TENTAMEN ELEKTROMAGNETISME

Transcriptie

1 TENTMEN ELEKTROMGNETISME 23 juni 2003, uur Dit tentamen bestaat uit 4 opgaven. OPGVE 1 Gegeven is een zeer dunne draad B waarop zch een elektrische lading Q bevindt die homogeen over de lengte a van deze draad verdeeld is. Een punt P bevindtzichopeenafstand h loodrechtbovenhetuiteinde van de draad, zoals in de onderstaande figuur is geschetst. P h y x a B a) Toon aan dat voor de x-component van de elektrische veldsterkte in het punt P geldt dat E x = Q ( 1 4πε 0 a a2 + h 1 ) 2 h b) Bereken de y-component van de elektrische veldsterkte in het punt P. c) Toon aan dat voor de elektrische potentiaal in het punt P geldt dat V P = Q n ³ ln a + a2 + h 2 o ln (h) 4πε 0 a Gegeven is nu een U-vormige horizontale draad BCDE die zich in het xy vlak bevindt, zoals in de figuur op de volgende pagina is weergegeven. Het punt C is het midden van de zijde BD en ligt op de positieve y-as. De hoeken BC en CDE zijn rechte hoeken. De segmenten B, BC, CD en DE van de draad hebben allemaal een lengte a. Op elk van deze segmenten bevindt zich een homogeen verdeelde lading Q. De afstand van het punt P op de z-as en de oorsprong M van het assenstelsel is ook gelijk aan a. i

2 z P E D M C y B x d) Bereken de x-component van de elektrische veldsterkte E P in het punt P. e) Bereken de y-component van de elektrische veldsterkte E P in het punt P. f) Bereken de z-component van de elektrische veldsterkte E P in het punt P. g) Bereken de elekrische potentaal V P in het punt P. ii

3 OPGVE 2 Een hoogspanningsleiding, die oneindig lang verondersteld mag worden, bevindt zich op een hoogte h = 25 m boven het aardoppervlak. Voor de eenvoud is aangenomen dat het deze leiding zuiver horizontaal loopt. Door deze leiding loopt een sinusvormige wisselstroom met een amplitude van 1000 en een frequentie van 50 Hz, in formulevorm i(t) = 1000 sin(2πft), f =50Hz De situatie is in de onderstaande figuur schematisch afgebeeld. h a b d a) Bereken de grootte van het magneetveld op een afstand R van de hoogspanningsleiding. Welke richting heeft dit veld? b) Op een hoogte d = 5 m boven het aardoppervlak bevindt zich een rechthoekig raamwerk met een lengte a = 20 m en een hoogte b = 10 m. Hoe groot is de magnetische flux die door dit raamwerk wordt omsloten? c) De weerstand van dit (matig geleidende) raamwerk bedraagt 5 kω. Hoe groot is de stroom die door dit raamwerk loopt? d) Hoe groot is de magnetische energiedichtheid U B dicht bij het aardoppervlak? e) De onder d) gevonden magnetische energiedichtheid varieert 100 keer per seconde tussen nul en de maximale waarde U max. ls deze energie volledig zou worden geabsorbeerd door een op het aardoppervlak aanwezig object leidt dit tot een gemiddeld geabsorbeerd vermogen per volume-eenheid P gem =50U max. We nemen nu een volledige absorptie van de magnetische energie aan binnen een volume van circa 80 dm 3 (een ruwe schatting voor een menselijk lichaam) bij het aardoppervlak. Met welk gemiddeld geabsorbeerd vermogen komt dit overeen? f) Zou de onder e) gevonden absorptie van energie tot een schadelijke mate van opwarming van het menselijk lichaam aanleiding kunnen geven? Motiveer uw antwoord. iii

4 OPGVE 3 In de onderstaande figuur is een elektronisch circuit weergegeven, waarin twee batterijen aanwezig zijn. R 20 I 4 B S C I 1 I 2 30 I V 3 1 V V 12 V S 1 De linker batterij V 1 en de rechter batterij V 2 kunnen opgevat worden als ideale spanningsbronnen, d.w.z. dat de inwendige weerstand ervan verwaarloosd mag worden. lle weerstandswaardenindefiguur zijn gegeven in Ohm. anvankelijk zijn zowel de schakelaar S 1 als de schakelaar S 2 geopend. De potentiaal van de negatieve polen van de batterijen mag gelijk genomen worden aan nul. a) Bereken de potentiaal V B op het punt B. b) Verandert V B als de weerstanden van 100 Ω en 120 Ω parallel aan resp. de batterijen V 1 en V 2 worden weggelaten? Motiveer uw antwoord. De schakelaar S 1 wordt nu gesloten; S 2 blijft open. c) BerekenvoordezesituatiedepotentiaalV B op het punt B. d) Bereken het vermogen dat door de batterij V 1 in deze situatie wordt geleverd. De schakelaar S 2 wordt nu gesloten; S 1 wordt geopend. De waarde van de weerstand R =40Ω. e) BerekenvoordezesituatiedepotentiaalV B op het punt B. f) Bereken de stroom I 4 in deze situatie. Beide schakelaars S 1 en S 2 worden nu gesloten.de waarde van de weerstand R =0Ω. g) BerekenvoordezesituatiedepotentiaalV B op het punt B. iv

5 OPGVE 4 Gegeven is een magneetsysteem waarvan het belangrijkste gedeelte in de onderstaande figuur schematisch is weergegeven. Het bestaat uit een permanente magneet waarvan in de noorden de zuidpool zuiver cirkelvormige uitsparingen zijn gemaakt. Dit is in het linker gedeelte van de figuur te zien. In het hart van het systeem bevindt zich een cylindervormige weekijzeren kern met een middelpunt M en een straal p = 2 cm. De binnenwand van de magneetpolen bevindt zich op een afstand q = 3 cm van het middelpunt M. v d noord voor achter s j k r M C,C M q p s s zuid w Tussen de kern en de magneetpolen bevindt zich een spoel s. Deze is zodanig gewikkeld dat het horizontale gedeelte zich op een afstand r =2.5 cm van het middelpunt M bevindt. Dit gedeelte bevindt zich in een magneetveld B, dat zuiver radieel gericht is. Ter plaatse van het horizontale deel van s geldt dat B =0.2 Tesla. Het horizontale deel van de spoel ondervindt dit veld over een afstand d = 4 cm. In het rechtergedeelte van de figuur, dat een doorsnede aangeeft langs de lijn vw, is een en ander verduidelijkt. Het uitwaaieren van het magneetveld buiten de ruimte tussen de kern en de magneetpolen mag worden verwaarloosd. De spoel is draaibaar om een horizontale as door het middelpunt M; aan deze as is een hefboom C bevestigd die precies in evenwicht is. Voor deze hefboom geldt M = MC = 5 cm. De stroom I door de spoel noemen we positief als deze in de bovenhelft van de spoel in de linker figuur het papier in wijst, dus in de rechter figuur naar rechts loopt. De spoel s heeft N =25 windingen. a) Bereken het magneetveld ter plaatse van het oppervlak van de weekijzeren kern (dus op een afstand p van M) en ter plaatse van de magneetpolen (dus op een afstand q van M). v

6 b) Bereken de grootte en de richting van de kracht die een horizontaal draadsegment jk van een enkele winding van de spoel s ondervindt wanneer hierdoor een positieve stroom I =0.1 wordt gestuurd. c) Wat is de grootte het koppel dat de gehele spoel ondervindt wanneer hierdoor een stroom I =0.1 wordt gestuurd? d)ls een massa van 10 mg op het punt wordt aangbracht zal de hefboom uit evenwicht raken. Met welke stroom I door de spoel kan dit worden gecompenseerd, dus de hefboom horizontaal gehouden worden? Wat is het teken van deze stroom? De versnelling van de zwaartekracht mag gelijk genomen worden aan g =10m/s 2. e) ls de stroom I met een nauwkeurigheid van 1 µ kan worden ingesteld, hoe nauwkeurig kan dan een massa die op het punt wordt aangebracht worden gemeten? De versnelling van de zwaartekracht mag ook hier gelijk genomen worden aan g =10m/s 2. f) We bewegen nu het punt zodanig dat de hoek Θ diedehefboomc met het horizontale vlak maakt gedurende 10 ms lineair in de tijd toeneemt van 0 graden tot 9 graden (π/20 radialen). Dit is in de onderstaande figuur nader toegelicht. π/20 Θ t (ms) Wat is de grootte van de emk van inductie ε die gedurende deze 10 ms over de spoel wordt opgewekt? g) Over de spoel wordt een weerstand R aangesloten, waaraan gedurende de onder f) beschreven beweging een energie U R blijkt te worden toegevoerd. ls deze beweging twee keer zo snel wordt uitgevoerd, wordt deze energie dan 1, 2 of 4 keer zo groot? Motiveer uw antwoord. vi