OEFENPROEFWERK VWO B DEEL 3

Transcriptie

1 Formules OEFENROEFWERK VWO B DEEL HOOFDSTUK GONIOMETRISCHE FORMULES cos( t u) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) sin( A) sin( A)cos( A) sin( t u) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( t u) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) sin( t u) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( A) cos ( A) sin ( A) cos( A) cos ( A) cos( A) sin ( A) p OGAVE Bereken exact de oplossingen van a cos(π t) sin (π t) 0, op x x op 0, π cos( π) sin( π) p b OGAVE p Herleid de formule y sin( x π) cos( x π) tot de vorm y a bcos( cx). 6 OGAVE Gegeven is de functie f ( x) sin ( x) cos( x) met domein 0, π. p a Toon aan dat de grafiek van f symmetrisch is in de lijn x π. 6p b Bereken algebraïsch het bereik van f. 9p c Bereken exact de oppervlakte van het vlakdeel V dat ingesloten wordt door de grafiek van f en de x-as. OGAVE De baan van een punt is gegeven door de parametervoorstelling x( t) cos( t) met t op π, π en t in seconden. y( t) sin( t) 5p a Teken de baan van. 5p b Bereken exact hoeveel seconden zich links van de lijn x bevindt. 5p c Gegeven is het punt Q(, 5). Bereken in twee decimalen nauwkeurig voor welke t geldt dat Q > 6. NOORDHOFF 06 SCOREVOORSTEL OEFENROEFWERK VWO B DEEL HOOFDSTUK

2 OGAVE 5 Gegeven zijn de trillingen u sin(π t), u 5sin(0πt ) en u sin(πt π) met u in cm en t in seconden. 5 p a Bereken de periode van de samengestelde trilling u u u. p 5p 5p De uitwijking van een trillend punt wordt gegeven door u u. u b Schrijf de formule van u in de vorm u bcos( ct d). Rond b en d af op twee decimalen. c Bereken hoeveel tijd nodig heeft om 0 km af te leggen. Rond af op gehele minuten. d Bereken algebraïsch de snelheid van op t = 0. Geef het antwoord in km/uur en rond af op één decimaal. OGAVE 6 De baan van het punt is gegeven door x( t) sin( t) met π t π y( t) cos(t π) en t de tijd in seconden. In de figuur hiernaast zie je de baan van. p a De lijn y snijdt de baan van in de punten A en B. Bereken exact hoeveel tijd het punt er over doet om van A naar B te komen. 0p b De baan snijdt zichzelf op de y-as in het punt C. Bereken in graden de hoek die de baan in C met zichzelf maakt. Rond af op één decimaal. 6p c Bereken exact de baansnelheid van in het snijpunt met de positieve x-as. OGAVE 7 De kromme K met de keerpunten O en A in de figuur hiernaast getekend, is de baan van het punt en wordt gegeven door x( t) sin( t) y( t) cos( t) Het lijnstuk Q met Q(, ) is zijde van het vierkant QRS. Het punt M is het middelpunt van dit vierkant. In de figuur is ook de baan van M met de keerpunten B en C getekend. p a Stel de bewegingsvergelijkingen op van M. 8p Het lijkt of het punt C op de baan van ligt. b Onderzoek of dit inderdaad het geval is. NOORDHOFF 06 SCOREVOORSTEL OEFENROEFWERK VWO B DEEL HOOFDSTUK

3 Scorevoorstel oefenproefwerk vwo B deel Hoofdstuk Goniometrische formules Opgave totaal 8p a cos(π t) sin (π t) cos(π t) ( cos (π t)) cos (π t) cos(π t) 0 cos (π t) cos(π t) 0 (cos(π t) )(cos(π t) ) 0 cos(π t) cos(π t) πt k π πt π k π πt π k π t k t k t k t op 0, geeft t 0 t t t t cos(x π) sin(x π) b sin(x π) sin(x π) x π x π k π x π π x π k π x π k π 5x π k π 7 x π k π x π k π x op 0, π geeft x π x π x π Opgave y sin( x π) cos( x π) 6 6 sin( x) cos( π) cos( x) sin( π) cos( x) cos( π) sin( x) sin( π) 6 totaal p sin( x) cos( x) cos( x) sin( x) cos( x) NOORDHOFF 06 SCOREVOORSTEL OEFENROEFWERK VWO B DEEL HOOFDSTUK

4 Opgave totaal 8p a f (π p) sin (π p) cos(π p) (sin(π p)) cos( π p) ( sin( π p)) cos(π p) sin (π p) cos(π p) f (π p) er geldt dat f (π p) f (π p), dus symmetrisch in de lijn x π b f ( x) sin ( x) cos( x) geeft f '( x) sin( x)cos( x) sin( x) f '( x) 0 geeft sin( x)cos( x) sin( x) 0 sin( x)(cos( x) ) 0 sin( x) 0 cos( x) x k π x π k π x π k π x op [0, π] geeft x 0, x π, x π, x π en x π f (0), f ( π), f (π), f ( π) en f (π) c dus B f =, f ( x) 0 geeft sin ( x) cos( x) 0 x x x x cos ( ) cos( ) 0 cos ( ) cos( ) 0 (cos( x) )(cos( x) ) 0 cos( x) cos( x) geen opl. x π k π x π k π x op [0, π] geeft x π en x π π π O( V ) sin ( x) cos( x) dx π π cos( x ) cos( x ) d x cos( x ) cos( x ) d x π π x sin( x) sin( x) π π π sin( π) sin( π) ( π sin( π) sin( π)) 5 π ( π ) π NOORDHOFF 06 SCOREVOORSTEL OEFENROEFWERK VWO B DEEL HOOFDSTUK

5 Opgave totaal 5p a de baan van ligt op een cirkel met middelpunt (, ) en straal, dus draait linksom t van π tot π geeft een hoek van π tot π, dus de baan is driekwart cirkel t 0 geeft in (, ). t π y x t π t 0 x geeft cos( t) b t π cos( t) cos( t) t π k π t π k π t π k π t π k π 6 6 t op π, π geeft t π t π 6 6 links van x voor π t π π t π p dus π π π seconde 6 6 c Q ( cos( t)) 5 ( sin( t)) cos( t) sin( t) invoeren van y cos( x) sin( x) en y 6 intersect geeft x0,09 en x, Q 6 y y π t O 0,09, π Q 6 geeft 0,09 t, NOORDHOFF 06 SCOREVOORSTEL OEFENROEFWERK VWO B DEEL HOOFDSTUK 5

6 Opgave 5 a in 0, π b in 0, u sin(π t) u 5sin(0πt ) π periodes 0π periodes periodes 5 periodes totaal 6p dus de periode van u is seconde c π invoeren van y sin(π x) sin(πx 5π) optie maximum geeft x = 0,0 en y =,8, dus b,8 u,8cos(π t 0,87) c frequentie = π Hz π afstand per minuut = 60,8 = 55, cm p 0000 m tijd nodig voor 0 km = 9 minuten = uur en minuten 5,5... m p d du 6,79... sin(πt 0,865...) (of de afgeleide uitgaande van de dt gegeven formule) p t 0 geeft snelheid = 6,79... sin( 0,865...) 0,9... cm/s,8 km/uur p NOORDHOFF 06 SCOREVOORSTEL OEFENROEFWERK VWO B DEEL HOOFDSTUK 6

7 Opgave 6 totaal 0p a y geeft cos(t π) cos(t π) t π π k π t π π k π t π k π t π k π 7 t π k π t π k π t op π, π geeft t π t π dus doet er 6 π 9 π seconde over b x0 geeft sin( t) 0 sin( t) 0 t k π π t op π, π geeft t π t π t π t 0 t π t π en t 0 geeft y, dus voor t π en t 0 door C(0, ) x( t) sin( t) geeft x( t) 8cos( t) y( t) cos(t π) geeft y( t) 6sin(t π) 8cos( π) 8 8cos(0) 8 v( π) en v(0) 6sin( 6sin( π) π) p cos( ) p 55,9 y 0 geeft cos(t π) 0 c cos(t π) 0 t π π k π t π k π t π k π 5 t op π, π geeft t π t π t π t π t π geeft x sin( π), dus voor t π door (, 0) 5 5 8cos( 5 π) v( π) 6sin( 6 π) baansnelheid vt ( ) ( 6) 5 NOORDHOFF 06 SCOREVOORSTEL OEFENROEFWERK VWO B DEEL HOOFDSTUK 7

8 Opgave 7 totaal p a m q Q Q L sin( t) cos( t) cos( t) sin( t) sin( t) cos( t) sin( t) cos( t) xm ( t) sin( t) cos( t) dus ym ( t) sin( t) cos( t) b 0 sin( t), dus 0 x 0 cos( t) 6, dus 0 y 6 dus de keerpunten van zijn O en A (, 0) c q QA QA x L geeft sin( t) sin( t) sin( t) sin( t) geeft cos( t) sin ( t) ( ) 8 cos( t) geeft y, dus C ligt niet op de baan van p NOORDHOFF 06 SCOREVOORSTEL OEFENROEFWERK VWO B DEEL HOOFDSTUK 8