3. Beschouw een zeer goede thermische geleider ( k ) in de vorm van een cilinder met lengte L en straal a

Transcriptie

1 1. Op een vierkantig substraat bevinden zich 4 IC s (warmtebronnen), zoals op de bijgevoegde figuur. Als een van de warmtebronnen een vermogen van 1W dissipeert als warmte (en de andere geen vermogen dissiperen), is de temperatuur van deze warmtebron 50 C, van de twee warmtebronnen ernaast 30 C, en van de warmtebron er schuin tegenover 20 C (deze temperaturen duiden het verschil met de omgevingstemperatuur aan). a. Wat zijn de temperaturen van de IC s als die linksboven 2 W en die rechtsboven 1 W dissipeert? b. Stel dat we het substraat verticaal in twee gelijke delen knippen (er blijven dus twee IC s over). Wat is dan de temperatuur van het onderste substraat als het bovenste 1 W dissipeert? 2. Beschouw bijgevoegde figuur (die zowel voor- als zijaanzicht voorstelt): het ondervlak van een kubus uit een materiaal met thermische geleidingscoëfficiënt k is een warmtebron die een vermogen (per oppervlakte-eenheid) p dissipeert. Alle vlakken, buiten het bovenvlak, zijn geïsoleerd. Het bovenvlak wordt convectief gekoeld (convectiecoëfficiënt h ). Wat is de temperatuur (ten opzichte van de omgeving), in functie van de plaats in de kubus?

2 3. Beschouw een zeer goede thermische geleider ( k ) in de vorm van een cilinder met lengte L en straal a 1. Rond deze geleider zit een cilindrische mantel met dezelfde lengte en straal a 2, bestaande uit een materiaal met thermische geleidingscoëfficiënt k. De kern is eveneens een (nietoneindig goede) elektrische geleider, waarover een dc-spanning V staat en waardoor een dcstroom I loopt. De mantel wordt langs de buitenkant convectief gekoeld (convectie-coëfficiënt h ). De warmteafvoer langs de twee platte zijvlakken is te verwaarlozen. Wat is de temperatuur (ten opzichte van de omgeving), in functie van de plaats in de kern en in de mantel? 4. Een warmtebron in de vorm van een bol met straal a dissipeert een vermogen P. De bol bevindt zich in een (oneindig uitgestrekt) materiaal met thermische geleidingscoëfficiënt k. Wat is de temperatuur (ten opzichte van oneindig), in functie van de plaats in het materiaal? 5. Beschouw bijgevoegde figuur (boven- en zijaanzicht): een schijfvormige warmtebron (straal a ) bevindt zich op het grensvlak van een half-oneindig uitgestrekt materiaal met thermische geleidingscoëfficiënt k, en dissipeert een vermogen p per oppervlakte eenheid. De warmte wordt volledig afgevoerd in het materiaal (de bovenkant is geïsoleerd). Wat is de temperatuur (ten opzichte van de omgeving), in het midden van de schijf?

3 6. Een lijnvormige warmtebron, die een vermogen p per lengte-eenheid dissipeert, bevindt zich in een materiaal met thermische geleidingscoëfficiënt k, en loopt parallel met een vlak dat op temperatuur T 0 wordt gehouden. De afstand tussen de lijn en het vlak is a. Wat is de temperatuur (ten opzichte van de omgeving), in functie van de plaats in het materiaal? 7. Een lijnvormige warmtebron, die een vermogen p per lengte-eenheid dissipeert, bevindt zich in een materiaal met thermische geleidingscoëfficiënt k, en loopt parallel met aan de ene kant een vlak dat op omgevingstemperatuur wordt gehouden, en aan de andere kant een vlak dat isolerend is. De afstand tussen de lijn en beide vlakken is a. Wat is de temperatuur (ten opzichte van de omgeving), in functie van de plaats in het materiaal? Je mag het resultaat uitderukken als een oneindige som. 8. Beschouw bijgevoegde figuur (boven- en zijaanzicht): een vierkantige warmtebron (zijde a ) bevindt zich op het grensvlak van een half-oneindig uitgestrekt materiaal met thermische geleidingscoëfficiënt k, en dissipeert een vermogen p per oppervlakte eenheid. De warmte wordt volledig afgevoerd in het materiaal (de bovenkant is geïsoleerd). Wat is de temperatuur (ten opzichte van de omgeving), in de hoekpunten van het vierkant? 9. Een plaat met dikte d, breedte b (die je oneindig mag veronderstellen), en lengte a, met d b en d a, bestaat uit een materiaal met thermische geleidingscoëfficiënt k. De twee grote zijvlakken worden convectief gekoeld (convectie-coëfficiënt h ). Op een van de dunne zijvlakken dissipeert een warmtebron een vermogen P, het dunne zijvlak daartegenover wordt op omgevingstemperatuur gehouden. Wat is de temperatuur (ten opzichte van de omgeving), in functie van de plaats in het materiaal? 10. Een plaat met dikte d, breedte b (die je oneindig mag veronderstellen), en lengte a, met d b en d a, bestaat uit een materiaal met thermische geleidingscoëfficiënt k. De twee grote zijvlakken worden convectief gekoeld (convectie-coëfficiënt h ). Op een van de dunne zijvlakken dissipeert een warmtebron een vermogen P, het dunne zijvlak daartegenover is geïsoleerd. Wat is de temperatuur (ten opzichte van de omgeving), in functie van de plaats in het materiaal?

4 11. Op de kruising van 3 platen (zie onderstaande figuur, met d b en d a), bevindt zich een warmtebron die een vermogen P (in Watt) dissipeert. De platen zijn gemaakt uit een materiaal met thermische geleidingscoëfficiënt k, en worden langs alle brede zijvlakken convectief gekoeld (convectie-coëfficiënt h ). De warmte-afvoer langs de smalle zijvlakken is te verwaarlozen. Bereken de temperatuur in functie van de positie in de lange plaat. 12. Een plaat met breedte b (die je oneindig mag veronderstellen) en lengte a heeft een dikte d x die varieert langs de lengte van de plaat, maar waarvoor overal geldt d x b en d x plaat bestaat uit een materiaal met thermische geleidingscoëfficiënt k. De twee grote zijvlakken worden convectief gekoeld (convectie-coëfficiënt h ). Wat is de differentiaalvergelijking die de temperatuur in de plaat beschrijft? 13. Een plaat bestaat uit een materiaal met thermische geleidingscoëfficiënt k. De twee grote zijvlakken worden convectief gekoeld (convectie-coëfficiënt h ). De plaat heeft breedte b (die je 2 oneindig mag veronderstellen) en een plaatsafhankelijke dikte d x d0 x L 0, met L0 kd0 2h, waarvoor geldt d0 b en d0 L 0. De temperatuurvariaties in de plaat hebben de vorm T x (dit is de algemene oplossing van de relevante differentiaalvergelijking). Bepaal. a. De 14. Een cilinder bestaat uit een materiaal met thermische geleidingscoëfficiënt k, heeft lengte L en straal R L, en wordt convectief gekoeld. Wat is de differentiaalvergelijking die de temperatuur in de cilinder beschrijft? 15. Twee (oneindig lange) rechthoekige platen (die zich gedragen als Lambertiaanse stralers) met breedte b wisselen enkel warmte uit door straling. De platen raken elkaar aan één kant en maken een hoek ten opzichte van elkaar. Wat is de geometriefactor tussen de platen? 16. Drie (oneindig lange) rechthoekige platen (die zich gedragen als Lambertiaanse stralers) met breedtes b 1, b 2 en b 3 wisselen enkel warmte uit door straling. De platen raken elkaar zodanig dat de doorsnede een driehoek is. Wat zijn de geometriefactoren tussen de platen?

5 17. Twee (oneindig lange) rechthoekige platen (die zich gedragen als Lambertiaanse stralers) wisselen enkel warmte uit door straling. De structuur wordt beschreven in bijgevoegde figuur, die oneindig uitgestrekt is in de richting loodrecht op het vlak van de figuur: zowel de breedte van de platen, als de loodrechte afstand tussen de platen, is gelijk aan a. Wat is de geometriefactor voor warmtestraling van oppervlak 1 naar oppervlak 2 (waarbij als oppervlak slechts één kant van de platen bedoeld wordt, de andere kant wordt perfect geïsoleerd verondersteld)? Stel: oppervlak 1 is een warmtebron, waardoor er een klein temperatuursverschil T1 is tussen de plaat en de omgeving (die zich op kamertemperatuur bevindt). Wat is dan het temperatuursverschil T2 tussen oppervlak 2 en de omgeving? 18. Twee (NIET oneindig lange) evenwijdige rechthoekige platen (die zich gedragen als Lambertiaanse stralers) met zijdes a en b, en onderlinge afstand d, wisselen enkel warmte uit door straling. De platen bevinden zich recht tegenover elkaar. Schrijf de geometriefactor op als een integraal (die je niet hoeft uit te rekenen). 19. Twee loodrechte rechthoekige platen (die zich gedragen als Lambertiaanse stralers) met zijdes a en b, wisselen enkel warmte uit door straling. Schrijf de geometriefactor op als een integraal (die je niet hoeft uit te rekenen).

6 20. Bewijs, voor de geometrie van onderstaande figuur, dat S1F14 S2F 23 (waarbij S voor de respectievelijke oppervlaktes staat en F voor de geometriefactoren). 21. Bewijs, voor de geometrie van onderstaande figuur, dat S1F14 S2F 23 (waarbij S voor de respectievelijke oppervlaktes staat en F voor de geometriefactoren). 22. Bereken de geometriefactor tussen de vlakken 1 en 2 in bijgevoegde figuur (je kan alle relevante afmetingen zelf een naam geven). Je mag er hierbij van uitgaan dat je de geometriefactor uit oefening 18 kent, voor alle a, b en d. 23. Bereken de geometriefactor tussen de vlakken 1 en 2 in bijgevoegde figuur (je kan alle relevante afmetingen zelf een naam geven). Je mag er hierbij van uitgaan dat je de geometriefactor uit oefening 19 kent, voor alle a en b.

7 24. Tussen twee oneindige vlakken met onderlinge afstand a stroomt een vloeistof met dichtheid, viscositeit, warmtegeleidingscoëfficiënt k en specifieke warmte C V. In het midden tussen de platen wordt de snelheid van de vloeistof op v 0 gehouden. Bereken de vloeistofsnelheid overal in de buis. Welk drukverschil (per lengte-eenheid) is nodig om deze snelheid te onderhouden? 25. Aan de rand van een half-oneindige ruimte bestaande uit een materiaal met warmtegeleidingscoëfficiënt k en specifieke warmte C, wordt op t 0 een warmtebron aangeschakeld die een vermogen P dissipeert. Bereken de temperatuur in functie van de plaats en de tijd. 26. Beschouw bijgevoegde figuur (die zowel voor- als zijaanzicht voorstelt): het ondervlak van een kubus uit een materiaal met thermische geleidingscoëfficiënt k en specifieke warmte C, is een warmtebron die een vermogen (per oppervlakte-eenheid) p dissipeert, en op t 0 plots afgeschakeld wordt. Alle vlakken, buiten het bovenvlak, zijn geïsoleerd. Het bovenvlak wordt V V convectief gekoeld (convectiecoëfficiënt h ). Wat is de temperatuur (ten opzichte van de omgeving), in functie van de plaats en de tijd in de kubus? 27. Een plaat met zeer kleine dikte d, oneindige breedte en half-oneindige ( x 0 ) lengte, bestaat uit een materiaal met thermische geleidingscoëfficiënt k en specifieke warmte C. De twee grote zijvlakken worden convectief gekoeld (convectie-coëfficiënt h ). Op een van de dunne zijvlakken dissipeert een warmtebron een vermogen per oppervlakte-eenheid, dat 0 is voor t 0 en dan lineair toeneemt tot het op t t 0 gelijk wordt aan p 0, waarna het constant blijft. Wat is de temperatuur (ten opzichte van de omgeving), in functie van de tijd en de plaats in het materiaal? 28. Een schakeling bestaat uit een weerstand R 1 die temperatuurafhankelijk is in serie met een weerstand R 2 die constant blijft. De weerstand R1 is te verwaarlozen ten opzicht van R 2, zodat je V

8 de dissipatie in R 1 mag verwaarlozen. Aan de serieschakeling ligt een constante spanning V. De thermische weerstand tussen beide weerstanden is R th. Los het netwerk op. 29. Twee temperatuurafhankelijke weerstanden R 1 en R2 2R 1 staan in serie, zodanig dat (bij de referentietemperatuur) de spanning over R 1 een derde is van de totale spanning over de serieschakeling. Weerstand R 1 staat aan een uiteinde van een plaat met dikte d en breedte b, en weerstand R 2 staat er op een afstand a van, met d b en d a. De plaat loopt nog verder door na de tweede weerstand. De plaat bestaat uit een materiaal met thermische geleidingscoëfficiënt k. De twee grote zijvlakken worden convectief gekoeld (convectie-coëfficiënt h ). Hoe lang moet de plaat zijn om er voor te zorgen dat de spanning over R 1 een derde is van de totale spanning over de serieschakeling, voor elke temperatuur? 30. Aan de basis van een bipolaire transistor ligt een spanning V. De collectorstroom wordt gegeven door 3 E exp G qv I CT exp. Stel de vergelijkingen op voor klein signaal analyse als aan de kt kt collector een constante spanning V CE wordt aangelegd. De basisstroom mag verwaarloosd worden.