Zomercursus Wiskunde. Module 18 Geïntegreerde oefeningen (versie 22 augustus 2011)

Transcriptie

1 Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 18 Geïntegreerde oefeningen (versie 22 augustus 2011)

2

3 Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 2 Opgaves 1 3 Oplossingen 11

4

5 Inleiding In deze module worden oefeningen behandeld waarbij de inhoud van verschillende modules gecombineerd moet worden. Ze werden gebaseerd op concrete problemen die voorkomen in eerste-jaarsvakken. 2 Opgaves Oefening 1 Twee heel dunne staven zijn scharnierend verbonden in het punt A en vormen een hoek θ. Tussen deze staven wordt een schijfje geklemd met straal R en centrum O. De afstand a = OA tussen het centrum van het schijfje en het scharnierpunt A van de staven hangt af van de hoek θ zodat we de functie a(θ) kunnen definiëren. (a) Bepaal deze functie O θ A R (b) Bepaal de afgeleide van deze functie. (c) De hoek θ is afhankelijk van de tijd t via de functie θ(t). Op een bepaald ogenblik t = t 0 is θ(t 0 ) = 90 en is de afgeleide van deze functie dθ dt (t 0) = 3. We definiëren de samengestelde functie ã(t) = a(θ(t)). Bepaal dã dt (t 0). Oefening 2 Een pin P beweegt gelijktijdig in een vaste gleuf van de vorm y = a sin bx (met a = 1m en b = 1 rad/m) en een gleuf in een bewegende vertikale staaf AB. De staaf AB beweegt horizontaal met een snelheid dx dt = 3m/s. Bepaal in de getekende stand dy dt (i.e. de y-component van de snelheid van de pin). gebaseerd op G. Van de Perre, Toegepaste Mechanica, 1e jaar burgelijk ingenieur en burgelijk ingenieur architect y P 1/3 B A x

6 18-2 Oefening 3 Een staaf AB van 6 cm lang draait op een cirkelvormige geleider met straal 5 cm. De hoek θ tussen de horizontale en de vector OB verandert in de tijd volgens θ(t) = θ 0 + ωt, met θ 0 en ω constanten. (a) Bepaal θ 0 en ω als je weet dat 2 opeenvolgende tijdstippen waarop θ = 20 gegeven zijn door t = 0 en t = 10. O A ϕ θ B (b) Bepaal de hoek ϕ tussen de vector OA en de horizontale als functie van de tijd. (c) Maak een schets van cos[θ(t)] en cos[ϕ(t)] (zonder gebruik te maken van een grafisch rekentoestel!) (d) Kies de x-as horizontaal. De projectie van de vector AB op x is gegeven door AB x e x. Bepaal AB x (θ). Voor welke hoeken is AB x (θ) maximaal? Op welke tijdstippen wordt dit maximum bereikt? d Oefening 4 Een man (M) en een kind (K) hangen aan een constructie weergegeven in de figuur. De afstand d kan niet veranderen. (a) Als katrol B verschuift van de stand B1 naar stand B2, hoeveel gaat de man dan naar boven. Druk je antwoord uit als functie van de hoek θ en de afstand d van katrol A tot de muur. (b) Geef de lineaire benadering voor deze functie in de buurt van θ = π 6. M A B1 B2 K gebaseerd op G. Van de Perre, Toegepaste Mechanica, 1e jaar burgelijk ingenieur en burgelijk ingenieur architect (2006)

7 18-3 Oefening 5 Maak een schets van de grafiek van volgende vergelijkingen in poolcoördinaten. Gebruik eerst als assen r en θ. Maak daarna een schets in het xy-vlak. (a) r = 2(1 cosθ) (b) r = sin 2θ Oefening 6 Een gas wordt van een druk p = 1 bar tot p = 4 bar gecomprimeerd. Het volume v verandert daarbij van 0,1 m 3 tot 0,05 m 3. Het verband tussen de druk p en het volume v bij deze compressie luidt: pv n = C, met n en C constant. (a) Bepaal de waarde van n en C. (b) Bereken 0,05m 3 0,1m 3 p dv gebaseerd op M. Baelmans en P. Wollants, Thermodynamica, 1e jaar burgelijk ingenieur Oefening 7 Toon aan dat: (a) (b) n 1 i = i=1 n i=1 (n 1)n 2 r i 1 = rn 1 r 1 if r 1 Oefening 8 Bepaal het punt op de rechte y = 2x + 3 dat het dichts bij (4,2) ligt. A. Bultheel, oefeningenbundel lineire algebra, wiskundige analyse, 1e jaar burgelijk ingenieur architect (2007) Oefening 9 Bepaal de punten op de ellips x 2 /4 + +y 2 /9 = 1 die het dichts en het verst van (1, 0) gelegen zijn. Wat is de afstand tussen deze punten en (1, 0)? Oefening 10 Evalueer lim x 0 ( x sin t dt) 2 0 x 0 sin(t2 ) dt, gebruik makend van de regel van de l Hôpital. Motiveer waarom je deze regel hier mag gebruiken. A. Bultheel, oefeningenbundel lineire algebra, wiskundige analyse, 1e jaar burgelijk ingenieur architect (2007)

8 18-4 Oefening 11 Een bal wordt in een kamer schuin naar boven gegooid onder een hoek θ uit het interval [0,π/2] en volgt een parabool gegeven door de vergelijking y = tanθ x x 2 + 1, 6 (met x en y in meter). 10 cos 2 θ Het plafond is 2,6m hoog (y [0; 2, 6] en de kamer is 4m lang (x [0; 4]). (a) Bepaal voor welke hoeken θ de bal tegen het plafond stoot. (b) In welk punt stoot de bal tegen het plafond als θ = π/4 Oefening 12 Beschouw de tafel in onderstaande figuur. Het tafelblad valt samen met de x-as. In de oorsprong (0, 0) ligt een elektrisch geladen balletje met lading 1 Coulomb. Als we een tweede lading met een positieve lading q aanbrengen in het punt (x,y), met x > 0 en y > 0, dan oefent die op de eerste puntlading in (0, 0) een coulombkracht uit met als x-component kq cos θ F x = (1) x 2 + y 2 waarbij θ de hoek is tussen de x-as en het lijnstuk tussen de twee puntladingen, en k een fysische constante. De y-component van de coulombkracht wordt gecompenseerd door de reactiekracht uitgeoefend door de tafel, waardoor we in het vervolg van de oefening enkel de krachtcomponent F x moeten beschouwen. y y (1, u + u) q (1, u) F x θ F x θ x x In plaats van de tweede puntlading, beschouwen we voor deze oefening een verticale geladen staaf met lengte 1, die zich bevindt op het lijnstuk tussen de punten (1, 0) en (1, 1). Deze staaf heeft een totale lading Q die gelijkmatig verdeeld is over de staaf. a) Beschouw een klein stukje staaf tussen de punten (1,u) en (1,u+ u). Veronderstel dat u zo klein is dat het effect benaderd kan worden door het effect van een puntlading

9 18-5 in het punt (1,u). Geef een uitdrukking voor de x-component van de kracht ten gevolge van dit stukje staaf op het balletje in de oorsprong als functie van Q en u. (θ mag niet meer voorkomen in deze uitdrukking) b) Beschouw een verdeling van de staaf in een groot aantal N van dergelijke kleine stukjes. De som van alle bijdragen tot de kracht op het balletje wordt in het limietgeval voor N een integraal. Stel deze integraal op. c) Bereken de waarde van deze integraal. Oefening 13 Los volgend stelsel op waarin a R een parameter is. (Hint: volg de gewone methode en splits in gevallen wanneer een stap afhangt van de waarde van a). Oefening 14 Gegeven: x +ay +z = 1 x +y +z = a x +y +az = 1 f : R R : x x 2,g : R R : x 2 x,h : R R : x cos( π 3 x). Bepaal de reële getallen a, b, en c zodat de functie k = af + bg + ch voldoet aan Oefening 15 Gegeven: met i 2 = 1. Bepaal a, b, r en φ zodat k(1) = 0, k(2) = 1, k(3) = 1. c = 1 + 3i x(t) = Re(ce i5t ) x(t) = a cos(5t) + b sin(5t) en x(t) = r cos(5t + φ). Oefening 16 Bepaal de vergelijking van vlak dat raakt in het punt (3, 2, 1) aan het boloppervlak met middelpunt (1, 0, 2) en straal 3. (Het punt (3, 2, 1) is een punt op het boloppervlak). Oefening 17 Gegeven de functie met voorschrift Bepaal de inverse van f. f : x x als x < 1 x 2 als 1 x 4 8 x als x > 4.

10 18-6 Oefening 18 Bewijs uit het ongerijmde dat je de complexe getallen niet kunt ordenen tot een totaal geordende verzameling, waarbij de orde beperkt tot de reële getallen de gekende orde zou zijn en waarbij de orde op heel C aan volgende eigenschappen zou voldoen. (1) Voor elk tweetal getallen x en y geldt precies één van de volgende mogelijkheden x < y, x = y, x > y men noemt de orde totaal. (2) Voor getallen x, y en z geldt (3) Voor getallen x, y en z geldt (4) Voor getallen x, y en z geldt x < y (x + z < y + z) (x < y z > 0) xz < yz (x < y z < 0) xz > yz (x < y y < z) x < z de orde is transitief. Hint: Je stelt uit het ongerijmde dat C wel kan geordend worden. Vermits i 0 zal omwille van de totale orde (1) moet gelden dat ofwel i < 0, ofwel i > 0. Maak nu gebruik van de andere eigenschappen van de orde, om aan te tonen dat beide onderstellingen leiden tot een contradictie. Oefening 19 Geef door middel van een grafiek of een expliciet functievoorschrift een voorbeeld van een overal gedefinieerde functie f : R R : x f(x) die voldoet aan maar NIET voldoet aan Hint: ( ε > 0 : x a < ε) x = a. ε > 0 : x R : f(x) 2 < ε, x R : ε > 0 : f(x) 2 < ε. Oefening 20 Zoek een voorbeeld van een niet-constante functie f : R R die voldoet aan x R : f(x) = f( x) én y R, x 3 : f(x) = y. Denk in eerste instantie zeker niet in termen van een concreet functievoorschrift, maar interpreteer wat beide uitspraken over f betekenen en probeer zo de grafiek van dergelijke functie te tekenen.

11 18-7 Oefening 21 Zij f : A R R : x f(x) een functie met domein A. Stel dat 2 A. Zeg in eigen woorden wat elk van volgende eisen betekent voor de functie f en haar grafiek. Maak hiertoe gebruik van grafieken om de eigenschap te illustreren of om tegenvoorbeelden te geven. Zoek welke implicaties gelden tussen de uitspraken, je hoeft het niet strikt te bewijzen maar argumenteer telkens je bewering. Als een implicatie tussen twee uitspraken niet geldt, toon dit dan aan door het geven van een concreet tegenvoorbeeld. Leg alle implicaties vast in een schema. (a) ε > 0 : x A \ {2} : f(x) f(2) < ε (b) x A \ {2} : ε > 0 : f(x) f(2) < ε (c) ε > 0 : x A \ {2} : f(x) f(2) < ε (d) x A \ {2} : f(x) = f(2) (e) f is een constante functie. Hint: ( ε > 0 : x a < ε) x = a. Oefening 22 Zij n een natuurlijk getal. Zoek een formule voor de n-de afgeleide van de functie f : R R : x f(x) = x = (1 + x) 1 en bewijs deze per inductie. Opmerking: De 0-de afgeleide van f is f zelf, de n-de afgeleide wordt recursief gedefinieerd als de afgeleide van de (n 1)-ste afgeleide van f. Oefening 23 Voor het berekenen van de n-de afgeleide van de functie f : R R : x xe 2x geldt volgende formule voor alle n N 0 : d n dx n(xe2x ) = (n2 n n x)e 2x Bewijs deze formule door volledige inductie. Oefening 24 Een raam, gevormd onderaan door een rechthoek en bovenaan door een halve cirkel, heeft een opgegeven omtrek l. Voor welke afmetingen van de rechthoek (breedte a en hoogte b) is de totale oppervlakte van het raam maximaal? Bepaal ook de maximale oppervlakte. toelatingsexamen burgelijke ingenieur en burgerlijk ingenieur architect, september 2003 b a

12 18-8 Oefening 25 Zij gegeven een afleidbare functie f(x). (a) Als geweten is dat de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (a,f(a)) door de oorsprong gaat, wat is dan het verband tussen a,f(a) en f (a)? (b) Als geweten is dat de normaal op de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (a,f(a)) door de oorsprong gaat, wat is dan het verband tussen a,f(a) en f (a)? (c) Voor welke punten (a,f(a)) van de grafiek van f(x) = x 4 + 6x gaat de raaklijn door de oorsprong? (d) Voor welke punten (a,f(a)) van de grafiek van f(x) = x 2 3 gaat de normaal 2 door de oorsprong? Geef telkens ook de vergelijking van deze rechte. toelatingsexamen burgelijke ingenieur en burgerlijk ingenieur architect, september 2003 Oefening 26 De functie f(x) = e kx + ax + b met a,b en k R en k < 0 heeft een schuine asymptoot y = x voor x + en voldoet aan de vergelijking Bepaal a,b en k. ( D (f(x))) 2 + D ( (f(x)) 2) + (f(x)) 2 = (x + 1) 2. Opmerking: Het symbool D staat voor de afgeleide, m.a.w. D(g(x)) = g (x). toelatingsexamen burgelijke ingenieur en burgerlijk ingenieur architect, juli 2003 Oefening 27 De functie f(x) = (ax + b) e x + c cos x + d sin x met a,b,c en d R heeft een nulpunt bij x = 0 en voldoet aan de vergelijking f (x) f(x) = e x sin x Bepaal a,b,c en d. toelatingsexamen burgelijke ingenieur en burgerlijk ingenieur architect, september 2003 Oefening 28 De afgebeelde even functie is van de vorm f(x) = Bgtg ( x 4 + 2ax 2 + b cx 4 + dx 2 + e ). Zij heeft een horizontale asymptoot y = π voor x ± en er geldt ook dat 2 lim x 0 f(x) = π. Gegeven is verder dat 2 een nulpunt is en dat f(x) haar minimale waarde π bereikt voor x = 2. Bereken de parameters a,b,c,d en e en bepaal 2 4

13 18-9 ook de drie andere nulpunten van f(x). Hoeveel buigpunten heeft f(x)? (kijk op de figuur) x 0.5 toelatingsexamen burgelijke ingenieur en burgerlijk ingenieur architect, juli 2003 Oefening 29 De afgebeelde functie is van de vorm f(x) = ekx + le x + m. ne 2x + p De grafiek gaat door de oorsprong en de raaklijn in de oorsprong staat loodrecht op de rechte met vergelijking y = x. Verder is gegeven dat de functie een horizontale asymptoot y = 2 heeft, zowel voor x + als x. Bepaal de parameters k,l,m,n en p en bereken ook het tweede nulpunt van f(x) x toelatingsexamen burgelijke ingenieur en burgerlijk ingenieur architect, september 2003

14 18-10 Oefening 30 Zij f(t) een periodiek tijdssignaal met periode T, dus f(t + T) = f(t), dan noemt men f = 1 T T 0 f(t) dt de gemiddelde waarde van f. We zeggen dat g(t) met ( ) 2πt g(t) = A cos T φ de fundamentele trilling van f is als A 0 en φ ] π,π] de oplossing zijn van het stelsel A cos φ = A sin φ = 2 T 2 T T 0 T 0 f(t) cos 2πt T dt f(t) sin 2πt T dt. Beschouw dan het afgebeelde periodiek signaal met T = 2 zoals op de onderstaande figuur t Bereken de gemiddelde waarde en de fundamentele trilling voor deze f(t). toelatingsexamen burgelijke ingenieur en burgerlijk ingenieur architect, juli 2003 Oefening 31 Beschouw het gedeelte van de parabool met vergelijking y = ax 2 + b, gelegen boven de x as (a > 0 en b > 0). Een veranderlijke rechthoek kan ingeschreven worden binnen deze parabool zoals afgebeeld op de figuur.

15 18-11 (a) Bepaal de afmetingen van de rechthoek met maximale oppervlakte O 1. (b) Bereken voor deze rechthoek ook de resterende oppervlakte O 2 onder de parabool (licht ingekleurd op de figuur) en toon aan dat de verhouding p = O 2 O 1 niet meer afhangt van a of b. Bereken de exacte waarde voor p en vereenvoudig het resultaat (zo weinig mogelijk vierkantswortels)! toelatingsexamen burgelijke ingenieur en burgerlijk ingenieur architect, juli 2003 Oefening 32 Voor welke waarden van a en b voldoet de functie y(x) = x[a cos(2x) + b sin(2x)] aan de vergelijking y (x) + 4y(x) = sinx cos x. modelvragen toelatingsexamen Oplossingen 1 (a) R sin θ 2 (b) R cos(θ/2) 2 sin 2 (θ/2) (c) 3 2R m/s ( ) 1 4 (a) d cosθ 1 (b) d(0.666θ 0.194) 6 (a) n = 2, C = 0.01 bar m 6. (b) 0.1 bar m 3 8 (2/5 19/5) 9 dichts (2, 0) (afstand =1), verst ( 4/5, 3 21/5) en ( 4/5, 3 21/5) (afstand =3 (30)/5) (a) θ [Bgsin( 2/5),π/2] (b) (1.38,2.6)

16 c) F = kq 2/2 13 Geval a = 1: (x,y,z) = (0, 1, 0) + k(0, 1, 1) met k R willekeurig, Geval a = 1: geen oplossing Geval a 1 en a 1: (x,y,z) = (a 2, 1, ) a+1 a+1 14 a = 1, b = 1, c = x + 2y + z = 8 x(t) = cos(5t) 3 sin(5t) x(t) = 2 cos(5t + 2π 3 ). 17 x f 1 als x < 1 : x x als 1 x 16 x 2 /64 als x > De functiewaarden moeten willekeurig dicht naderen tot 2, maar geen enkele functiewaarde mag gelijk zijn aan 2. Bijvoorbeeld: { x als x 2, f : R R : x f(x) = 3 als x = De functie moet symmetrisch zijn t.o.v. de y-as en constant vanaf x = 3, maar mag geen constante functie zijn over heel R. Bijvoorbeeld { 1 als x < 3, f : R R : x f(x) = 2 als x (c) en (e) zijn equivalent. (b) en (d) zijn equivalent. (e) (b) en (b) (a) zodat ook (e) (a) De andere implicaties zijn niet algemeen geldig, bij specifieke voorbeelden kunnen ze per toeval soms wel kloppen. Maak grafieken van functies die deze implicaties tegenspreken. 22 De formule voor de n-de afgeleide is f (n) (x) = ( 1)n n! (1 + x) (n+1). 24 a = 2l 4 + π, b = l l2, Oppervlakte = 4 + π 8 + 2π 25 (a) f(a) = a f (a) (b) f(a) f (a) = a

17 18-13 (c) (a,f(a)) = ( 3 1, ), ( 3 1, ) (d) (a,f(a)) overeenkomstige vergelijking van de normaal (0, 3) 2 x = 0 (1, 1) 2 y = x 2 ( 1, 1 2 ) y = x 2 26 a = 1, b = 0, k = 1 27 a = 1 3, b = 1 2, c = 1 2, d = a = 5, b = 16, c = 0, d = 2, e = 0 andere nulpunten: 2, 8, 8 aantal buigpunten: 4 29 k = 2, l = 4, m = 3, n = 1 2, p = 3 2 Het tweede nulpunt is ln 3 30 gemiddelde waarde f = 1 4 fundamentele trilling A = 31 (a) hoogte = 2b b 3, breedte = 2 (b) resterende oppervlakte O 2 = 4b 3 π2 + 4 π , φ = Bgtg π b, oppervlakte = 3a 3 b a (1 1 3 ), de vereenvoudigde verhouding p = O 2 O 1 = 3 1 b 3a

18