TENTAMEN ELEKTROMAGNETISME (3D020)

Transcriptie

1 TENTAMEN ELEKTOMAGNETISME (3D2) 11 augustus 23, uur UITWEKING 1 Op de geleider bevin zich een totale lading. De lengte van de geleider (een halve cirkel) is gelijk aan π. y d ϕ P x Voor de ladingsdichtheid λ op de geleider gel λ π Voor de lading d op een klein gedeelte van de geleider gel d λ dϕ π dϕ Deze lading d geeft aanleiding tot een bijdrage d ~E tot de electrische veldsterkte ~E in het punt P, waarvoor gel de d 4πε 2 a) Voor de y-component van de elektrische veldsterkte d ~ E in het punt P gel de y de sin(φ) d 4πε 2 sin(φ) 4π 2 ε 2 sin(φ)dϕ De totale y-component van de elektrische veldsterkte E ~ in het punt P gel E y Z π/2 sin(φ)dϕ cos( π ) 4π 2 ε 2 π/2 4π 2 ε 2 2 ) cos(π 2 i

2 Dit had ook op grond van de symmetrie van het probleem meteen kunnen worden geconcludeerd; de verticale (y) componentvan ~ E valt weg bij het doorlopen van de halve cirkel. b) Voor de x-component van de elektrische veldsterkte d ~E in het punt P gel de x de cos(φ) d 4πε 2 cos(φ) 4π 2 ε 2 cos(φ)dϕ De totale x-component van de elektrische veldsterkte ~E in het punt P gel Z π/2 E x cos(φ)dϕ sin( π ) 4π 2 ε 2 π/2 4π 2 ε 2 2 ) sin(π 2 2π 2 ε 2 Deze wijst dus in de positieve x-richting. c) Als aan de configuratie een tweede geleider wor toegevoegd, die de vorm heeft van een rechter halve cirkel met lading, is op grond van de symmetrie direkt in te zien dat de elektrische veldsterkte ~E in het punt P gelijk is aan nul. Dit volgt ook uit de periodiciteit van sin(φ) en cos(φ): de integraal van deze functies over een interval ter grootte 2π levert nul op. UITWEKING 2 a) De condensatoren C AC en C BC zijn cilindercondensatoren. Voor de capaciteit van een dergelijke condensator gel per lengte-eenheid Dus in dit geval (lengte 2 mm) C 2πε ln ( 1 / 2 ) C AC πε ln (1/9) πε 2ln(1/9) ln (1/9) F b) De condensatoren C BC en C AC zijn verbonden via de gemeenschappelijke (geleidende) buis C. We hebben dus een serieschakeling van 2 condensatoren. Omdat de ladingen op deze condensatoren gelijk zijn (de netto lading op buis C is nul) gel BC AC C AC (V A V C )C BC (V C V B ) Omschrijven geeft (C AC + C BC ) V C C AC V A + C BC V B De capaciteit C BC is gelijk aan C AC. Invullen van V A 2 VenV B +2Vgeeft V C. ii

3 c) De capaciteit C AC wor door het vullen van de ruimte tussen de buizen A en C met diëlectrisch materiaal vier maal zo groot, dus F. De capaciteit C BC blijft uiteraard gelijk. d) Omdat de lading op de buis C niet verandert, dus gelijk blijft aan nul, gel V C C ACV A + C BC V B C AC + C BC Invullen van V A 2 VenV B +2VenC AC 4C BC geeft V C 2 C BC C BC (1 + 4) C BC 12V e) De capaciteit per lengte-eenheid is voor beide cilinder-condensatoren C AC en C BC gelijk, n.l. 2πε / ln (1/9). Als de buis C precies 1 mm in de positieve x-richting wor verplaatst, wor de lengte van C AC gelijk aan 19 mm en de lengte van C BC gelijk aan 21 mm. Dit betekent µ 19 C AC F 2 C AC C BC F µ 21 2 C AC f) Omdat de lading op de buis C niet verandert, dus gelijk blijft aan nul, gel V C C ACV A + C BC V B C AC + C BC 19 2 C AC C AC 2 2 C AC 1V UITWEKING 3 a) Voor x a gel B z (t) B + G(t) a B z,max B + G max a B T B T b) De magnetische flux wor gegeven door Φ B ZZ ~B d ~ A Omdat het magneetveld het gegeven oppervlak loodrecht doorsnij, gel Φ B ZZ BdA b Z a B(x)dx b Z a [B + G(t)x] dx b B x + 1 G(t)x2 xa abb a2 bg(t) x iii

4 Hieruit volgt Φ B, min abb.1.5 B B [Wb] Φ B,max Φ B, min a2 bg max Φ B, min (.1) c) Voor de emk van inductie gel B [Wb] I ² E ~ d ~ l dφ B 1 2 a2 b dg(t) Als Φ B toeneemt, is ² positief als de kring rechtsom wor doorlopen, als Φ B afneemt, is ² negatief als de kring rechtsom wor doorlopen. Uit in de opgave gegeven figuur volgt dg(t) als t < ² 1 4 G max als <t<.1ms ² 5mV als.1 <t<.4ms ² 1 4 G max als.4 <t<.5ms ² 5 mv t>.5ms ² Het verloop van de emk is schematisch weergegeven in de onderstaande figuur: emk t (ms) d) Dergelijke emk s kunnen stroompjes binnen geleidend vezels (zenuwbanen) veroorzaken, waardoor actieve stimulatie kan plaatsvinden (bewegingen, visuele sensaties e.d.). e) Voor het gegeven circuit gel I ² spoel N dφ B Verder gel Z.5 ms Z.1 ms U el I(t) 2 2 I(t) 2 2 Omdat ² max 5mV volgt hieruit N² I(t) N² µ N²max U el 2 (5)2 (5 1 3 ) J N 2 ² max iv

5 UITWEKING 4 a) In dit geval gel het volgende vervangingsschema: V A (a) 1 V Als de stroom en de spanningsmeter ideaal zouden zijn, zou gelden I 1 2A, V 1V b) In werkelijkheid gel I A A, V I V + A c) De stroommeter wijst aan A, de spanningsmeter 1 V. (Gemeten waarde: 5.5 Ω). d) In dit geval gel het volgende vervangingsschema: A V B A (b) 1 V Als de stroom en de spanningsmeter ideaal zouden zijn, zou gelden I 1 2A, V 1V e) In werkelijkheid gel 1 1 eq,ab + 1 eq,ab V V V Ω I 1 A + eq,ab A V 1 I A 99. V I V 1.98 A f) De stroommeter wijst aan A, de spanningsmeter 99. V. (Gemeten waarde: Ω). v