Hoofdstuk 22 De Wet van Gauss

Transcriptie

1 Hoofdstuk 22 De Wet van Gauss Electrische Flux De Wet van Gauss Toepassingen van de Wet van Gauss Experimentele Basis van de Wetten van Gauss en Coulomb

2 22-1 Electrische Flux Electrische flux: Electrische flux door een oppervlakte is evenredig met het totale aantal veldlijnen dat door het oppervlak gaat.

3 22-1 Electrische Flux Voorbeeld 22-1: Electrische flux. Bereken de electrische flux door de rechthoek. De rechthoek omvat 10 cm bij 20 cm, het electrische veld is uniform, 200 N/C, en de hoek θ is 30. = EA cosθ = 200 x 0.1 x 0.2 x 0.87 = 3.5 Nm 2 /C Bestudeer (!): Inproduct

4 22-1 Electrische Flux Flux door een gesloten oppervlakte : Som over veldlijnen Oppervlakteintegraal

5 22-2 De Wet van Gauss Het netto aantal veldlijnen door een oppervlakte is evenredig met de lading die omsloten is, en met de flux, dit geeft de Wet van Gauss: Φ = Deze kan gebruikt worden om het elektrische veld te vinden in situaties met een hoge mate van symmetrie.

6 Voor een puntlading 22-2 De Wet van Gauss Daarom, Als we dit oplossen voor E, krijgen we het resultaat dat we verwachten van de wet van Coulomb : De Wet van Coulomb kan afgeleid worden uit de Wet van Gauss

7 22-2 De Wet van Gauss Als we Coulomb gebruiken om de integraal te berekenen van het veld van een puntlading over een oppervlakte van bol die de lading omvat: Als we kijken naar het willekeurig gevormde oppervlak A 2, dan zien we dat dezelfde flux erdoor heen gaat, als door A 1. Dus, is dit resultaat waar voor elk gesloten oppervlakte. Het maakt ook niet uit hoe de lading verdeeld is!!

8 22-2 De Wet van Gauss Als een Gaussische oppervlakte verscheidene puntladingen omvat, dan laat het superpositieprincipe zien dat : Dus is de Wet van Gauss toepasbaar voor elke ladingsverdeling. Maar, let op dat dit alleen slaat op het veld ten gevolge van ladingen binnen het oppervlak ladingen buiten het oppervlak zullen ook velden creeren. Ook: alleen handig toepasbaar als E-veld een symmetrie heeft.

9 22-2 De Wet van Gauss Conceptueel Voorbeeld 22-2: Flux volgens de wet van Gauss. Beschouw de twee gaussische oppervlakken, A 1 and A 2. De enige aanwezige lading is lading Q in het centrum van oppervlak A 1. Wat is de netto flux door elk oppervlak, A 1 and A 2?

10 Elektrische flux Welk van deze 4 Gaussische oppervlakken heeft een elektrische flux van +q/e door zich heen?

11 Elektrische flux Welk van deze 4 Gaussische oppervlakken heeft geen netto elektrische flux door zich heen?

12 Elektrische flux Gaussische oppervlakken A en B omvatten dezelfde positieve lading +Q. Het oppervlak van A is drie keer groter dan dat van B. De electrische flux door oppervlak A is A) negen keer groter dan de flux door oppervlak B. B) drie keer groter dan de flux door oppervlak B. C) even groot als de flux door oppervlak B. D) drie keer kleiner dan de flux door oppervlak B. E) onafhankelijk van de flux door oppervlak B.

13 22-3 Toepassingen van de Wet van Gauss Procedure voor dergelijke toepassingen: 1. Identificeer de symmetrie, en kies een zg. Gauss oppervlak dat daarbij hoort (bijv. langs oppervlakken van constant veld). 2. Teken het oppervlak. 3. Gebruik de symmetrie om richting van te bepalen. 4. Evalueer de flux door integratie. 5. Bereken de omvatte lading. 6. Los de vergelijking op voor.

14 22-3 Toepassingen van de Wet van Gauss Sferische geleider. Een dunne bol met straal r 0 bevat een totale netto lading Q die uniform verdeeld is. Bepaal het elektrische veld op de punten (a) buiten de bol (b) binnen de bol. (c) Wat als de geleider een massieve bol was geweest?

15 22-3 Toepassingen van de Wet van Gauss Sferische geleider. Bepaal het elektrische veld op de punten (a) buiten de bol Bewijs: Veld buiten bol lijkt op veld van puntlading

16 22-3 Toepassingen van de Wet van Gauss Sferische geleider. (b) binnen de bol. Binnen geladen bol geen veld

17 22-3 Toepassingen van de Wet van Gauss Bolvormige geleider. (c) Wat als de geleider een massieve bol was geweest? Beide resultaten hetzelfde. Op massieve bol zit lading ook op oppervlak

18 22-3 Toepassingen van de Wet van Gauss Bolvormige geleider. (d) Wat als de lading in het centrum had gestaan? Q 2) In de geleidende schil: (daartoe is ladingsscheiding in schil nodig) 3) Buiten de geleider

19 22-3 Toepassingen van de Wet van Gauss Bolvormige geleider. (d) Wat als de lading in het centrum staat? Q 2) In de geleidende schil: Beinvloedt de geleider het veld van Q? Beinvloedt Q de geleider? nee ja

20 22-3 Lading op Schil (e) Wat als we lading q in het midden hebben en Q op de schil? Q q Stel Q = -q E=0 buiten de schil

21 Wet van Gauss: niet geleidende bol Lading Q is uniform vedeeld over nietgeleidende bol met straal r 0. Bepaal het electrisch veld: (a) Buiten de bol (r > r 0 ) (b) Binnen de bol (r < r 0 ).

22 Wet van Gauss: niet geleidende bol (a) Buiten de bol (r > r 0 ) Geen verschil met geleider

23 Wet van Gauss: niet geleidende bol (a) Binnen de bol (r < r 0 ) Hoeveel lading wordt omvat? Gauss: 0 0 0

24 Niet-geleider met geleidende schil [Problem 22.39] Een niet-geleidende bol van straal r 0 heeft een uniforme ladingsdichtheid ρ E Daaromheen staat een holle geleider, met stralen r 1 en r 2 en lading Q. Bepaal het elektrische veld binnen de bol (r < r 0 ). Q

25 Niet-geleider met geleidende schil Hoe zou het E-veld eruit zien? Bolsymmetrie. Dus kunnen we gebruiken Q In alle gevallen: - Bolsymmetrie - Omvatte lading

26 Niet-geleider met geleidende schil Binnen de bol (A 2 ) Gebruik volumeladingsdichtheid ρ Q r 1 r 2

27 Niet-geleider met geleidende schil Dit impliceert Q encl =0 dus er moet lading Op binnenkant van schil worden geinduceerd!

28 Niet-geleider met geleidende schil

29 22-3 Wet van Gauss: Rechte draad Probleem Een heel lange rechte draad heeft een straal R 0. De ladingsdichtheid ρ hangt af van R: ρ E = ρ 0 (R/R 0 ) 2. Bereken het elektrische veld buiten de draad, ver van de uiteinden.

30 22-3 Wet van Gauss: Rechte draad Neem Gauss oppervlak met straal R, lengte l Definieer lading /lengte-eenheid: Veld E oppervlak da Voor wet van Gauss hebben we gesloten oppervlak nodig, dus neem deksels mee. Maar daar geldt: Veld E // oppervlak da Dus geen flux door deksel Alleen veld op ronde cylinderwand mee te nemen Veld in de draad ook te berekenen i.g.v. geleider of niet-geleider

31 22-3 Wet van Gauss: Geladen Plaat Voorbeeld 22-7: Oneindig vlak met lading. Lading is uniform verdeeld met een oppervlakte ladingsdichtheid σ (σ = lading per eenheid oppervlak = dq/da) over een heel grote maar heel dunne niet-geleidende plaat. Bepaal het elektrische veld op punten bij het vlak. Gauss oppervlak - groene cylinder

32 22-3 Wet van Gauss: Geladen Plaat Voorbeeld 22-7: Oneindig vlak met lading. Lading is uniform verdeeld met een oppervlakte ladingsdichtheid σ (σ = lading per eenheid oppervlak = dq/da) over een heel grote maar heel dunne niet-geleidende plaat. Bepaal het elektrische veld op punten bij het vlak.

33 22-3 Toepassingen van de Wet van Gauss Voorbeeld 22-8: Electrisch veld dichtbij een geleidend oppervlak. Laat zien dat het elektrische veld net buiten het oppervlak van elke goede geleider van willekeurige vorm gegeven wordt door E = σ/ε 0 Waar σ de oppervlakte ladingsdichtheid van de geleider is op dat punt. Merk op E=0 in geleider

34 22-3 Toepassingen van de Wet van Gauss Het verschil tussen een elektrisch veld buiten een geleidende, geladen plaat en buiten een niet-geleidende plaat kan op twee manieren uitgelegd worden: 1. Het veld in de geleider is nul, dus de flux is allemaal door een eind van de cilinder. 2. De niet-geleidende plaat heeft een totale ladinsgdichtheid σ, terwijl de geleidende plaat een ladingsdichtheid σ heeft aan elke kant, en dus effektief tweemaal ladingsdichtheid. Definitie van σ

35 Lading binnenkant van geleider? Gauss oppervlak als groene lijn: E=0 want binnen geleider. Dus geen flux, dus geen lading.

36 Lading in cavity Conceptueel Voorbeeld 22-9: Geleider met een lading binnenin. Veronderstel dat een geleider een netto lading draagt van +Q en een holte bevat met daarin een puntlading +q. Wat kun je zeggen over de ladingen aan de binnen en buitenkant van de geleider?

37 Samenvatting Hoofdstuk 22 Electrisch flux: Wet van Gauss: Wet van Gauss kan worden toegepast om E-veld te berekenen, vooral in situaties van symmetrie. Wet van Gauss houdt onder alle omstandigheden en is daarom, en is daarom meer algemeen dan de Wet van Coulomb (ook voor bewegende ladingen).

38 22-4 Experimentele Basis voor Wetten van Gauss en Coulomb De wet van Gauss voorspelt dat de lading op de bal vloeit naar het oppervlak van de cylinder als ze in contact komen. Dit kan getest worden door de lading te meten op de bal nadat die wordt verwijderd die moet dan 0 zijn.