Vectoranalyse voor TG

Transcriptie

1 college 11 collegejaar college build slides Vandaag : : : : oktober De sterrennacht Vincent van Gogh, Verband met de stelling van n 1 VA intro

2 ection 16.7 Definitie Equation (3) tel F (M, N, P) is een vectorveld op R 3, en stel dat alle partiële afgeleiden van M, N en P bestaan. De rotatie van F is gedefinieerd als ( P curl F y N z, M z P x, N x M ) y De rotatie is een vectorveld op R 3. De rotatie kan met behulp van de -operator en het uitwendig product handig worden berekend: x y z x y F M N P M N VA telling Voor ieder vectorveld F op R 3 geldt curl F F. De rotatie kan ook met een determinant worden berekend: i j k curl F x y z M N P VA

3 Voorbeeld Bereken de rotatie van F(x, y, z) ( xz, xyz, y 2). curl F F x y z xz xyz y 2 x xz ( 2y xy, x 0, yz 0 ) ( y(x + 2), x, yz ). y xyz VA Booglengte en hoeksnelheid y ϕr ϕ x r r P y t 2 sec ωr 2 ω ωr 1 ω r 1 r 2 t 1 sec x Definitie De lengte van een boog met straal r en hoek ϕ gemeten in radialen, is ϕr. De hoeksnelheid van een punt dat om P draait is de hoek die per tijdseenheid wordt gedraaid. Een punt dat op afstand r van P met constante snelheid om P draait legt ωr meter af, en heeft dus snelheid ωr VA

4 De hoeksnelheid in R 3 tel l is een lijn door de oorsprong, en x draait met hoeksnelheid ω om l. Definieer de vector ω als de vector met lengte ω in de richting van l, waarbij de richting van ω wordt bepaald door de rechterhand regel. De snelheidsvector v staat loodrecht op de vlak door O, M en x, dus v x en v ω. O ω M α l v r x x Voor de snelheid v geldt v v ωr ω x sin α ω x sin α ω x. Voor de snelheidsvector v geldt v ω x VA De rotatie van de hoeksnelheid l ω De hoeksnelheid is een vectorveld: v(x) ω x (ω x, ω y, ω z ) (x, y, z) (ω y z ω z y, ω z x ω x z, ω x y ω y x). Bereken de rotatie van v: x y z ω x ω y z ω z y ω z x ω x z ω x y ω y x dus curl v (ω x) (2ωx, 2ω y, 2ω z ) 2ω VA

5 De rotatie als hoeksnelheid ω v Een deeltje dat zich in een stromingsveld v bevindt zal naast een verplaatsing ook een draaiing ondergaan. De hoeksnelheid van deze draaiing is 1 2 curl v VA Laminaire stroming in een cilindrische buis x R z y Voor laminaire stroming door een cilinder met straal R geldt: de snelheid in x (x, y, z) is ( v(x) v max 1 r 2 ) R 2 e z. waarbij r x 2 + y 2 de afstand is van x tot de cilinder-as, en v max de snelheid op de cilinder-as is. In haakjes-notatie geeft dit ( ) v(x) v max 0, 0, 1 x2 R 2 y2 R VA

6 Laminaire stroming in een cilindrische buis y x ω y z x z De rotatie van v is curl v v max ( 2y R 2, 2x R 2, 0 ) K ( y, x, 0 ). met K 2v max /R 2. De draaiings-assen raken aan cirkels evenwijdig aan het xy-vlak met middelpunt op de z-as. De hoeksnelheid is 1 2 curl v 1 2 Kr VA ection 16.7 telling Theorem 6 Het oppervlak is georiënteerd en stuksgewijs glad. De rand van is een georiënteerde, enkelvoudige, gesloten, stuksgewijs gladde kromme, waarvan de oriëntatie overeenstemt met die van volgens de rechterhandregel; Vectorveld F heeft continue partiële afgeleiden op een open omgeving van. Dan geldt F dr curl F n dσ VA

7 irculatie Zie ook college 9 Definitie Gegeven is een stroming v in R 3. tel is een georiënteerde, gesloten kromme. De circulatie door is de lijnintegraal van v door, dus v dr. n telling circulatiestelling tel is een klein georiënteerd oppervlak met normaal n, dan is de circulatie van het vectorveld F gelijk aan F dr (curl F n) opp() VA n 1 B n 2 2 D A 1 D Voor vlak 1 geldt: curl F n 1 opp( 1 ) F 1 dr. Voor 2 geldt: curl F n 2 opp( 2 ) F 2 dr. Lijnstuk AB wordt twee keer doorlopen, maar in tegengestelde richting, dus F 2 dr + F 2 dr F ( 1 dr. 2 ) Dus curl F n 1 opp( 1 )+curl F n 2 opp( 2 ) F dr. ( 1 2 ) VA

8 n k k Door herhaald toepassen krijg je een Riemann som curl F n k opp( k ) F dr. k Maak de oppervlakjes k kleiner en kleiner. Door limiet opp( k ) 0 te nemen volgt de stelling van : curl F n dσ F dr VA Voorbeeld ection 16.7, example 2 Gegeven is het vectorveld F (y, x, 0).Verifieer de stelling van voor het oppervlak : x 2 + y 2 + z 2 9, z 0. Kies de oriëntatie van is linksom (van boven gezien). Parametrisering van : r(θ) (3 cos θ, 3 sin θ, 0) met 0 θ 2π. r (θ) ( 3 sin θ, 3 cos θ, 0) F ( r(θ) ) (3 sin θ, 3 cos θ, 0) F ( r(θ) ) r (θ) 9 sin 2 θ 9 cos 2 θ 9. 2π F dr F ( r(θ) ) r (θ) dθ 0 2π 9 dθ 18π VA

9 Voorbeeld (vervolg) curl F(x, y, z) (0, 0, 2) 2k. In Thomas wordt de oppervlakteintegraal met behulp van de impliciete vorm berekend. Dit voorbeeld wordt berekend met een expliciete parametrisering. Parametrisering van : r(ϕ, θ) (3 sin ϕ cos θ, 3 sin ϕ sin θ, 3 cos ϕ) met 0 ϕ π/2 en 0 θ 2π. r ϕ 3(cos ϕ cos θ, cos ϕ sin θ, sin ϕ). r θ 3( sin ϕ sin θ, sin ϕ cos θ, 0). r ϕ r θ 9 sin ϕ(sin ϕ cos θ, sin ϕ sin θ, cos ϕ). Als 0 ϕ π/2 dan cos ϕ 0, dus r ϕ r θ wijst naar boven. curl F ( r(ϕ, θ) ) (r ϕ r θ ) 18 sin ϕ cos ϕ 9 sin(2ϕ). curl F n dσ 2π π/ sin(2ϕ) dϕ dθ 18π VA Voorbeeld De kromme is de snijfiguur van de cilinder x 2 + y 2 1 en het vlak y + z 2. Bereken F dr waarbij F(x, y, z) ( y 2, x, z 2). De oriëntatie van is linksom (van boven gezien). curl F(x, y, z) (0, 0, 1 + 2y). met {(x, y, z) x 2 + y 2 1, y + z 2}. Parametrisering van : r(x, y) (x, y, 2 y) met (x, y) R {(x, y) x 2 + y 2 1}. r x (1, 0, 0) en r y (0, 1, 1). r x r y (0, 1, 1). Deze vector is naar boven gericht en klopt met de oriëntatie van VA

10 Voorbeeld (vervolg) F dr R curl F n dσ (0, 0, 1 + 2y) (0, 1, 1) dx dy R 2π 1 0 2π 0 2π y dx dy 0 (1 + 2r sin θ)r dr dθ [ 1 2 r r 3 sin θ ] 1 0 dθ sin θ dθ 1 2 θ 2 3 cos θ 2π π 2 ( ) 3 cos(2π) cos(0) π VA Voorbeeld Het oppervlak is het gedeelte van de bol x 2 + y 2 + z 2 4 dat binnen de cilinder x 2 + y 2 1 en boven het xy-vlak ligt. Bereken curl F n dσ waarbij F(x, y, z) (xz, yz, xy). Hierbij is de oriëntatie van de rand van linksom (van boven gezien) VA

11 Voorbeeld (vervolg) Parametriseer de rand van : r(t) (cos t, sin t, 3). r (t) ( sin t, cos t, 0). F ( r(t) ) ( 3 cos t, 3 sin t, cos t sin t). curl F n dσ F dr 2π 0 2π 0 2π 0 F ( r(t) ) r (t) dt 3 cos t sin t + 3 sin t cos t dt 0 dt VA ecion 16.4 telling Theorem 5 R R 2 is een enkelvoudig samenhangend gebied, met rand. is een enkelvoudige gesloten, stuksgewijs gladde, positief georiënteerde kromme. M en N zijn functies waarvan de partiële afgeleiden bestaan en continu zijn op een open gebied dat R omvat. Dan geldt M dx + N dy Als F (M, N ) dan R N x M y da. M dx + N dy F dr VA

12 Beschouw R als een oppervlak in R 3 : {(x, y, 0) (x, y) R} R. Definieer F(x, y, z) (M (x, y), N (x, y), 0). Als wordt geparametriseerd met de vectorfunctie r(t) ( x(t), y(t) ) met a t b dan is een parametrisering van als kromme in het xy-vlak: ( x(t), y(t), 0 ). F ( r(t) ) r (t)m ( x(t), y(t) ) x (t)+n ( x(t), y(t) ) y (t) VA ( 0 volgt curl F 0, 0, N x M ). y Parametriseer R: r(x, y) (x, y, 0). Uit M z N z Er geldt r x r y (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1). Daarmee M dx + N dy b M ( x(t), y(t) ) x (t) dt + N ( x(t), y(t) ) y (t) dt a F dr curl F n dσ R ( 0, 0, N x M ) y (0, 0, 1) da R R N x M y da VA

13 De rotatie van grad f telling ection 16.7, equation (8) tel f is een functie van drie variabelen waarvan de tweede-orde partiële afgeleiden bestaan en continu zijn. Dan geldt curl(grad f ) 0. Gevolg curl(grad f ) x f x ( 2 f yz 2 f zy, y f y z f z 2 f zx 2 f xz, x f x y f y 2 f zy 2 f yx (0, 0, 0). ection 14.3, mixed derivative theorem Als F conservatief is, dan is curl F 0. ) VA en conservatieve Voorbeeld Toon aan dat het vectorveld F(x, y, z) ( xz, xyz, y 2) niet conservatief is. Definitie Zie voorbeeld op slide 4: curl F ( y(2 + x), x, yz). Gebruik de stelling van slide 24: curl F 0, dus F is niet conservatief. Een vectorveld F in R 3 heet rotatievrij als curl F(x) 0 voor alle x R 3. Het vectorveld F van het bovenstaande voorbeeld is niet rotatievrij VA

14 telling ection 16.7, theorem 7 tel F is een vectorveld gedefinieerd op een open, enkelvoudig samenhangend gebied D, en stel F is rotatievrij. Als de partiële afgeleiden van de componenten van F continu zijn, dan is F conservatief. Bewijs tel zowel 1 als 2 is een pad van P naar Q in D. F 1 dr F 2 dr F dr curl F n dσ 0 n dσ 0. Dus lijnintegralen in D zijn pad-onafhankelijk VA en conservatieve Voorbeeld Toon aan dat F(x, y, z) ( y 2 z 3, 2xyz 3, 3xy 2 z 2) conservatief is. curl F F x y z y 2 z 3 2xyz 3 3xy 2 z 2 x y y 2 z 3 2xyz 3 ( 6xyz 2 6xyz 2, 3y 2 z 2 3y 2 z 2, 2yz 3 2yz 3) 0. Een potentiaal van F is f (x, y, z) xy 2 z 3 : f x (x, y, z) y 2 z 3, f y (x, y, z) 2xyz 3, f z (x, y, z) 3xy 2 z VA

15 De componententest Zie ook college 8 telling ection 16.3, blz. 943, eq, (2) tel F (M, N, P) is een vectorveld op R 3 en stel dat van M, N en P de tweede-orde partiële afgeleiden bestaan en continu zijn. Dan is F conservatief dan en slechts dan als P y N z, M z P x en N x M y. Voor het vectorveld F ( y 2 z 3, 2xyz 3, 3xy 2 z 2) geldt M y 2 z 3 N 2xyz 3 en P 3xy 2 z 2. Vectorveld F is conservatief want en P y 6xyz2 N z, N x 2yz3 M y. M z 3y2 z 2 P x VA n telling Voor een enkelvoudig gesloten oppervlak geldt curl F n dσ 0. tel het gesloten oppervlak is verdeeld in twee delen 1 en 2, met gemeenschappelijke rand. Het normaalveld n is naar buiten gericht. curl F n dσ F dr F dr 0. 1 curl F n dσ + 2 curl F n dσ VA

16 n Gevolg Voor twee een enkelvoudige n 1 en 2 met gemeenschappelijke rand en identieke oriëntatie geldt curl F 1 n dσ curl F 2 n dσ. curl F 1 n dσ F dr curl F 2 n dσ VA n Voorbeeld Gegeven is het vectorveld F(x, y, z) ( y, x, xyz 2 ). Het oppervlak is een piramide bestaande uit drie driehoeken D 1, D 2 en D 3. De oriëntatie van E is naar boven gericht. Bereken curl F n dσ. De rand van bestaat uit de driehoek met hoekpunten (0, 0, 0), (1, 0, 0) en (0, 1, 0) VA

17 Voorbeeld (vervolg) Het oppervlak bestaat uit drie delen: curl F n dσ + + D 1 D 2 D 3 De rand van bestaat uit drie lijnstukken: F dr De rand van is ook de rand van de driehoek D 0 met hoekpunten (0, 0, 0), (1, 0, 0) en (0, 1, 0). curl F n dσ curl F D 0 n dσ VA Voorbeeld (vervolg) De normaal op D 0 is n (0, 0, 1). F(x, y, z) ( y, x, xyz 2 ). curl F(x, y, z) (,, x (x) y ( y)) (,, 2). Dus curl F(x, y, z) n 2. curl F n dσ curl F D 0 n dσ 2 dσ 2 opp(d 0 ) D VA

18 : de wet van Faraday Inductiewet van Faraday Een veranderend magneetveld wekt een elektrisch veld op. - Michael Faraday, 1831 B Voor ieder georiënteerd oppervlak met rand geldt E dr d d t B n dσ. - James lerk Maxwell VA : de wet van Faraday Gebruik de stelling van : d B n dσ E dr d t curl E n dσ. Als niet afhangt van de tijd geldt: d B n dσ B n dσ d t t Dus ( curl E + B ) t n dσ 0. Dit geldt voor ieder oppervlak R 3, dus curl E B t VA