, 4.00-7.00. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste vijf opgaven gaan over de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vijf opgaven gaan
Nadere informatieUitwerkingen voorbeeldtentamen 1 Wiskunde B 2018
Uitwerkingen voorbeeldtentamen 1 Wiskunde B 2018 Vraag 1a 4 punten geeft ; geeft dus in punt A geldt ;, dus en Dit geeft Vraag 1b 4 punten ( ) ( ) ( ) Vraag 1c 4 punten ( ). Dit is de normaalvector van
Nadere informatieVrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie
Vrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie Tentamen: Convexe Analyse en Optimalisering Opleiding: Bacheloropleiding Econometrie Vakcode: 64200 Datum:
Nadere informatie8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3
8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar
Nadere informatie== Hertentamen Analyse 1 == Dinsdag 25 maart 2008, u
== Hertentamen Analyse == Dinsdag 5 maart 8, 4-7u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent (S Hille, O van Gaans) en je studierichting Geef niet alleen antwoorden, leg elke
Nadere informatieVerloop van goniometrische en cyclometrische functies
Verloop van goniometrische en cyclometrische functies Meetkundige definitie Definities sin tan cos cos cot sin sec cos csc sin Hoofdformules sin + cos tan + sec cos cot + csc sin cot tan sin 0 cos tan
Nadere informatieVergelijkingen van cirkels en lijnen
Vergelijkingen van cirkels en lijnen Rechthoekig coördinatenstelsel! Cartesisch coördinatenstelsel! René Descartes (1596-1650) Van hem is de uitspraak: Ik denk, dus ik besta! September 12, 2009 1 Vergelijkingen
Nadere informatieUitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen
Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Maandag 4 januari 216, 1: - 13: uur 1. Beschouw voor t > de inhomogene singuliere tweede orde vergelijking, t 2 ẍ + 4tẋ + 2x = f(t, (1 waarin f
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden.
Technische Universiteit elft Tentamen Calculus TI06M - Uitwerkingen Opmerkingen:. Het gebruik van de rekenmachine is NIET toegestaan.. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. 3. Bij iedere vraag
Nadere informatieHertentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:30 16:30
Hertentamen WIN12 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 5 De tweevoudige integrl collegejr : 8-9 college : 5 build : 27 ugustus 28 slides : 48 Vndg dubbel en De tweevoudige integrl en inhoud 2 Herhlde integrl 3 4 Poolcoördinten intro VA Wt is een integrl?
Nadere informatieVectormeetkunde in R 3
Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie
Nadere informatieFuncties van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 191512600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Maxima en minima Gegeven een functie f met domein
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college en scalarelden in R Vandaag collegejaar college build slides : : : : 4-5 7 augustus 4 33 Coördinatenstelsels in R VA andaag Voorkennis Zelf bestuderen uit.,. en.3: ptellen en scalair ermeniguldigen
Nadere informatieIjkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback
IJkingstoets juni 4 - reeks - p. / Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op juni 4: algemene feedback In totaal namen studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel ingenieur
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieAfdeling Kwantitatieve Economie
Afdeling Kwantitatieve Economie Wiskunde AEO V Uitwerking tentamen 1 november 2005 1. De tekenschema s in opgave 1a 1e zijn de voortekens van vermenigvuldigers en de laatste leidende hoofdminoren in een
Nadere informatieWiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie (BKI 36) Bernd Souvignier najaar 6 Inhoud I Voortgezette Analyse Les Functies van meerdere variabelen.................. 3. Continuïteit..........................
Nadere informatieOplossing 1de deelexamen Calculus II van 29/2/2012
Oplossing 1de deelexamen Calculus II van 9//1 March 6, 1 1 raag 1 Beschouw de volgende kromme in R 3, geparametriseerd als r(t) = ti + (t 1)j + t k. (a) Als de parameter t een tijd aangeeft, bereken dan
Nadere informatieVrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie
Vrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie Tentamen: Convexe Analyse en Optimalisering Opleiding: Bacheloropleiding Econometrie Vakcode: 611010 Datum:
Nadere informatieInhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen
Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt
Nadere informatieHoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit
Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoewel we reeds vele methoden gezien hebben om allerlei typen differentiaalvergelijkingen op te lossen, zijn er toch nog veel differentiaalvergelijkingen
Nadere informatieInwendig product, lengte en orthogonaliteit
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig
Nadere informatieUNIFORM EINDEXAMEN MULO 2014
MINISTERIE VN ONDERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM EINDEXMEN MULO 007 VK : WISKUNDE- DTUM: MNDG 09 JULI 007 TIJD : 09.0.0 UUR ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nadere informatieWI1708TH Analyse 3. College 2 12 februari Challenge the future
WI1708TH Analyse 3 College 2 12 februari 2015 1 Programma Vandaag Partiële afgeleiden (14.3) Hogere orde partiële afgeleiden (14.3) Partiële differentiaal vergelijkingen (14.3) 2 Functies van twee variabelen
Nadere informatie1. Orthogonale Hyperbolen
. Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.4, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 9 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 40 Outline 1 f : [a, b] C f : C C Primitieven 2 K.
Nadere informatie(g 0 en n een heel getal) Voor het rekenen met machten geldt ook - (p q) a = p a q a
Samenvatting wiskunde h4 hoofdstuk 3 en 6, h5 hoofdstuk 4 en 6 Hoofdstuk 3 Voorkennis Bij het rekenen met machten gelden de volgende rekenregels: - Bij een vermenigvuldiging van twee machten met hetzelfde
Nadere informatieOpgave a. We berekenen eerst een normaal v van V en een normaal w van W. v = (b a) (c a) = ((2)(1) ( 2)( 2), ( 2)( 1) ( 1)(1), ( 1)( 2) (2)( 1))
Calculus 3. Uitwerking opgav 1 april. Opgave a. We berek eerst e normaal v van V e normaal w van W. Dus b a = 2, 4, 1 3, 2, 1 = 1, 2, 2, c a = 2,, 2 3, 2, 1 = 1, 2, 1, v = b a c a = 21 2 2, 2 1 11, 1 2
Nadere informatieEindexamen havo wiskunde B pilot 2013-I
Beoordelingsmodel Tornadoschalen maximumscore 80 km/u komt overeen met 77,8 m/s v = 77,8 invullen in de formule geeft F, Dus de intensiteit op de Fujita-schaal is maximumscore 4 De waarde van F is dan
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding
Nadere informatieVrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie
Vrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie Tentamen: Convexe Analyse en Optimalisering Opleiding: Bacheloropleiding Econometrie Vakcode: 64200 Datum:
Nadere informatieInwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T
Nadere informatieStudiewijzer Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90), cursus 2011/2012
Studiewijzer Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90), cursus 2011/2012 Inleiding In de cursus Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90) wordt evenals in de cursus Calculus 1 gebruikt het boek: Calculus, Early Transcendental
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieCalculus I, 19/10/2015
Calculus I, 9/0/05. a Toon aan dat de rationale functie f = 3 + 3 + voor alle 0 bekomen wordt via volgende procedure: Start met een gelijkbenige rechthoekige driehoek OAB, met B het punt, 0 op de -as,
Nadere informatieDe parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor
Nadere informatieDifferentiaalrekening. Elementaire techniek van het differentieren.
Differentiaalrekening Elementaire techniek van het differentieren. Saxion Hogescholen Oktober 2008 Differentiaalrekening Een van de belangrijkste technieken in de wiskunde is differentiaalrekening. Deze
Nadere informatieVectorruimten met inproduct
Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij
Nadere informatie4.1 College Week 4. Probleem (P 3.1 ) Zij f : D IR, met D IR n :
4.1 College Week 4 Probleem (P 3.1 ) Zij f : D IR, met D IR n : f 0 (x) extr, f i (x) = 0, 1 i m, noemen wij een n-dimensionaal optimaliseringsprobleem met nevenvoorwaarden in vorm van een stelsel bestaande
Nadere informatiewiskunde B pilot havo 2015-I
Hangar maximumscore Beschrijven hoe de vergelijking 0,006x + 56,6 = 0 opgelost kan worden De oplossingen zijn x,0 ( nauwkeuriger) en x,0 ( nauwkeuriger) Dit geeft een breedte van 86,0 meter Als voor x
Nadere informatieWeek 2_2. 1.2 Limieten 1.4 Continuïteit 2.2 De afgeleide 2.3 Differentiatieregels
Week 2_2 1.2 Limieten 1.4 Continuïteit 2.2 De afgeleide 2.3 Differentiatieregels 2 Basiswiskunde_Week_2_2.nb 1.2 Voorbeeld Beschouw de uitdrukking x2 +3 x in de buurt van x = 2. x-4 Als x op 2 lijkt, dan
Nadere informatieBasiskennistoets wiskunde
Lkr.: R. De Wever Geen rekendoos toegelaten Basiskennistoets wiskunde Klas: 6 WEWI 1 september 015 0 Vraag 1: Een lokaal extremum (minimum of maximum) wordt bereikt door een functie wanneer de eerste afgeleide
Nadere informatieFunctieonderzoek. f(x) = x2 4 x 4 + 2. Igor Voulis. 9 december 2009. 1 De functie en haar definitiegebied 2. 2 Het tekenverloop van de functie 2
Functieonderzoek f(x) = x2 4 x 4 + 2 Igor Voulis 9 december 2009 Inhoudsopgave 1 De functie en haar definitiegebied 2 2 Het tekenverloop van de functie 2 3 De asymptoten 3 4 De eerste afgeleide 3 5 De
Nadere informatieMinima en maxima van functies
Les 3 Minima en maxima van functies Een reden waarom we de afgeleide van een functie bekijken is dat we iets over het stijgen of dalen van de functie willen weten. Als we met een differentieerbare functie
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij
Nadere informatiedx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π
Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)
Nadere informatieTentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Nadere informatieINLEIDING TOT DE HOGERE WISKUNDE
INLEIING TOT E HOGERE WISKUNE EEL 2: Analyse van reële functies van meerdere reële veranderlijken Arno KUIJLAARS Stefaan POETS epartement Wiskunde, Katholieke Universiteit Leuven, Celestijnenlaan 2 B,
Nadere informatie1 WGAM: overzicht definities, eigenschappen en stellingen. (Nuttig voor de WPO s)
1 WGAM: overzicht definities, eigenschappen en stellingen. (Nuttig voor de WPO s) 1.1 Hoofdstuk 1: eeksen efinitie 1.1.1. Gegeven een rij (a n ) van reële getallen, dan noemen we een uitdrukking van de
Nadere informatieMath D2 Gauss (Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: /FMHT/ / A. Oefententamen #2 Uitwerking
Math D Gauss Wiskunde leerlijn TOM Deelnemende Modules: 14-144/FMHT/14161/14144-1A Oefententamen # Uitwerking Vraagstuk 1. tel de doorsnijding van de oppervlakken x + y + z 4 en z 1. Van bovenaf bekijkt
Nadere informatieFuncties van meer variabelen voor dummy s
Functies van meer variabelen voor dummy s Dit is een 'praktische gids voor dummy s'. Hieronder kun je een aantal voorbeelden met uitleg vinden, oefeningen en uitwerkingen. De voorbeelden komen deels uit
Nadere informatie14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:
14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 3 november 0 Normering voor pt vragen andere vragen naar rato): pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper
Nadere informatie1 Continuïteit en differentieerbaarheid.
1 1 Continuïteit en differentieerbaarheid. In dit hoofdstuk bekijken we continuiteit en differentieerbaarheid voor functies van meerdere variabelen. Ter orientatie repeteren we eerst hoe het zat met functies
Nadere informatie(x x 1 ) + y 1. x x k+1 x k x k+1
Les Talor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatieStudiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006
Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006 Inleiding In de cursus Wiskunde 1 voor B (2DB00) wordt gebruikt het boek Calculus, Robert T. Smith, Roland B. Minton, second edition, Mc Graw
Nadere informatieCentrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012
Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 3 oktober 2007.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Algemeen deel. Bij het vermenigvuldigen met van de ongelijkheid moet u rekening houden met twee gevallen, te weten > 0 en < 0 en u moet
Nadere informatie( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong
Hoofdstuk 4 Verloop van functies Met DERIVE is het mogelijk om tal van eigenschappen van functies experimenteel te ontdekken. In een eerste paragraaf onderzoeken we het verband tussen de grafieken van
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatie13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0.
Gegeven is de functie.0 Voorkennis Deze functie bestaat niet bij een van. Invullen van = geeft een deling door 0. De functie g() = heeft als domein R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu
Nadere informatiee x x 2 cos 2 (sin t) cos(t) dt
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP3B 5 november, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boeken) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering
Nadere informatie4051CALC1Y Calculus 1
4051CALC1Y Calculus 1 College 1 2 september 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/
Nadere informatieExamenvragen Hogere Wiskunde I
1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatieUitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Nadere informatie2.1 Lineaire functies [1]
2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte
Nadere informatieJe mag Zorich deel I en II gebruiken, maar geen ander hulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmachine etc.)!
Tentamen Analyse II. Najaar 6 (.1.7) Toelicting: Je mag Zoric deel I en II gebruiken, maar geen ander ulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmacine etc.)! Als je bekende stellingen gebruikt
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatie