Vectoranalyse voor TG

Transcriptie

1 college 6 collegejaar : 8-9 college : 6 build : 2 oktober 28 slides : 38 Vandaag Minecraft globe van remi993 2 erhaalde 3 4 intro VA

2 Drievoudige integralen Section 5.5 Definitie Een rechthoekig blok is een gebied in R 3 van de vorm {(x, y, z) a x b, c y d, p z q}. q z p a c d y x b Een rechthoekig blok kan ook worden geschreven als Cartesisch product: [a, b] [c, d] [p, q]. 2. VA Riemann sommen q z ijk p y z x a c d y x b Stel ρ(x, y, z) is een continue massadichtheid gedefinieerd op [a, b] [c, d] [p, q]. Wat is de massa van? Verdeel [a, b] in l, [c, d] in m en [p, q] in n deelintervallen met breedtes x b a l respectievelijk y d c q p m en z n. Verdeel hiermee in deelblokjes ijk. De inhoud van ieder blokje ijk is V x y z. 3.2 VA

3 Riemann sommen Kies in ieder blokje ijk een punt (xijk, y ijk, z ijk ). De massa van blokje ijk is bij benadering gelijk aan ρ(xijk, yijk, zijk) V. De massa M () van is bij benadering gelijk aan M () M ( ijk ) ijk l m i j k n ρ(xijk, yijk, zijk) V. Deze som heet een Riemann som. Door l, m en n steeds groter te maken wordt de benadering steeds nauwkeuriger: l m n M () ρ(xijk, yijk, zijk) V. lim l,m,n i j k 4.3 VA Drievoudige Definitie Stel f : R R 3 R is een functie van drie variabelen gedefinieerd op het blok. van f over is f (x, y, z) dv lim l m l,m,n i j k n f (xijk, yijk, zijk) V. De functie f heet integreerbaar over als de limiet bestaat. Als f continu is op dan is f integreerbaar over. 5.4 VA

4 De stelling van Fubini Stelling Fubini voor drievoudige integralen Stel f is continu op een rechthoekig blok [a, b] [c, d] [p, q], dan f (x, y, z) dv q d b p c a f (x, y, z) dx dy dz. De rechter is een herhaalde. Er zijn 6 verschillende integratievolgordes. De herhaalde bereken je van binnen naar buiten. 6.5 VA als herhaalde ereken xyz 2 dv, waarbij [, ] [, 2] [, 3]. Gebruik de stelling van Fubini: 3 xyz 2 dv xyz 2 dx dy dz [ 2 x2 yz 2 ] [ 4 y2 z 2 ] 2 x dy dz 3 y dz 3 2 yz2 dy dz 4( 2 2 ( ) 2) z 2 dz 3 4 z2 dz 4 z3 3 ( ) VA

5 Rekenregels Stelling Stel is een rechthoekig blok en stel f en g zijn integreerbaar over, dan geldt f ± g dv f dv ± g dv. 2 3 cf dv c dv vol. f dv voor iedere c. 4 Als wordt opgedeeld in twee rechthoekige blokken en 2 die hoogstens een vlak gemeen hebben, dan f dv f dv + f dv VA De productregel Stelling productregel, volledige variant Stel f is integreerbaar over een rechthoekig blok [a, b] [c, d] [p, q], en er geldt f (x, y, z) g(x) h(y) k(z) voor alle (x, y, z) in, dan f dv b a d q g(x) dx h(y) dy k(z) dz c p 9.8 VA

6 De productregel ereken de [, ] [, 2] [, 3]. Gebruik de productregel: xyz 2 dv [ ] 2 x2 2 x dx xyz 2 dv, waarbij 3 [ 2 y2 ] 2 y dy 3 xyz 2 dx dy dz z 2 dz [ 3 z3 ] 3 ( 2 2) ( ( ) 2) ( ) VA De productregel ereken de [, 2] [, 2] [, 2]. x 2 + y 2 + z 2 dv over de kubus Splits de en gebruik de productregel: x 2 + y 2 + z 2 dv x 2 dv + y 2 dv + z 2 dv + + x 2 dx dx dx dy y 2 dy dy dz dz z 2 dz. VA

7 (vervolg) Er geldt dx Er geldt x 2 dx Daarmee: dy y 2 dy x 2 + y 2 + z 2 dv + + x 2 dx dx dx dy y 2 dy dy dz 2. [ ] z 2 2 dz 3 z3 8 z 3. dz dz z 2 dz VA Elementaire gebieden Definitie Een gebied R 3 is een elementair gebied van type I als het ingesloten wordt door de grafieken van twee continue functies u (x, y) en u 2 (x, y), met andere woorden {(x, y, z) R 3 (x, y), χ (x, y) z χ 2 (x, y)}, waarbij de projectie is van op het xy-vlak. 3.2 VA

8 Elementaire gebieden Stelling Stel f is een continue functie op een elementair gebied van type I {(x, y, z) R 3 (x, y), χ (x, y) z χ 2 (x, y)}, waarbij de projectie is van op het xy-vlak, dan geldt f dv χ2 (x,y) χ (x,y) f (x, y, z) dz da. Voor dit soort herhaalde integralen gelden dezelfde rekenregels als voor herhaalde integralen over rechthoekige blokken, behalve de productregel. De productregel geldt alleen voor rechthoekige blokken. 4.3 VA Productregel Stelling productregel, onvolledige variant Stel f is integreerbaar over een elementair gebied van type I met een vlakke boven- en onderzijde {(x, y, z) R 3 (x, y), p z q}, en stel f (x, y, z) g(x, y) h(z) voor alle (x, y, z), dan f dv g(x, y) da q p h(z) dz. De productregel volgt rechtstreeks uit de stelling van Fubini. 5.4 VA

9 Productregel ereken C z dv, waarbij C wordt gegeven door de cilinder C {(x, y, z) x 2 + y 2, z 2}. Pas de productregel toe: z dv da C D z dz waarbij D wordt gegeven door de cirkelschijf met middelpunt (, ) en straal : D {(x, y) x 2 + y 2 }. C z dv D da z dz [ ] 2 opp(d) 2 z2 ( π 2)( ) 2π. D 6.5 VA Integralen en elementaire gebieden ereken de inhoud van de piramide met zijvlakken x, y, z en x + y + z 2. Definieer χ (x, y) en χ 2 (x, y) 2 x y, dan is elementair van type I. et gebied is de driehoek met zijden x, y en x + y 2. et is een elementair gebied van type I: 7.6 VA

10 (vervolg) vol 2 dv ( x y x x y x x [ z ) dz da ] 2 x y dz dy dx dy dx (2 x y) dy dx [ 2 (2 x y)2 ] 2 x (2 x) 2 dx 2 y dx [ (2 x)3 3 ] VA Elementaire gebieden van type II Definitie Een gebied is een elementair gebied van type II als {(x, y, z) R 3 (y, z), ξ (y, z) x ξ 2 (y, z)}, waarbij de projectie is van op het yz-vlak. ξ2 (y,z) f dv f (x, y, z) dx da. ξ (y,z) 9.8 VA

11 Elementaire gebieden van type III Definitie Een gebied is een elementair gebied van type III als {(x, y, z) R 3 (x, z), η (x, z) y η 2 (x, z)}, waarbij de projectie is van op het xz-vlak. η2 (x,z) f dv f (x, y, z) dy da. η (x,z) 2.9 VA Integralen en elementaire gebieden epaal x 2 + z 2 dv waarbij het gebied is met zijvlakken y x 2 + z 2 en y 4. et gebied is elementair van type III. et gebied is een cirkelvormige schijf: {(x,, z) x 2 + z 2 4}. et ondervlak is η (x, z) x 2 + z 2, het bovenvlak is η 2 (x, z) VA

12 (vervolg) 4 x 2 + z 2 dv x 2 + z 2 dy da x 2 +z [ 2 y ] 4 x 2 + z 2 da x 2 +z 2 ( 4 (x 2 + z 2 ) ) x 2 + z 2 da. Ga over op poolcoördinaten (in x en z!): x r cos θ en z r sin θ, en gebruik x 2 + z 2 r π π ( 4 r 2 ) r 2 r dr dθ dθ 4r 2 r 4 dr [ ] ( 2π 4 3 r 3 5 r π 3 8 ) π VA z z x x θ r x y Gegeven is een vector x in R 3. Projecteer x op het xy-vlak, noem de projectie x. Definieer r x en stel θ is het argument van x. Definieer z als de z-coördinaat van x. De getallen r, θ en z zijn de cilindercoördinaten van x VA

13 Cilinderco rdinaten en Cartesische coördinaten Stel r, θ en z zijn de cilindercoördinaten van x, dan x r cos θ y r sin θ z z Stel x (x, y, z). x (x, y, ) Voor de lengte r van x geldt r x 2 + y 2. Voor het argument θ van x geldt tan θ y x, mits x. De z-coördinaat is z VA en drievoudige integralen Section 5.7 Stel is elementair van type I: {(x, y, z) (x, y) en χ (x, y) z χ 2 (x, y)}, en de projectie op het xy-vlak is polair: {(x, y) α θ β en a r b} Stel f is continu op, dan geldt volgens Fubini: χ2 (x,y) f dv f (x, y, z) dz da. χ (x,y) VA

14 en drievoudige integralen Voor de buiten kunnen we poolcoördinaten gebruiken: χ2 (x,y) f dv f (x, y, z) dz da χ (x,y) β b χ2 (r cos θ,r sin θ) α a χ (r cos θ,r sin θ) De getallen r, θ en z zijn de cilindercoördinaten van P: x r cos θ y r sin θ z z f (r cos θ, r sin θ, z) r dz dr dθ. ij integreren met cilindercoördinaten gebruik je dv r dr dθ dz P VA epaal de inhoud van de cilinder G {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 R 2, p z q}. In cilindercoördinaten wordt G beschreven door {(x, y, z) r R, θ 2π, p z q}. De inhoud van G is gelijk aan vol G dv R r dr G π dθ R π q q p dz [ ] 2 r 2 R 2π(q p) πr2 (q p) oppervlakte bodem hoogte. p r dz dθ dr VA

15 et gebied G is de halve bal x 2 + y 2 + z 2 boven het xy-vlak. ereken G z dv met cilindercoördinaten. x 2 + y 2 + z 2 r 2 + z 2 z r 2 G G r r G {(x, y, z) r, θ 2π, z r 2 } VA (vervolg) z dv G π π r 2 [ 2 z2 r ] r 2 z dr dθ z r dz dr dθ 2 π π 2 ( r 2 )r dr dθ r r 3 dr dθ π 2 dθ r r 3 dr [ ] π 2 r 2 4 r 4 π VA

16 z ϕ ρ x x θ x y Gegeven is een vector x in R 3. Definieer ρ x x 2 + y 2 + z 2. Projecteer x op het xy-vlak, noem de projectie x. Definieer θ als het argument van x. Definieer ϕ als de hoek die x maakt met de positieve z-as. De getallen r, ϕ en θ zijn de bolcoördinaten van x VA olco rdinaten en Cartesische coördinaten z z x x ϕ ρ r θ x y ϕ ρ r ϕ x z x Als ρ, ϕ en θ de bolcoördinaten zijn van x, en r x, dan z ρ cos ϕ r ρ sin ϕ iermee leid je direct af: x r cos θ ρ sin ϕ cos θ y r sin θ ρ sin ϕ sin θ z ρ cos ϕ VA

17 Van Cartesische coördinaten naar bolco rdinaten Stel r, ϕ en θ zijn de bolcoördinaten van x. Voor de lengte ρ van x geldt ρ x x 2 + y 2 + z 2. De hoek ϕ wordt gemeten vanaf de positieve z-as, dus geldt ϕ π. Daarom geldt voor ϕ: ( ( ) z z ϕ arccos arccos ρ) x 2 + y 2 + z 2 mits x. Voor de hoek θ geldt tan θ y x, mits x VA olsectoren Definitie Een bolsector D is een gebied dat met bolcoördinaten als volgt kan worden beschreven: D {(ρ, θ, ϕ) a ρ b, α θ β en λ ϕ µ} waarbij a, b, α, β, λ en µ constanten zijn. {(ρ, θ, ϕ) ρ 2, θ 2π en ϕ π} {(ρ, θ, ϕ) ρ, θ 2π en ϕ π/2} VA

18 en drievoudige integralen Section 5.7 Stelling Stel f is een continue functie gedefinieerd op een bolsector {(x, y, z) a ρ b, α θ β, λ ϕ µ}, dan geldt f dv µ β b λ α a f (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ)ρ 2 sin ϕ dρ dθ dϕ. Deze stelling beschrijft de drievoudige als herhaalde met bolcoördinaten. Vervang dv door ρ 2 sin ϕ dρ dθ dϕ. De uitdrukking ρ 2 sin ϕ heet de Jacobiaan VA en drievoudige integralen epaal de inhoud van een bol G met straal R. G {(x, y, z) ρ R, θ 2π, ϕ π} vol G dv G R π π R ρ 2 dρ π ρ 2 sin ϕ dϕ dθ dρ dθ π [ ] R [ 3 ρ3 2π cos ϕ sin ϕ dϕ ] π 3 R3 2π ( ( ) ) 4 3 πr VA

19 Section 5.7, example 5 epaal het volume van het gebied D boven kegel ϕ π/3 en onder de bol ρ. D {(x, y, z) ρ, θ 2π, ϕ π/3} VA (vervolg) vol D D π π/3 dv ρ 2 sin ϕ dϕ dθ dρ π π/3 ρ 2 dρ dθ sin ϕ dϕ [ ] [ 3 ρ3 2π cos ϕ ] π/3 3 2π ( 2 ( ) ) π VA

20 Gegeven {(x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 }, bereken e (x2 +y 2 +z 2 ) 3/2 dv. zelfstudie In bolcoördinaten: {(x, y, z) ρ, θ 2π, ϕ π}. e (x2 +y 2 +z 2 ) 3/2 π π π sin ϕ dϕ [ cos ϕ ] π dv e (ρ2 ) 3/2 ρ 2 sin ϕ dρ dθ dϕ π dθ 2π [ 3 eρ3 ] ρ 2 e ρ3 dρ 4 3 π(e ) VA