TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Het gebied is een ringvormig gebied met als rand de twee cirkels met vergelijking x + y 9 respectievelijk x + y 5. Laat A lnx + y dxdy. Het gebied wordt in poolcoördinaten gegeven door r 5 en < ϑ < π. Herschrijven van de dubbelintegraal geeft A dr lnr rdϑ. an is A π lnr rdr r lnrdr. Partiële integratie waarbij r geïntegreerd en lnr wordt gedifferentieerd geeft. Laat A A r lnr 5 r r dr ln5 9 ln r dr ln5 9 ln r 5 ln5 9 6 ln 5 π ln5 8 π ln 6 π. dx x fx, y dy. e herhaalde integraal is gelijk aan een dubbelintegraal over een gebied G. us A fx, y dxdy met G gegeven door x én y x. G Aan figuur op de volgende pagina is te zien dat voor y tussen en de ondergrens voor x gelijk aan en de bovengrens gelijk aan is. Voor y tussen en is de ondergrens y en de bovengrens y. us het gebied G wordt in twee stukken gesplitst: de rechthoek R en het gebied onder de parabool boven de x-as. Zie figuur. z.o.z.

2 Y Y G X X R Figuur : Het gebied G in R. Vervolg e splitsing geeft A fx, y dxdy + fx, y dxdy. R Het herschrijven als herhaalde integralen van de dubbelintegralen rechts levert dan uiteindelijk y A dy fx, y dx + dy fx, y dx. y. Het gebied bestaat uit een stuk en is symmetrisch ten opzichte van het vlak z. Zie ook figuur. Het gebied wordt begrensd door de bol x + y + z en de kegel x + y z. e kegel en de bol snijden elkaar in twee cirkels, de ene ligt in het vlak z en de andere ligt in het vlak z. a in cylindercoördinaten Omdat x geldt voor ϑ dat π ϑ. Het gebied zit tussen de vlakken z en z, dus voor z geldt dat z. Bij een vaste ϑ en z loopt r van z van de kegel naar z de bol, dus z r z. Andere beschrijvingen zijn ook mogelijk maar het moet duidelijk zijn tussen welke grenzen de variabelen lopen en de beschrijving moet zó zijn dat bij iedere stap er een variabele meer vast genomen wordt. zie de volgende pagina

3 Figuur : Het gebied in R. a Vervolg Een andere beschrijving is bijvoorbeeld π < ϑ π, voor r met r geldt voor z dat r z r, dat wil zeggen men loopt van de kegel onder het x, y-vlak recht naar boven tegen de kegel boven het x, y-vlak, en voor r met r geldt voor z dat r z r, dat wil zeggen men loopt van de bol onder het x, y-vlak naar de bol boven het x, y-vlak. in bolcoördinaten Omdat x, geldt voor ϑ dat π < ϑ π. Vanuit de oorsprong kan men in steeds een lijnstuk naar een punt op de bol, dus voor ρ geldt dat ρ. ie lijnstukken doen mee die een hoek ϕ van meer dan π met de positieve z-as maken en minder dan een hoek van π. us voor ϕ geldt dat π ϕ π. b Laat A x+y dxdydz. Omdat de beschrijving van in bolcoördinaten het eenvoudigst is, gebruiken we bolcoördinaten. Voor deze coördinaten geldt dat x ρ sinϕ cosϑ, y ρ sinϕ sinϑ en dxdydz ρ sinϕ dρdϕdϑ. z.o.z.

4 . b Vervolg Omschrijven van de integraal geeft π/ π/ A dϕ dρ ρ sin ϕ cosϑ + sinϑ dϑ π/ / π/ π/ π/ π/ dϕ dϕ ρ sin π/ ϕ sinϑ cosϑ dρ / ρ sin ϕdρ π/ π/ 8 sin ϕ dϕ. Overgaan op de dubbele hoek leidt uiteindelijk tot het juiste antwoord: A π/ π/ π +. cos ϕ dϕ ϕ sin ϕ π/ π/. e parametrizering van de kromme C is rt xt i + yt j + zt k, t R met xt cos t, yt t en zt sin t. an is r t sin ti + j + cos t k zt i + j + xt k Fxt, yt, zt F rt. e kromme C is inderdaad een veldlijn want in ieder punt past de raakvector bij het vectorveld. e kromme C gaat door het gegeven punt, want r π, π,. 5. Laat A S F ˆNdS. Een parametrizering van S is bijvoorbeeld rϑ, z cosϑ i + sinϑj + z k, met een gebied in het ϑ, z-vlak gegeven door ϑ π en z 5. Nu is r ϑ sinϑ i + cosϑ j en r z k. zie de volgende pagina

5 5. Vervolg Een normaal N op het oppervlak S is het uitproduct r ϑ r z. Een berekening leert dat i j k N sinϑ cosϑ cosϑ i + sinϑ j. In punt rϑ, z cosϑ i + sinϑj + z k op het gebogen oppervlak S is de normaal N cosϑ i + sinϑ j naar buiten gericht. Er geldt en ˆN ds cosϑ i + sinϑ j dϑdz Frϑ, z cosϑ i + sinϑ j + z k us de integraal over het gebogen oppervlak S gaat over in de dubbelintegraal A cos ϑ + sin ϑ dϑdz cos ϑ + dϑdz dϑ cos ϑ + dz 5 cos ϑ + dϑ. Overgaan op de dubbele hoek leidt ook hier tot het antwoord: A 5 cos ϑdϑ + π 5 ϑ + 5 sin ϑ π + π 5 π cos ϑ dϑ + π Het antwoord is dus 5 π. Het gebogen oppervlak bestaat uit een stuk cylinderwand. us S bevat geen deksel of bodem. 5