TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 5 juli 2012 van 14u00-17u00

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 5 juli 202 van 4u00-7u00 Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven met elk 3 onderdelen. Voor elk correct beantwoord onderdeel worden 6 punten toegekend. Het tentamencijfer wordt bepaald door het totaal van de toegekende punten te delen door 9 en daarna af te ronden. Beschouw de constanten ɛ 0, µ 0 en c bij alle opgaven als gegeven. Belangrijk: maak steeds voldoende duidelijk op welke wetten, principes en/of redenaties een antwoord gebaseerd is! Het gebruik van het boek, een grafische rekenmachine of een computer is niet toegestaan. Het standaard formuleblad is te vinden op de laatste twee pagina s van deze set opgaven. Daarnaast is het toegestaan een handgeschreven, tweezijdig formuleblad van A5-formaat te gebruiken. De voorlopige cijfers worden bekend gemaakt in de folder van het vak 3NC30 op OASE. Maak per een afspraak met de docent om het tentamen te bespreken (e.j.d.vredenbregt@tue.nl).. a. Een rechte, dunne draad ligt op de x-as. De draad strekt zich uit van x = a tot x = +a waarin a een positieve constante is. De draad is voorzien van een constante, lineaire ladingsdichtheid λ. Bereken het elektrische dipoolmoment p van de draad t.o.v. een punt P op de positieve z-as op afstand z 0 > 0 boven de oorsprong (zie figuur). Elementaire integralen hoeven niet expliciet uitgewerkt te worden. b. In een groot stuk diëlektrisch materiaal heersen een constant elektrisch veld E 0 en een constante polarisatie P 0. De diëlektrische verplaatsing is D 0 = ɛ 0 E 0 + P 0, waarbij alle drie de velden in de z-richting staan. Uit dit materiaal wordt nu een klein, dun, schijfvormig plakje weggehaald. Het schijfje (zie figuur) heeft dikte d en straal R d en de symmetrieas staat parallel aan de z-as. Druk het elektrische veld, de polarisatie en de diëlektrische verplaatsing ter plekke van het centrum van de ontstane holte uit in E 0 en P 0. Maak (zoals bij iedere opgave) voldoende duidelijk waar de antwoorden op gebaseerd zijn. c. Laat zien dat de wetten van Maxwell voor vacuüm elektromagnetische golven toelaten. z.o.z.

2 2. Een voorwerp gemaakt van een permanent magnetisch materiaal heeft de vorm van een bol met straal R waarvan het centrum samenvalt met de oorsprong van het coördinatenstelsel. De magnetisatie van het voorwerp is (in bolcoördinaten) gegeven door M = k r sin(θ) ˆθˆθˆθ waarin k een positieve constante is. a. Bereken de gebonden oppervlakte- en volumestroomdichtheden. b. Bepaal het magnetische monopoolmoment en het magnetische dipoolmoment van het voorwerp t.o.v. de oorsprong. c. Geef een uitdrukking in bolcoördinaten voor de belangrijkste term in de multipoolontwikkeling van de magnetische vectorpotentiaal. Schets het bijbehorende magnetische veld zowel in het xz-vlak als ook in het xy-vlak. (Verzin hierbij eventueel redelijke multipoolmomenten als u onderdeel (b) niet heeft opgelost.) 3. In een verder lege ruimte bevindt zich een oneindig lange spoel met straal R waarvan de symmetrie-as samenvalt met de z-as. De stroom door de spoel varieert op zo n manier met de tijd t dat het magnetische veld binnen de spoel voldoet aan B(r) = B 0 t T ẑ waarin B 0 en T positieve constanten zijn. Beschouw in het vervolg waar aangegeven een deel van de spoel ter lengte L, zoals getekend in de figuur. a. Leid uit de wetten van Maxwell af dat het elektrische veld binnen de spoel gegeven is door (in cilindercoördinaten) E(r) = E 0 s R ˆφˆφˆφ en geef een uitdrukking voor de constante E 0. Bereken vervolgens de energie die is opgesloten in de elektromagnetische velden binnen het getekende spoeldeel. b. Bereken de totale energiestroom door de grensoppervlakken van het getekende spoeldeel. Formuleer de wet van behoud van energie en controleer of daar in dit specifieke geval aan voldaan is. c. Beredeneer van welke coördinaten de magnetische vectorpotentiaal A binnen en buiten de spoel kan afhangen, en beredeneer in welke richting A zal staan. Bereken A vervolgens uit het gegeven magnetische veld, zowel binnen als buiten de spoel. z.o.z. 2

3 4. Gegeven is een oneindig lange, niet-magnetische, cilindervormige geleider met straal R waarvan de symmetrie-as samenvalt met de x-as. De rest van de ruimte is vacuüm. De geleider heeft een eindige en constante geleidbaarheid σ waardoor de volumestroomdichtheid J binnen de geleider samenhangt met het elektrische veld E volgens J = σ E. a. Laat zien dat de continuïteitsvergelijking (die het behoud van lading beschrijft) volgt uit de wetten van Maxwell. Gebruik deze vergelijking om af te leiden dat een eventueel in de geleider aanwezige ruimtelading in een typische tijd τ = ɛ 0 /σ wegvloeit. Neem voor het vervolg van deze opgave aan dat de situatie stationair is en de ladingsdichtheid in de geleider dus overal nul is. Verder is gegeven dat overal in de geleider nu een constant en homogeen elektrisch veld gegeven door E 0 ˆx aanwezig is. b. Beschouw het half-bolvormige oppervlak x 2 + y 2 + z 2 = R 2, x 0. Druk de stroom die door dit oppervlak gaat uit in E 0. Toon eventueel eerst aan dat door een ander, eenvoudiger oppervlak dezelfde stroom loopt. c. Gebruik de wetten van Maxwell om de grootte en richting van het elektrische veld direkt buiten de geleider te berekenen. z.o.z. 3

4 5. In een verder lege ruimte bevinden zich twee halfoneindige, vlakke, geleidende, geaarde platen (zie figuur) waarvoor x 0 en < z <. De platen zijn parallel aan het xz-vlak opgesteld; de ene heeft y-coördinaat y = 0 en de andere y = a waarbij a > 0. Op x = 0 bevindt zich verder een van de platen geïsoleerde, oneindig lange metalen strip (zwart in de figuur) die deel uitmaakt van het yz-vlak. De strip past precies tussen de platen en wordt op een constante potentiaal V 0 gehouden. a. Laat zien dat tussen de platen een uitdrukking voor de elektrostatische potentiaal V van de vorm V (x, y, z) = n= c n X n (x) Y n (y) met c n willekeurige constanten, voldoet aan de vergelijking van Laplace als de functies X n (x) en Y n (y) voldoen aan de differentiaalvergelijkingen 2 X n x 2 = k 2 nx n, 2 Y n y 2 = k2 ny n waarin k n nader te bepalen constanten zijn. b. Schrijf voldoende randvoorwaarden op waar de elektrostatische potentiaal tussen de platen aan moet voldoen om de potentiaal eenduidig vast te leggen. Laat vervolgens zien dat de oplossing voor dit probleem gegeven is door V (x, y, z) = c n e knx sin(k n y) n=0 en bereken de waarden van c n en k n voor alle n. c. Bereken de oppervlakteladingsdichtheid op de onderste plaat (y = 0). EINDE 4

5 FORMULEBLAD 3NC30: E&M3 Vectoridentiteiten A (B C) = B (C A) = C (A B) A (B C) = B(A C) C(A B) (fg) = f( g) + g( f) (A B) = A ( B) + B ( A) + (A )B + (B )A (fa) = f( A) + A ( f) (A B) = B ( A) A ( B) (fa) = f( A) + ( f) A (A B) = (B )A (A )B + A( B) B( A) ( A) = 0 ( f) = 0 ( A) = ( A) 2 A Coördinatenstelsels Cilindercoördinaten: x = s cos φ y = s sin φ z = z s = x 2 + y 2 φ = arctan(y/x) z = z ˆx = cos φ ŝ sin φ ˆφˆφˆφ ŷ = sin φ ŝ + cos φ ˆφˆφˆφ ẑ = ẑ ŝ = cos φ ˆx + sin φ ŷ ˆφˆφˆφ = sin φ ˆx + cos φ ŷ ẑ = ẑ Bolcoördinaten: x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ r = x 2 + y 2 + z 2 θ = arctan ( x 2 + y 2 /z) φ = arctan (y/x) ˆx = sin θ cos φ ˆr + cos θ cos φ ˆθˆθˆθ sin φ ˆφˆφˆφ ŷ = sin θ sin φ ˆr + cos θ sin φ ˆθˆθˆθ + cos φ ˆφˆφˆφ ẑ = cos θ ˆr sin θ ˆθˆθˆθ ˆr = sin θ cos φ ˆx + sin θ sin φ ŷ + cos θ ẑ ˆθˆθˆθ = cos θ cos φ ˆx + cos θ sin φ ŷ sin θ ẑ ˆφˆφˆφ = sin φ ˆx + cos φ ŷ 5

6 Gradiënt, divergentie, rotatie, Laplaciaan in Cartesische coördinaten: dl = dx ˆx + dy ŷ + dz ẑ, dτ = dx dy dz f = f x ˆx + f y ŷ + f z ẑ v = v x x + v y y + v z z v = [ vz y v ] [ y vx ˆx + z z v ] [ z vy ŷ + x x v ] x ẑ y 2 f = 2 f x f y f z 2 in cilindercoördinaten: dl = ds ŝ + s dφ ˆφˆφˆφ + dz ẑ, dτ = s ds dφ dz f = f s ŝ + f s φ ˆφˆφˆφ f + z ẑ v = s v = 2 f = s s (sv s) + v φ s φ + v z z [ v z s φ v ] [ φ vs ŝ + z z v ] [ z ˆφˆφˆφ + s s ( s f ) + 2 f s s s 2 φ f z 2 s (sv φ) s in bolcoördinaten: dl = dr ˆr + r dθ ˆθˆθˆθ + r sin θ dφ ˆφˆφˆφ, dτ = r 2 sin θ dr dθ dφ f = f r ˆr + f r θ ˆθˆθˆθ f + r sin θ φ ˆφˆφˆφ v = r 2 r (r2 v r ) + r sin θ θ (v θ sin θ) + v φ r sin θ φ v = [ r sin θ [ + r sin θ θ (v φ sin θ) r sin θ v r φ r 2 f = ( r 2 r 2 f ) + r r ] v θ ˆr φ ] [ r (rv φ) ˆθˆθˆθ + r r 2 sin θ r (rv θ) r ( sin θ f ) + θ θ ] v r ˆφˆφˆφ θ 2 f r 2 sin 2 θ φ 2 ] v s ẑ φ 6

7 . a. Zie boek pg. 49 en 52; p = 2aλz 0 ẑ b. Zie boek opg. 4.6; P = 0, D = D 0, E = E 0 + P 0 /ɛ 0 c. Zie boek pg a. Zie boek pg. 264; J b = M = 2k sin θ ˆφˆφˆφ, Kb = M ˆr = kr sin θ ˆφˆφˆφ. b. Monopool: 0 (geen magnetische ladingen); Dipoolmoment m = M dτ = (2/3)kπR 4 ẑ c. Zie boek pg a. Het veld volgt uit de wet van Faraday in integraalvorm, waaruit ook E 0 = B 0 R/2T. Energie U em = (/2) {ɛ 0 E 2 + B 2 /µ 0 } dτ = (/2)πR 2 L{ɛ 0 E0/2 2 + (B 0 t/t ) 2 /µ 0 } V b. Poynting vector S ˆn op boven- en ondervlak, S = (E 0 B 0 t/t µ 0 )ŝ op zijvlak. Energiestroom S da = (E 0 B 0 t/t µ 0 )2πRL. Behoud van energie 0 = du em dt + S da, klopt S S bij invullen c. Zie voorbeeld 5.2 of opg uit het boek: A = (B 0 st/2t )ˆφˆφˆφ voor s < R; A = (B 0 R 2 t/2st )ˆφˆφˆφ voor s > R. 4. a. Neem de divergentie van Ampere en substitueer Gauss in het resultaat om de continuïteitsvergelijking te vinden. Zie vervolgens pg. 393 van het boek. b. Nu geldt J = 0 en dus is volgens Gauss J da = 0. Als oppervlak kunnen we dus ook nemen de doorsnede van het vlak x = 0 met de geleider, zodat I = σe 0 πr 2. c. Zie boek pg ; E = E 0ˆx. 5. Zie voorbeeld 3.4 uit het boek. a. Zie boek pg b. Randvoorwaarden: vgl. (3.2) op pg. 28; potentiaal: vgl. (3.30) en (3.35) op pg. 30 c. Gebruik E = V en σ = ɛ 0 E ˆn. Dan voor y = 0: σ = ( 4ɛ 0 V 0 /a) n=,3,... e nπx/a S V