TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 14 april 2011 van 9u00-12u00

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 4 april 20 van 9u00-2u00 Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven met elk 3 onderdelen. Voor elk correct beantwoord onderdeel worden 6 punten toegekend. Het tentamencijfer wordt bepaald door het totaal van de toegekende punten te delen door 9 en daarna af te ronden. Beschouw de constanten ɛ 0, µ 0 en c bij alle opgaven als gegeven. Maak steeds voldoende duidelijk waar een antwoord op gebaseerd is. Beantwoord de vragen waar mogelijk in korte maar lopende zinnen. Het gebruik van het boek, een eigen formuleblad, een grafische rekenmachine of een computer is niet toegestaan. Het standaard formuleblad is te vinden op de laatste twee pagina s van deze set opgaven. De voorlopige cijfers worden bekend gemaakt in de folder van het vak 3NC30 op Studyweb. Maak per een afspraak met de docent om het tentamen te bespreken (e.j.d.vredenbregt@tue.nl).. a. Een bol met straal R heeft een polarisatie P(r) = k r (in bolcoördinaten) waarin k een constante is. Het centrum van de bol valt samen met de oorsprong van het coördinatenstelsel. Bereken de gebonden ruimteladingsdichtheid en de gebonden oppervlakteladingsdichtheid. Laat zien dat de bol als geheel netto geen gebonden lading bevat. b. Gegeven is een magnetische vectorpotentiaal A(r) = k ˆφˆφˆφ (in cilindercoördinaten) waarin k een constante is. Bereken de bijbehorende stroomdichtheid. c. Laat zien dat uit de wet van Coulomb in de vorm E(r) = ρ(r ) ˆrˆrˆr dτ de wet van 4πɛ 2 0 V r Gauss volgt.

2 2. Een ladingsverdeling bestaat uit drie puntladingen: () een lading 3q op positie aẑ, (2) een lading 2q op positie aŷ, (3) een lading 2q op positie aŷ. Hierin zijn a en q constanten. a. Bereken de arbeid die nodig was om deze ladingsverdeling op te bouwen. b. Schrijf in bolcoördinaten de belangrijkste twee termen op van de multipool-benadering van de elektrostatische potentiaal. Nu wordt een dikke, geleidende bolschil om de ladingsverdeling aangebracht. Het centrum van de bolschil valt samen met de oorsprong van het coördinatenstelsel. De stralen van binnenen buitenoppervlak van de bolschil zijn 3a en 4a. c. De aanwezigheid van de puntladingen geeft aanleiding tot een geïnduceerde ladingsverdeling in de geleider. Beschrijf in woorden hoe die geïnduceeerde ladingsverdeling eruit ziet (ga in op grootte, teken, plaats en homogeniteit) en maak duidelijk uit welke wetten of principes dit volgt. Geef tenslotte een uitdrukking voor de elektrostatische potentiaal in de ruimte buiten de geleider. 3. In een lege ruimte heerst een uniform elektrisch veld E(r) = E 0 ẑ. In deze ruimte wordt vervolgens een ongeladen, metalen bol met straal R geplaatst. De elektrostatische potentiaal V (r) in de ruimte buiten de bol kan in bolcoördinaten worden geschreven als V (r) = l=0 ( A l r l + B l /r l+) P l (cos θ) waarin P l (x) = ( ) d l 2 l (x 2 ) l en P l (x)p m (x) dx = δ lm /(l + l! dx 2 ). a. Schrijf alle randvoorwaarden op waar V (r) aan moet voldoen. b. Laat zien dat A l = B l = 0 voor alle l. Laat zien dat A = E 0 en B = E 0 R 3. c. Bereken de oppervlakteladingsdichtheid op de bol en het dipoolmoment van de bol ten opzichte van het centrum van de bol. 2

3 4. Een toroidale spoel is volledig gevuld met een niet-geleidend, lineair en homogeen, magnetisch materiaal met magnetische permeabiliteit µ (zie figuur (a)). De hartlijn van de toroide heeft lengte L, en de doorsnede van het vulmateriaal loodrecht op de hartlijn is cirkelvormig met een diameter a die verwaarloosbaar klein is ten opzichte van L (a L). Het totaal aantal windingen van de spoel is N ; de stroom door de spoel heeft grootte I 0 en een richting zoals aangegeven in de figuur. In de ruimte heerst verder een tijdsafhankelijk elektrisch veld gegeven door E(r, t) = C t ẑ waarin C een positieve constante is en t de tijd. a. Bereken de magnetische velden B en H en de magnetisatie M binnen de spoel. Maak daarbij duidelijk op welke wetten of principes de berekeningen gebaseerd zijn. b. Bereken de grootte van de gebonden volume- en oppervlaktestroomdichtheden en geef duidelijk hun richting aan. Neem voor het vervolg van deze opgave aan dat C = 0 (d.w.z. dat er geen elektrisch veld aanwezig is). Van het magnetische materiaal waarmee de spoel gevuld is wordt nu een dun plakje ter dikte w a verwijderd zoals getekend in figuur (b). c. Beredeneer welke van de magnetische velden B en/of H continu is bij het over de hartlijn passeren van het oppervlak van het vulmateriaal. Druk vervolgens de grootte van het nieuwe magnetische veld B n ter plekke van het verwijderde stukje uit in de grootte van het magnetische veld B dat daar gold voordat het plakje materiaal werd verwijderd. 3

4 5. Een vlakke elektromagnetische golf beweegt in een vacuum. Het magnetische veld B(r, t) van de golf is gegeven door B(r, t) = R{ B 0 e i(kz ωt) } waarin R{ } het reële deel voorstelt en B 0 een complexe amplitudevector is. a. Leid uit de vergelijkingen van Maxwell een golfvergelijking voor het magnetische veld af, en bepaal daarmee de voortplantingssnelheid van de gegeven golf. b. Laat zien dat uit de wetten van Maxwell volgt dat het magnetische veld transversaal is. Neem vervolgens aan dat B 0 alleen een x-component heeft. Gebruik dan de wetten van Maxwell om het elektrische veld van de golf te berekenen. c. Laat zien dat voldaan is aan de wet van behoud van impuls. De elementen T ij van de bij de berekening benodigde stress-tensor T zijn gegeven door. T ij = ɛ 0 (E i E j 2 E2 δ ij ) + µ 0 (B i B j 2 B2 δ ij ) EINDE 4

5 FORMULEBLAD 3NC30: E&M3 Vectoridentiteiten A (B C) = B (C A) = C (A B) A (B C) = B(A C) C(A B) (fg) = f( g) + g( f) (A B) = A ( B) + B ( A) + (A )B + (B )A (fa) = f( A) + A ( f) (A B) = B ( A) A ( B) (fa) = f( A) + ( f) A (A B) = (B )A (A )B + A( B) B( A) ( A) = 0 ( f) = 0 ( A) = ( A) 2 A Coördinatenstelsels Cilindercoördinaten: x = s cos φ y = s sin φ z = z s = x 2 + y 2 φ = arctan(y/x) z = z ˆx = cos φ ŝ sin φ ˆφˆφˆφ ŷ = sin φ ŝ + cos φ ˆφˆφˆφ ẑ = ẑ ŝ = cos φ ˆx + sin φ ŷ ˆφˆφˆφ = sin φ ˆx + cos φ ŷ ẑ = ẑ Bolcoördinaten: x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ r = x 2 + y 2 + z 2 θ = arctan ( x 2 + y 2 /z) φ = arctan (y/x) ˆx = sin θ cos φ ˆr + cos θ cos φ ˆθˆθˆθ sin φ ˆφˆφˆφ ŷ = sin θ sin φ ˆr + cos θ sin φ ˆθˆθˆθ + cos φ ˆφˆφˆφ ẑ = cos θ ˆr sin θ ˆθˆθˆθ ˆr = sin θ cos φ ˆx + sin θ sin φ ŷ + cos θ ẑ ˆθˆθˆθ = cos θ cos φ ˆx + cos θ sin φ ŷ sin θ ẑ ˆφˆφˆφ = sin φ ˆx + cos φ ŷ 5

6 Gradiënt, divergentie, rotatie, Laplaciaan in Cartesische coördinaten: dl = dx ˆx + dy ŷ + dz ẑ, dτ = dx dy dz f = f x ˆx + f y ŷ + f z ẑ v = v x x + v y y + v z z v = [ vz y v ] [ y vx ˆx + z z v ] [ z vy ŷ + x x v ] x ẑ y 2 f = 2 f x f y f z 2 in cilindercoördinaten: dl = ds ŝ + s dφ ˆφˆφˆφ + dz ẑ, dτ = s ds dφ dz f = f s ŝ + f s φ ˆφˆφˆφ f + z ẑ v = s v = 2 f = s s (sv s) + v φ s φ + v z z [ v z s φ v ] [ φ vs ŝ + z z v ] [ z ˆφˆφˆφ + s s ( s f ) + 2 f s s s 2 φ f z 2 s (sv φ) s in bolcoördinaten: dl = dr ˆr + r dθ ˆθˆθˆθ + r sin θ dφ ˆφˆφˆφ, dτ = r 2 sin θ dr dθ dφ f = f r ˆr + f r θ ˆθˆθˆθ f + r sin θ φ ˆφˆφˆφ v = r 2 r (r2 v r ) + r sin θ θ (v θ sin θ) + v φ r sin θ φ v = [ r sin θ [ + r sin θ θ (v φ sin θ) r sin θ v r φ r 2 f = ( r 2 r 2 f ) + r r ] v θ ˆr φ ] [ r (rv φ) ˆθˆθˆθ + r r 2 sin θ r (rv θ) r ( sin θ f ) + θ θ ] v r ˆφˆφˆφ θ 2 f r 2 sin 2 θ φ 2 ] v s ẑ φ 6

7 . a. Gebruik ρ b = P = 3k en σ b = P ˆn = kr. Dan Q b = σ b da + ρ b dτ = 0. S V b. Gebruik B = A en B = µ 0 J. Daarmee J = (k/µ 0 s 2 )ˆφˆφˆφ. c. Zie boek sectie blz a. Gebruik W = 2 i,j i 4πɛ q iq j /rij = (2 6 2) q2 0 4πɛ a. 0 b. Monopool Q = i q i = q, dipool p = q i r i = 3aqẑ. Monopool-term V 0 = Q/r = 4πɛ 0 q 4πɛ r, dipool-term V = ˆr p/r 2 = 3aq cos θ. 0 4πɛ 0 4πɛ r 2 0 c. De geleider is een equipotentiaaloppervlak. Uit Gauss volgt dan dat alle lading op de oppervlakken zit, en dat op de binnenmantel netto evenveel lading zit als de som van de puntladingen (maar met tegengesteld teken); op de binnenmantel is de lading niet homogeen verdeeld, maar steeds zo dat het elektrische veld op de binnenmantel loodrecht op het oppervlak staat. De totale lading op de buitenmantel is gelijk aan q; omdat het veld van alle overige lading samen in de geleider (en ook daarbuiten) nul is, is de lading op de buitenmantel homogeen verdeeld. Buiten de geleider geldt daarom V (r) = ( q/r). 4πɛ 0 3. a. () V moet overal op de bol dezelfde waarde hebben (2) V moet continu zijn bij passage van het boloppervlak; (3) V E 0 r cos θ + C als r. b. Kies C=0; dan is ook V = 0 op de bol want vanwege symmetrie staat E overal loodrecht op het XY -vlak. Vanwege RVW(3) is duidelijk dat A l = 0 voor l >. Uit RVW() en orthogonaliteit van de Legendre-polynomen volgt B l = A l R 2l+ dus dan ook B l = 0 voor l >. Vanwege RVW(3) en C = 0 is A 0 = 0 dus ook B 0 = 0; en A = E 0 en dan is B = E 0 R 3. V (R) c. Uit Gauss op oppervlak bol volgt σ(r) = ɛ 0 E(R) ˆn = ɛ 0 r = 3ɛ 0 E 0 cos θ. Dipoolmoment wordt p = σ(r)r da = 4πɛ 0 E 0 R 3 ẑ. S 4. a. H kan worden berekend uit de vrije stroom en de tijdsafgeleide van het elektrisch veld met Ampere in integraalvorm: H dl = I f,omsl + ɛ 0 E da. Vanwege de schaal van L t S de afmetingen is H constant over de doorsnede van de spoel; vanwege symmetrie staat H langs de hartlijn. Binnen de spoel geldt H = ( NI/L+ɛ 0 CπR 2 /L)ˆφˆφˆφ, waarbij R = L/2π. Het vulmateriaal is lineair dus M = χ m H = (µ/µ 0 )H en B = µ 0 (H + M) = µh. b. Gebonden volumestroom J b = M = (M/R)ẑ, gebonden oppervlaktestroom K b = M ˆn. De grootte van K b is dan M en de richting is parallel aan de vrije stroom, d.w.z. een kringstroom die overal loodrecht op de hartlijn staat. c. Nog steeds geldt H dl = I f,omsl maar H is nu niet overal op de hartlijn even groot: L omdat M = H 0 op de doorsnede waar de vulling is verwijderd, is H daar niet continu. Anderzijds is wel B = 0 dus B is daar wel continu. In het materiaal is dan H = B n /µ, in de spleet H = B n /µ 0. Dan volgt uit Ampere voor H dat (B n /µ)(l w) + (B n /µ 0 )w = NI dus B n = NI/{(L w)/µ + w/µ 0 } = B/{ + (µ/µ 0 )w/l}. 5. a. Zie boek sectie 9.2. blz b. Zie boek sectie blz Uit B = 0 volgt dat de z-component van B 0 nul moet zijn. Als B Ẽ 0 alleen een x-component heeft, dan volgt uit Ampere dat ɛ 0 µ 0 t = B x z ŷ dus Ẽ = c B 0 e i(kz ωt) ŷ.

8 c. Behoud van impuls: pem t T = 0. Impulsdichtheid p em = ɛ 0 E B = ɛ 0 cb 2 ẑ, dus p em t = ɛ 0 c B2 t ẑ ɛ 0 E T = B2 0 0 = B µ µ Dan T = B 2 µ 0 z ẑ. Impuls is dus behouden als B µ 0 z volgt dat dit zo is. = ɛ 0c B t en bij uitwerken 2