Oefeningen Wiskundige Analyse III

Transcriptie

1 Oefeningen Wiskundige Analyse III Krommen en oppervlakken 1. Onderzoek (raaklijn, buigpunten, asymptoten, normaal, kromming, evolute, grafiek) de vlakke kromme met parametervergelijking: P (t) = a cosh t e x + a sinh t e y, < t < Onderzoek (raaklijn, buigpunten, asymptoten, normaal, kromming, evolute, grafiek) het folium van Descartes gegeven door de parametervergelijking: P(t) = 3at 1 + t 3 e x + 3at2 1 + t 3 e y, < t < Onderzoek (raaklijn, buigpunten, asymptoten, normaal, kromming, evolute, grafiek) de cissoïde van Diocles gegeven door de parametervergelijking: P (t) = at2 1 + t 2 e x + at3 1 + t 2 e y, < t < Onderzoek (raaklijn, buigpunten, asymptoten, normaal, kromming, evolute, grafiek) de astroïde met parametervergelijking: P (t) = a cos 3 t e x + a sin 3 t e y, 0 < t < 2π. 5. Onderzoek (raaklijn, buigpunten, asymptoten, normaal, kromming, evolute, grafiek) de trochoïde met parametervergelijking: P (t) = (at b sin t) e x + (a b cos t) e y, 0 < t < 2π, 0 < b a. 6. Bepaal de evolute van de ellips gegeven door de cartesiaanse vergelijking: x 2 a + y2 2 b = 1. 2

2 7. Bestudeer de kromme gegeven door de cartesiaanse vergelijking: y 2 = x 2 a + x a x, a > Bestudeer de boog gegeven door de vergelijking in poolcoördinaten: r = r(θ), θ 0 < θ < θ Bestudeer de boog gegeven door de cartesiaanse vergelijking: y = f(x), a < x < b. 10. Onderzoek (raaklijn, buigpunten, asymptoten, normaal, kromming, evolute, grafiek) de cardioïde gegeven in poolcoördinaten door: r(θ) = a(1 + cos θ), 0 < θ < 2π. 11. Onderzoek (raaklijn, buigpunten, asymptoten, normaal, kromming, evolute, grafiek) de lemniscaat van Bernoulli gegeven in poolcoördinaten door: r 2 (θ) = a 2 cos 2θ, 0 < θ < 2π. 12. Een cirkel met straal r rolt zonder glijden aan de binnenkant van een cirkel met straal R = 4r. Een punt vast verbonden aan de eerste, kleine, cirkel beschrijft een zgn. hypocycloïde. Onderzoek deze vlakke kromme. 13. Onderzoek (raaklijn, buigpunten, asymptoten, normaal, kromming, evolute, grafiek) de spiraal van Archimedes gegeven in poolcoördinaten door: r(θ) = aθ, 0 < θ < Onderzoek (raaklijn, buigpunten, asymptoten, normaal, kromming, evolute, grafiek) de logaritmische spiraal gegeven in poolcoördinaten door: r(θ) = ma θ, < θ < + (a > 1).

3 15. Onderzoek (raaklijn, buigpunten, asymptoten, normaal, kromming, evolute, grafiek) de hyperbolische spiraal gegeven in poolcoördinaten door: r(θ) = 1 θ, 0 < θ < Onderzoek (raaklijn, hoofdnormaal, binormaal, kromming, wringing, grafiek) de ruimtekromme met parametervoorstelling: P(t) = sin t e x sin2 t e y (t sin t cos t) e z, 0 < t < Onderzoek (raaklijn, hoofdnormaal, binormaal, kromming, wringing, grafiek) de ruimtekromme met parametervoorstelling: P(t) = cos t e x + sin t e y + ln tan t 2 e z, 0 < t < π. 18. Onderzoek (raaklijn, hoofdnormaal, binormaal, kromming, wringing, grafiek) de ruimtekromme met parametervergelijking: P (t) = (cos t + sin 2 t) e x + sin t(1 cos t) e y cos t e z, 0 < t < 2π. 19. De kromme C is de doorsnijding van de oppervlakken met cartesiaanse vergelijking x 2 + z 2 2x = 0 en y 2 + z 2 + 2y = 0. (i) Bepaal de kromming van C in het punt A(2, 2, 0). (ii) Bepaal de wringing van C in het punt B(1, 1, 1). 20. Bepaal de omhullende van de schaar rechten waarvan de coördinaatassen een stuk met vaste lengte l afsnijden. 21. Een cirkel rolt zonder glijden over een rechte. Bepaal de omhullende van een vaste middellijn van de cirkel. 22. De cirkel met vergelijking x 2 + y 2 = r 2 is de omhullende van de schaar rechten gegeven door x + y = 1. Welke betrekking bestaat er tussen a, a b b en r? 23. Evenwijdige lichtstralen vallen in op de holle zijde van een cirkel en worden er teruggekaatst. Bepaal de omhullende van de teruggekaatste stralen (een zgn. nefroïde).

4 24. Vanuit een puntvormige lichtbron gelegen op een cirkel vertrekken lichtstralen naar de binnenkant van de schijf die op de cirkel worden weerkaatst. Bepaal de omhullende van de teruggekaatste stralen. 25. Bepaal de omhullende van de cirkels waarvan de middellijnen de koorden zijn van de ellips met vergelijking x2 + y2 = 1, die evenwijdig zijn a 2 b 2 aan de kleine as van de ellips. 26. Bestudeer het oppervlak met parametervergelijking: P(u, v) = u cos v e x +u sin v e y +v e z, 0 u < +, < v < Bestudeer het omwentelingsoppervlak met parametervergelijking: P(u, v) = α(u) cos v e x +α(u) sin v e y +β(u) e z, u 0 < u < u 1, 0 < v < 2π. 28. Bestudeer het recht circulair kegeloppervlak. 29. Bestudeer het recht circulair cilinderoppervlak. 30. Bestudeer het algemeen kegeloppervlak dat ontstaat door alle punten van een vlakke gladde boog C : P (t), a < t < b, te projecteren vanuit een vast punt buiten het vlak van C. 31. Bestudeer het algemeen cilinderoppervlak gevorm door alle rechten met een vaste richting die steunen op een vlakke gladde boog C : P (t), a < t < b. 32. Bestudeer het oppervlak gegeven door de cartesiaanse vergelijking z = f(x, y), (x, y) Ω. 33. Gegeven is een ruimtekromme met parametervergelijking Q(s), 0 s < L, waarbij s de booglengte langs deze ruimtekromme voorstelt. Het oppervlak met parametervergelijking: P (s, λ) = Q(s) + (λ s) dq, 0 s < L, s < λ < + ds is een zgn. raaklijnenoppervlak. Bestudeer dit oppervlak. Toon aan dat de s-krommen en de λ-krommen loodrecht op elkaar staan. Toon aan dat langs een λ-kromme het raakvlak aan het oppervlak constant blijft.

5 34. Het zgn. trapoppervlak ontstaat door vanuit elk punt van een schroeflijn op een recht circulair cilinderoppervlak, de loodlijn op de as van het cilinderoppervlak neer te laten. Deze loodlijnen zijn de beschrijvenden van het trapoppervlak. Neem als schroeflijn: Q(u) = R cos u e x + R sin u e y + p 2π u e z, 0 < u < +. (i) Stel een parametervergelijking op van het trapoppervlak. (ii) Toon aan dat het trapoppervlak niet afwikkelbaar is, m.a.w. dat het raakvlak langs een beschrijvende niet constant is. Noot: afwikkelbaarheid van een oppervlak betekent dat het kan worden afgebeeld met behoud van lengte van lijnstukken en grootte van hoeken op een gedeelte van een vlak, m.a.w. dat het uit karton kan worden geconstrueerd. 35. Bestudeer het raaklijnenoppervlak geconstrueerd aan de schroeflijn met parametervergelijking Q(u) = R cos u e x + R sin u e y + p 2π u e z, 0 < u < +. (i) Toon aan dat de doorsnede van dit raaklijnenoppervlak met het (x, y)-vlak de evolvente is van de projectie van de schroeflijn op het (x, y)-vlak. (ii) Toon aan dat het raaklijnenoppervlak aan de schroeflijn afwikkelbaar is. 36. Een geodetische lijn op een glad oppervlak is een gladde boog waarlangs in elk punt het osculatievlak de oppervlaknormaal aan het oppervlak bevat. (i) Toon aan dat op een sfeer elke grote cirkel een geodeet is. (ii) Toon aan dat op een sfeer een parallelcirkel, die geen grote cirkel is, geen geodeet is. (ii) Toon aan dat op een recht circulair cilinderoppervlak een schroeflijn een geodeet is. Noot: langs een geodetische lijn is de afstand tussen twee punten op een glad oppervlak het kortst.

6 37. Gegeven het oppervlak Σ met cartesiaanse vergelijking ay x 2 z 2 = 0. Bepaal in het punt A(a, a, 0) de kromming van de normaaldoorsnede van Σ in de richting van de Z-as. (a > 0) 38. Gegeven in het XY -vlak de vlakke kromme C met poolvergelijking r(θ) = 2 sin θ, θ : 0 π. Het oppervlak Σ ontstaat door het punt V (0, 0, 2) met elk punt van C te verbinden met een rechte. Bepaal in het punt A(0, 2, 0) de kromming van de normaaldoorsnede van Σ in de richting van de X-as. 39. Gegeven in het XY -vlak de vlakke kromme C met poolvergelijking r(θ) = 1 + cos θ, θ : π π. Het oppervlak Σ ontstaat door wenteling van C om de X-as. Bepaal in het punt A( 3, 0, 3 3) de kromming van de normaaldoorsnede 4 4 van Σ in de richting van de Y -as.