Oefenzitting 2: Parametrisaties.

Transcriptie

1 Oefenzitting : Parametrisaties. Modeloplossingen Oefening.5:. Beschouw vooreerst de cirkel C in het xz-vlak met straal r en middelpunt (x, y, z) = (R,, ) (zie Figuur ). De parametrisatie van C wordt dan gegeven door x = R + r cos v y = z = r sin v, v π.. De torus bekomen we nu door de cirkel C te wentelen rond de z-as (zie Figuur ). Door het wentelen van C rond de z-as, zal een willekeurig punt p = (x(v),, z(v)) op C een cirkel beschrijven in het vlak z = z(v) = r sin v met straal x(v) = R + r cos v en middelpunt (,, z(v)). Met andere woorden, zij q = (x, y, z) het punt p = (x(v),, z(v)) gewenteld over een hoek u, dan heeft q dezelfde z-coördinaat als p, namelijk z = z(v). Terwijl voor x en y zal gelden dat x = x(v) cos u en y = x(v) sin u. Bijgevolg wordt de parametrisatie van de torus gegeven door x = (R + r cos v) cos u y = (R + r cos v) sin u z = r sin v, v π, u π. Oefening.6:. Parametrisatie: (a) Veronderstel het middelpunt van het wiel vast in de oorsprong (zie Figuur 3) en beschouw het punt (, r) op het wiel. Wanneer het wiel

2 Figure : De cirkel C in het xz-vlak met straal r en middelpunt (R,, ) voor het geval dat r = en R = Figure : De torus bekomen door de cirkel C te wentelen rond de z-as.

3 ter plekke ronddraait met de klok mee, dan zal dit punt een cirkelbeweging maken rond de oorsprong met parametrisatie { x = r sin t y = r cos t, t. (b) In werkelijkheid bevindt het middelpunt van het wiel zich niet in de oorsprong, maar wel op een hoogte R (zie Figuur ), zodat we de y- coördinaat dienen aan te passen in de parametrisatie { x = r sin t y = R + r cos t, t. (c) Tot slot verplaatst het middelpunt van het wiel zich in werkelijkheid evenzeer naar rechts tijdens de draaibeweging van het wiel (zie Figuur 5) over een afstand gelijk aan de booglengte Rt. Bijgevolg dienen we de x-coördinaat evenzeer aan te passen in de parametrisatie { x = Rt + r sin t, t. y = R + r cos t. Figuur 6 geeft de beweging van het punt weer voor r < R, voor de cycloïde r = R en voor r > R. Oefening.7: { z = x y z = x, x, y, z. (). Eerste mogelijkheid: stel x = t. Dan volgt uit x dat t. Verder volgt dan uit de tweede gelijkheid in () dat z = t. Ingevuld in de eerste vergelijking verkrijgen we dan dat y = t. Vermits y hebben we bijgevolg dat y = t, zodat moet gelden dat t. De parametrisatie wordt dan gegeven door x = t y = t z = t, t.. Tweede mogelijkheid: stel x = cos t. Dan volgt uit x dat t [ π, π ] = S. Verder volgt dan uit de tweede gelijkheid in () dat z = cos t. Ingevuld in de eerste vergelijking verkrijgen we dan dat y = cos t = sin t. Vermits y hebben we bijgevolg dat y = sin t met t [, π] = S. Daar 3

4 Figure 3: De beweging van een punt op het wiel met straal R en middelpunt (, ) en de beweging van een reflector op een afstand r van dit middelpunt voor het geval dat r = en R = 3. Figure : De beweging van een punt op het wiel met straal R en middelpunt (, R) en de beweging van een reflector op een afstand r van dit middelpunt voor het geval dat r = en R = 3.

5 Figure 5: Het wiel met straal R en middelpunt (, R) verplaatst over een afstand Rt naar rechts, voor het geval dat R = 3 en t = π Figure 6: De beweging van het punt voor het geval dat r < R (links), r = R (midden) en r > R (rechts). 5

6 Figure 7: Grafiek van de kromme gegeven door (). t zowel tot S als tot S moet behoren, bekomen we dus dat t S S = [, π ], zodat de parametrisatie wordt gegeven door x = cos t y = sin t z = cos t Figuur 7 toont de grafiek van de kromme. Oefening.:, t π.. { x = cos t y = sin t, t π. Uit de begrenzing voor de parameter t volgt dat x en y. Verder volgt uit cos t+sin t = dat x+y =. Bijgevolg stelt de kromme het lijnstuk voor tussen (, ) en (, ).. x = cos t y = sin t z = t, t 6π. 6

7 Figure 8: Grafiek van het lijnstuk (links), de schroeflijn (midden) en de ellips (rechts). Uit de begrenzing voor de parameter t volgt dat z 6π. Verder volgt uit cos t + sin t = dat x + y = (= cilinder), terwijl uit x = cos t en z = t volgt dat x = cos z (= schroefoppervlak). Bijgevolg is de doorsnede een schroeflijn gegeven door { x + y =, z 6π. x = cos z 3. x = cos t y = sin t z = cos t + sin t, t π. Uit cos t + sin t = volgt dat x + y = (= cilinder), terwijl uit z = cos t + sin t volgt dat z = x + y (= schuin vlak). Bijgevolg is de doorsnede een ellips gegeven door { x + y =. z = x + y Figuur 8 toont de grafiek van het lijnstuk, de schroeflijn en de ellips. Oefening.:. ( ) x x /3 + y /3 = a /3 /3 ( ) y /3 + =. a /3 a /3 Vermits evenzeer geldt dat cos t + sin t =, kunnen we x/3 a /3 stellen en y/3 a /3 = sin t, zodat de parametrisatie gegeven wordt door { x = a cos 3 t y = a sin 3, t π. t = cos t 7

8 Figure 9: Grafiek van de astroïde voor a = (links) en de cirkel voor a = (rechts).. { x + y + z = a x = y { ( x ) ( a + z a) = x = y. Vermits evenzeer geldt dat cos t+sin t =, kunnen we x a stellen en z = sin t, zodat de parametrisatie gegeven wordt door a x = a cos t y = a cos t z = a sin t, t π. = y a = cos t Figuur 9 toont de grafiek van de astroïde en de cirkel. Oefening.: E : { x = cos t y = 3 sin t, t π. Uit cos t + sin t =, cos t = x en sin t = y x, halen we dat + y =. Links en 3 9 rechts vermenigvuldigen met 36 geeft dan de volgende cartesische vergelijking: 9x + y = 36. Vervangen we vervolgens in deze cartesische vergelijking x door r cos θ en y door r sin θ, dan verkrijgen we dat r (9 cos θ + sin θ) = 36, zodat we volgend 6 expliciet functievoorschrift in poolcoördinaten bekomen: r =. +5 cos θ Figuur toont de grafiek van E. 8

9 Figure : Grafiek van E. Oefening.3:. Vermits r = x +y, verkrijgen we dat x x+y = r(r cos θ) =, zodat de vergelijking in poolcoördinaten wordt gegeven door r = cos θ. Het domein vinden we door op te merken dat r moet zijn. Bijgevolg wordt het domein gegeven door π θ π.. (x ) + (y ) = x + y (x + y) = r(r cos θ sin θ) =, zodat de vergelijking in poolcoördinaten wordt gegeven door r = (cos θ + sin θ). Het domein vinden we opnieuw door op te merken dat r moet zijn. Bijgevolg wordt het domein gegeven door π θ 3π. Figuur toont de grafiek van beide krommen. Oefening.: Stel t = θ, dan is r = cos t met π t π. Verder volgt dan uit x = r cos θ en y = r sin θ dat { x = cos t y = cos t sin t, π t π. De cartesische vergelijking vinden we door r = cos θ links en rechts te vermenigvuldigen met r. Dit geeft dan dat r = r cos θ x + y = x. Ofwel (x ) + y =, de vergelijking van een cirkel met middelpunt (, ) en straal (zie Figuur ). 9

10 Figure : Grafiek van x x + y = (links) en (x ) + (y ) = (rechts) Figure : Grafiek van r = cos θ.

11 Figure 3: Grafiek van het lijnstuk y + 3x = 8, met x, gewenteld rond de x-as. Oefening.6: Stel x = u, dan wordt de parametrisatie van het lijnstuk y + 3x = 8 met x gegeven door x = u y = 3 u z =, u. Wentelen we dit vervolgens rond de x-as, dan zal een willekeurig punt p = (x(u), y(u), ) op het lijnstuk een cirkel beschrijven in het vlak x = x(u) = u met straal y(u) = 3 u en middelpunt (x(u),, ). Met andere woorden, zij q = (x, y, z) het punt p = (x(u), y(u), ) gewenteld over een hoek v, dan heeft q dezelfde x-coördinaat als p, namelijk x = x(u). Terwijl voor y en z zal gelden dat y = y(u) cos v en z = y(u) sin v. Bijgevolg wordt de parametrisatie van het omwentelingsoppervlak gegeven door x = u y = ( 3 u) cos v z = (, u, v π. 3u) sin v Figuur 3 toont de grafiek van het wenteloppervlak.

12 Figure : Grafiek van r = 3 cos θ, met θ π, gewenteld rond de poolas. Oefening.7: Stel u = θ, dan wordt de parametrisatie van r = 3 cos θ met θ π gegeven door x = 3 cos u y = 3 cos u sin u z =, u π. Wentelen we dit vervolgens rond de poolas, dan wordt de parametrisatie van het omwentelingsoppervlak gegeven door x = 3 cos u y = 3 cos u sin u cos v z = 3 cos u sin u sin v Figuur toont de grafiek van het wenteloppervlak., u π, v π. Oefening.9: De bol x +y +z = R met R > wordt in cilindercoördinaten gegeven door u = R z, want x + y = u cos θ + u sin θ = u en u (u = afstand van een punt op de bol tot de z-as). En in sferische coördinaten wordt deze gegeven door r = R, vermits x + y + z = r en r (r = afstand van een punt op de bol tot de oorsprong (,, )).

13 Figure 5: Grafiek van de kegel x + y = z voor het geval dat z 5. Oefening.3: De kegel x + y = z (zie Figuur 5) wordt in cilindercoördinaten gegeven door u = z, want x + y = u cos θ + u sin θ = u en u (u = afstand van een punt op de kegel tot de z-as). De vergelijking in sferische coördinaten vinden we door links en rechts de term z bij op te tellen. Dit geeft dan dat x + y + z = z r = r cos ϕ cos ϕ =, zodat ϕ = π of ϕ = 3π. Oefening.3: gegeven door Het vlak door de punten (9,, 8), (5,, 5) en (,, ) wordt x 9 y z = 3x + z = 5. De eenheidsvector n met positieve z-component loodrecht op dit vlak wordt dan gegeven door ( ( 3,, ) ( 3,, ) n = = = 3 ( 3,, ) ,, ). 5 Oefening.33: Zij a = (a,, ), b = (, b, ) en c = (,, c) met a, b, c >. Stel p = a b = (a, b, ) en q = c b = (, b, c). De oppervlakte van 3

14 de driehoek is dan gelijk aan de helft van de oppervlakte van het parallellogram gevormd door p en q: O( ) = = p q ( bc ) + ( ac) = + ( ab ) b c + a c + a b.