7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss

Transcriptie

1 7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss Berekening van electrische flux Alleen de component van het veld loodrecht op het oppervlak draagt bij aan de netto flux. We definieren de electrische flux als volgt: Φ E = E da Φ E is de netto lading E is het electrisch veld in het opperlvlakte-elementje d A. d A is een vector die in grootte gelijk is aan het oppervlakelementje da, en waarvan de richting per definitie loodrecht staat op het oppervlak. Het inproduct zorgt er dus voor dat de bijdrage aan de integraal uitsluitend bepaald wordt door de component van E die loodrecht staat op het oppervlakelementje da. De integraal is over een gesloten oppervlak rond de lading Φ E. Vaak wordt dit aangegeven met een symbool: Φ E = E da Deze vergelijking legt een kwantitatief verband tussen de flux en de electrische veldsterkte. Maar hoe staat de flux in verband met de grootte van de lading binnen het gesloten oppervlak? puntlading We weten dat voor een puntlading geldt dat E = 1 R 2. ALs we de puntlading in het middelpunt van een denkbeeldige bol plaatsen met straal R, dan staat E loodrecht op het oppervlak van de pol in elk punt van het oppervlak. Bovendien is E in elk punt van het boloppervlak even groot. Onder deze condities geldt de wet van Gauss: Φ E = E da = E da = E Dit is de wet van Gauss voor een puntlading: Φ E = E da = da = 1 R 2 (4πR2 ) = De flux wordt uitsluitend bepaald door de lading binnen de bol. De flux is onafhankelijk van de straal van de bol. (Want: E 1/r 2, en A r 2, dus het product van E en A is constant). In feite geldt de wet van Gauss niet alleen voor een bolvormig oppervlak, maar voor elk gesloten oppervlak onafhankelijk van de vorm. Bovendien geldt de wet van Gauss niet alleen voor een puntlading, maar voor een willekeurige ladingsverdeling binnen het ingesloten volume. We kunnen nl. de totale lading Q encl altijd 1

2 schrijven als de som van puntladingen: Q encl = i i. Het totale veld is de som van de velden van alle puntladingen, en dus: Φ E = E da = E i da = E i da = i = Q encl ɛ i i i Meer algemeen luidt de wet van Gauss dus: Φ E = E da = Q encl Toepassingen. een geleidende bol met electrische lading : Het veld in de bol is nul: E(r < R) = 0 (als de ladingsverdeling in evenwicht is wordt er geen netto kracht uitgeoefend, er is dus geen netto verplaatsing van lading). De bolvormige symmetrie impliceert dat extra lading homogeen over het oppervlak van de bol is verdeeld. Bovendien is daarom het veld radiaal gericht: als de bol gedraaid wordt blijft het patroon van het electrisch veld onveranderd. Voor r > R is het veld dus gelijk aan dat van een puntlading een lange geleidende draad met lading: E(r R) = 1 R 2 Voor een lange, rechte draad (r << lengte) staat de richting van het el. veld loodrecht op de draad (zie onderstaande figuur). In een vlak loodrecht op de draad is het veld op de omtrek van een circel met straal r rond de draad overal even sterk. Beschouw een cilinder met lengte l en straal r rond de draad, met Q encl = λ/l: Φ E = E (2πrl) = Q encl = λl, en dus: E = 1 λ 2π r 2

3 lading op een grote, geleidende plaat: Het veld staat ook hier loodrecht op het vlak. Positieve lading: het veld is naar buiten gericht, negatieve lading: het veld is naar de plaat toe gericht. Beschouw een denkbeeldige cilinder met straal die door het platte vlak steekt met de as loodrecht op het vlak. Het product E A is alleen nul voor de boven en onderkant van de cilinder. 2E A = σa A is het oppervlak van de loodrechte doorsnede van de cilinder, σ is de lading per eenheid oppervlak (de ladingsdichtheid, C/m 2 ), σa is de ingesloten lading. E = σ 2 Twee evenwijdige platen met tegengestelde lading, onderlinge afstand klein t.o.v. de afmetingen van de platen: buiten de plaat compenseren de velden van de negatieve en positieve plaat elkaar. Tussen de platen tellen ze op: E = σ Veld van een uniform geladen bol: Uniform wil zeggen dat de ladingsdichtheid ρ (= lading per volumeëenheid) overal in de bol (straal R) hetzelfde is. Q ρ = 4πR 3 /3 Voor r < R: Q encl = ρv encl = ( ) ( ) Q 4 4πR 3 /3 3 πr3 = Q r3 R 3 Binnen de bol is het veld evenredig met r, de afstand tot het middelpunt: Ladingen in geleiders E = 1 4πr 2 Qr 3 R 3 1 = Q r 4πR 3 Extra ladingen in een geleider bevinden zich altijd aan het oppervlak. Als de geleider bolvormig (straal R) is volgt dat binnen in de bol (r < R) de sterkte van het veld gelijk is aan nul, ook als de bol hol is Electrische potentiaal Arbeid verricht door een kracht: W a b = b a F d s = b a F cos θ ds Voor een conservatieve kracht: W a b = U a U b = U U is de verandering in potentiële energie als de kracht F arbeid verricht over de verplaatsing van a naar b. Als de kracht in dezelfde richting is als de verplaatsing is de verrichte arbeid positief, en dus neemt de potentiële energie af. Vergelijk een voorwerp dat onder invloed van de zwaartekracht naar het aardoppervlak valt: de verrichte arbeid is positief, de potentële energie (= mgh) 3

4 neemt af en de kinetische energie (= 1 2 mv2 )neemt toe. Omdat de kracht conservatief is blijft ook de totale energie (= kinetisch + potentiëel) behouden: K a + U a = K b + U b Coulombkrachten zijn ook conservatief. Voorbeeld: een positief geladen deeltje in een uniform electrisch veld. F = E W a b = F (y b y a ) = E(y b y a ) U = E(y b y a ) U = Ey W a b is positief als positief is, en dus neemt de potentiële energie af, de kinetische energie zal toenemen. Merk op dat in dat geval de verplaatsing in dezelfde richting is als de op de lading uitgeoefende kracht. Als de lading van het deeltje negatief zou zijn ondervindt het een kracht die tegengesteld is aan de richting van het veld. Bij de verplaatsing van a naar b beweegt het deeltje dus in een richting tegengesteld aan die van de kracht: de potentiële energie neemt nu toe. Voorbeelden van beweging van geladen deeltjes in el. veld kathodestraalbuis, geigerteller (meten van radioactiviteit) electronenspectroscopie LCD (liuid crystal display) Potentiële energie van twee puntladingen Kracht tussen twee puntladingen en : F r = 1 r 2 Als de afstand toeneemt van r a naar r b langs de verbindingslijn (dus radiëel) wordt arbeid verricht door de kracht: rb rb 1 W a b = F r dr = r a r a r = rb 1 2 r a r = ( 1 1 ) 2 r a r b W a b is alleen afhankelijk van begin en eindpunt, en dus onafhankelijk van de gevolgde weg. Consistent als we de potentiële energie definiëren als volgt: U = 1 r Dit is dus de electrische potentiële energie van twee ladingen en. De uitdrukking geldt zowel voor positieve als negatieve ladingen, of voor een combinatie daarvan. Wanneer we 4

5 te maken hebben met een systeem van meerdere puntladingen kunnen we het superpositieprincipe toepassen (het veld in een bepaald punt is de vector som van de velden van alle individuele ladingen), en dan volgt: U = i Dit is de potentiële energie van een lading in het veld van de ladingen { i }. We kunnen het nulpunt van potentiële energie vrij kiezen. Een handige keus voor electrostatische problemen is U = 0 als de afstand tussen geladen deeltjes oneindig is. Een bepaalde ladingsverdeling { i } heeft dus een intrinsieke potentiële energie, en wel gelijk aan de arbeid die moet worden verricht om de ladingen { i } bij elkaar te brengen. Dat kunnen we één voor één doen, en dan de potentiële energie van elk geladen deeltje optellen bij het totaal. Dat levert: U = 1 r ij is de afstand tussen ladingen i en j, en de som gaat over termen met i < j zodat we niet elk paar dubbel tellen. 7.1 Electrische potentiaal We definiëerden een electrische veld als de kracht per eenheid lading, en we kunnen zo n veld beschouwen als een (ruimtelijke) eigenschap van een geladen voorwerp. Zoals we hebben gezien is met een conservatieve kracht, en dus ook met een electrisch veld, altijd een potentiële energie geassociëerd. Analoog aan het begrip electrisch veld definiëren we nu de electrische potentiaal als de potentiële energie per eenheid van lading: i i<j r i i j r ij Per definitie: V = U Eenheid van U is J, van V is volt (V), en dus 1 V = 1 volt = 1 J/C = 1 joule/coulomb De electrische potentiaal is gedefiniëerd als de potentiële energie per ladingseenheid. Het potentiaalverschil tussen twee punten a en b is dus gelijk aan de hoeveelheid arbeid die verricht moet worden om één eenheid lading van a naar b te verplaatsen: W a b = U = ( Ub U a ) = (V b V a ) = V a V b De verandering van de energie van een deeltje met de lading van een electron tussen twee punten met een potentiaalverschil van 1 V is gelijk aan U a U b = ( C)(1 V) = J Deze hoeveelheid energie is gedefiëerd als 1 electron volt (ev): Voorbeeld 1: 1 ev = J 5

6 1 = +7.50µC: vast 2 = +3.00µC: massa 2 g, beweegt in de richting van 2, v = 22.0 m/s op een afstand van 0.80 m. Verwaarloos de zwaartekracht a. Wat is de snelheid van 2 op een afstand van 0.50 m? b. Wat is de kortste afstand tussen 1 en 2? a. Energiebehoud gebruiken. E i = K i +U i = 1 2 (0.002 kg)(22.0 m/s)2 +( ) ( C)( C) = J 0.80m E f = 1 2 mv2 + k 1 2 2(0.737 J J) v = = 18.2 m/s r kg b. Op de kortste afstand is de snelheid nul: k 1 2 = J r = ( ) ( C)( C) r J Voorbeeld 2: b. V = 1 a Potentiaal V in de oorsprong? laat zien dat op een punt langs de x-as V = 1 2 a2 + x 2 Teken een grafiek van V rond de oorsprong Wat is de potentiaal als x a? c. Volgens de tekening: V = 1 r = 1 2π 2 a2 + x 2 d. e. Als x >> a, dan is V = 1 2 x Voorbeeld 3: = m Potentiaal als functie van x? Grafiek van V (x)? Wat als de ladingen verwisseld worden? a. Potentiaal = 0 overal op de x-as: V (x) = 1 ( r + ) r 6

7 b. V (x) = 0 c. Zelfde resultaat als ladingen verwisseld worden. Voorbeeld 4: Zelfde als bij voorbeeld 3, maar nu voor de potentiaal op de y-as. y < a: V = 1 ( a + y + ) = 1 2y a y (y 2 a 2 ) y > a: V = 1 ( a + y + ) = 1 2a y a (y 2 a 2 ) y < a: V = 1 ( y a + ) = 1 2a y + a (y 2 a 2 ) y >> a: V = 1 ( y + a + ) = 1 2a y a y 2 7