Vectormeetkunde in R 3

Transcriptie

1 Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie : P Q (het pijltje van P naar Q). Een pijltje vanuit de oorsprong O heet een vector : plaatsvector van het punt A. OA = a. Deze vector heet wel de Elk pijltje AB is equivalent met of verschuivingsgelijk aan precies één vector, namelijk het pijltje vanuit de oorsprong O met dezelfde lengte en dezelfde richting als het pijltje AB. Stelling. Als a = a a a b b b twee vectoren in R zijn, dan geldt : dist (a, b) = a b = (a b ) + (a b ) + (a b ) heet de afstand van a en b. Dit is de lengte van de vector a b. Opmerking. We gebruiken hier de notatie v uit Lay voor de lengte of norm van de vector v. Een vector met lengte of norm wordt wel een eenheidsvector genoemd. Bewijs. Dit is vrij eenvoudig aan te tonen met behulp van de stelling van Pythagoras (zie : Stewart, pag. 78). We komen hier later nog op terug. Voorbeeld. De afstand tussen de punten P = (,, ) en Q = (,, ) is ( ) + ( ) + ( + ) = = 99 =. Alle punten op een bol in R hebben gelijke (constante) afstand tot het middelpunt van die bol. De vergelijking van een bol met middelpunt (a, b, c) en straal r kan dus geschreven worden als (x a) + (y b) + (z c) = r. Voorbeeld. De vergelijking van een bol met middelpunt (,, ) en straal is (x ) + (y + ) + z = oftewel x x + y + y + z =. Voorbeeld. De vergelijking x +y +z 6y+8z+6 = beschrijft een bol met middelpunt (,, ) en straal, want : x + y + z 6y + 8z + 6 = x + (y ) + (z + ) = 9.

2 Definitie. Als a = a a a b b b twee vectoren in R zijn, dan heet a b = a b + a b + a b het inwendig product van a en b. Analoog voor R : a b = a b + a b. Opmerking. genoemd. Het inwendig product wordt ook wel scalair product of kortweg inproduct Eigenschappen van het inwendig product zijn : Stelling. Als a, b en c vectoren in R (of R ) zijn, dan geldt :. a a = a. a (b + c) = a b + a c. a b = b a. (λa) b = λ(a b) = a (λb). Opmerking. Er geldt dus : a = a a = a + a + a. Nu volgt stelling wel heel eenvoudig. Stelling. Als a en b twee vectoren in R (of R ) zijn, dan geldt : a b = a b cos θ, waarbij θ de hoek is tussen de vectoren a en b (dus : θ π). Opmerking. Als a = o en/of b = o, dan geldt de formule voor iedere θ. In dat geval is de hoek tussen a en b niet gedefinieerd. Bewijs. Stel dat a de plaatsvector is van het punt A en b de plaatsvector van het punt B, dan bewijzen we deze stelling met behulp van de cosinusregel toegepast op driehoek OAB. Zie Stewart, pag. 797 en 798 en Lay, pag. 8. Er geldt : a b = a + b a b cos θ, waarbij θ de hoek is tussen a en b. Hieruit volgt nu : a b cos θ = a + b a b = a + a + a + b + b + b (a b ) (a b ) (a b ) = a b + a b + a b = (a b). Stelling. Twee vectoren a en b in R (of R ) zijn orthogonaal (staan loodrecht op elkaar) als ( a b a b = θ = π ).

3 Voorbeeld. Stel dat a = Vraag : Wat is de hoek θ tussen a en b? Er geldt : a b = + =, a = + + ( ) = 6 en b = + + =. Hieruit volgt : = 6 cos θ = cos θ = = π = θ = 6 (want : θ π). Voorbeeld. De vergelijking x x + x = beschrijft een vlak in R door O. Merk x x op dat x x + x = x De oplossingen x = x van de vergelijking x x x x + x = zijn dus alle vectoren in R die loodrecht staan op de vector Deze vector heet wel een normaalvector van het vlak bepaald door x x + x =. Voorbeeld 6. Stel dat a = Vraag : Bepaal alle vectoren x die loodrecht staan op zowel a als b. x Stel x = x x, dan volgt : = x a = x + x en = x b = x + x x. We zoeken dus alle oplossingen van het homogene stelsel ( ) ( { x + x = x + x x =. ) ( ). De oplossingen zijn dus : x = x x = x x is vrij = x = x x x x x x = x Voorbeeld 7. Stel dat a = 7 Vraag : Voor welke waarde(n) van h zijn a en b orthogonaal (staan loodrecht op elkaar)? h

4 Er geldt : a b a b = + 7h = h =. Stelling. Als ( a en b) twee vectoren in R (of R ) zijn zodat {a, b} lineair onafhankelijk is, a b dan is de vector b de (orthogonale) projectie van a langs b. b b Bewijs. Stel dat λb de (orthogonale) projectie van a langs b is, dan geldt : a λb b oftewel (a λb) b =. Hieruit volgt dat (a b) λ(b b) =. Aangezien b o volgt hieruit dat λ = a b b b. Voorbeeld 8. De (orthogonale) projectie van a = ( ) a b b = b b ( ) + b = langs b = = is Definitie. Als a = a a a het uitwendig product van a en b. Opmerking. Als i =, j = b b b a b = twee vectoren in R zijn, dan heet a b a b a b a b a b a b en k =, dan geldt : a b = a b a b i a b a b j + a b a b k. Het uitwendig product van twee vectoren in R is dus weer een vector in R. Het uitwendig product wordt daarom ook wel vectorproduct genoemd. Dit in tegenstelling tot het inwendig product dat een getal is en daarom ook wel scalair product genoemd wordt. Voorbeeld 9. Er geldt dus : i j = k, j k = i, k i = j, j i = k, k j = i en i k = j.

5 Voorbeeld. Er geldt dus : en Stelling 6. Als a en b twee vectoren in R zijn, dan geldt :. a (a b) = en b (a b) =. a b = a b sin θ, waarbij θ de hoek is tussen de vectoren a en b. Bewijs. We bewijzen dit door alles met behulp van de definitie uit te schrijven. Zie Stewart, pag. 8 en 86. We vinden dan : a a b a b a (a b) = a a a b a b a b a b = a (a b a b ) + a (a b a b ) + a (a b a b ) Evenzo bewijst men dat b (a b) =. Verder geldt : = a a b a a b + a a b a a b + a a b a a b =. a b = (a b a b ) + (a b a b ) + (a b a b ) = (a + a + a )(b + b + b ) (a b + a b + a b ) = a b (a b) = a b ( a b cos θ) = a b ( cos θ) = a b sin θ. Hieruit volgt dat a b = a b sin θ aangezien sin θ is omdat θ π. Opmerking. De eerste uitspraak toont aan dat het uitwendig product van a en b loodrecht staat op zowel a als b. De tweede uitspraak toont aan dat de lengte van de vector a b gelijk is aan de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door de vectoren a en b. Zie figuur op pag. 86 van Stewart. Dit laatste geeft de mogelijkheid om oppervlakteberekeningen in R te doen. Voorbeeld. Bepaal de oppervlakte van de driehoek P QR met hoekpunten P = (,, ), Q = (,, ) en R = (,, ).

6 Eerst verschuiven we driehoek P QR zodanig dat P in de oorsprong O terechtkomt. De pijltjes P Q en P R zijn equivalent met (of verschuivingsgelijk aan) de vectoren + + a =, respectievelijk. Nu volgt : a b = De oppervlakte van driehoek P QR is de helft van de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door de vectoren a en b, dus : 8 opp(p QR) = a b = + + = 6. Een gevolg van de vorige stelling is : Stelling 7. Als a en b twee vectoren in R zijn, dan geldt : a b = {a, b} is lineair afhankelijk. Als {a, b} lineair onafhankelijk is, dan is het uitwendig product de uniek bepaalde vector v die voldoet aan de volgende drie eigenschappen :. v a en v b. {a, b, v} is rechtsdraaiend of positief georiënteerd. v is gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door a en b. {a, b, v} rechtsdraaiend of positief georiënteerd wil zeggen dat {a, b, v} voldoet aan de zogenaamde rechterhandregel of kurkentrekkerregel. Als je de vingers van je rechterhand draait van a naar b over een hoek θ met < θ < π, dan wijst de duim in de richting van v. Of als men een kurkentrekker in de oorsprong O plaatst loodrecht op het vlak door a en b en men draait deze van a naar b over een hoek θ met < θ < π, dan beweegt de kurkentrekker zich in de richting van v. Voorbeeld. Vergelijk met voorbeeld 6. Stel dat a = Vraag : Bepaal alle vectoren x die loodrecht staan op zowel a als b. Er geldt : a b = 6 +

7 Dus alle vectoren x loodrecht op zowel a als b zijn alle veelvouden van Tenslotte hebben we de volgende rekenregels : Stelling 8. Als a, b en c vectoren in R zijn en λ R, dan geldt :. b a = (a b). (a + b) c = a c + b c. (λa) b = λ(a b) = a (λb). a (b c) = (a b) c. a (b + c) = a b + a c 6. a (b c) = (a c)b (a b)c Opmerking. Het product a (b c) is een getal en wordt daarom ook wel een scalartripelproduct genoemd. Het product a (b c) daarentegen is weer een vector in R en heet daarom ook wel een vectortripelproduct. Het scalartripelproduct kan ook geschreven worden als een determinant van een ( )-matrix : a b c Als a = a a, b = b b en c = c c, dan geldt : a (b c) = a b c a b c a b c = a b c b c a b c b c + a b c b c. De meetkundige betekenis hiervan is : Stelling 9. Het volume of de inhoud van het parallellepipedum opgespannen door de vectoren a, b en c in R is gelijk aan a (b c). Bewijs. Zie hiervoor figuur op pag. 88 van Stewart. Het volume is gelijk aan de oppervlakte van het grondvlak maal de hoogte : V = A h = b c a cos θ = a (b c). Een gevolg hiervan is : Stelling. Als a, b en c vectoren in R zijn, dan geldt : a (b c) = {a, b, c} is lineair afhankelijk. 7