TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

Transcriptie

1 TECHNICHE UNIVERITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functies van meer variabelen (DE6) op maandag augustus 5, uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk opgeschreven te worden. Bovendien dient U in alle gevallen uw antwoord te beargumenteren! Een niet-grafische rekenmachine is toegestaan.. Beschouw de functie f gegeven door: f(x,y) x cos(xy) y +. Bereken de vergelijking van het raakvlak in het punt (,, ) aan de grafiek van de functie f.. Bereken de lijnintegraal: xy 3 ds. Hierbij is de doorsnijdingskromme van de bol x + y + z enhetvlakz x. 3. Bereken y da. Hier is het gebied gegeven door: { } (x, y) x + y, x + y 4, x, y. 4. Definieer de functie f(x,y) door: sin x als sin x + cos y, f(x,y) sin x+cos y als sin x + cos y. Is de functie f continu in (, π )? Beargumenteer uw antwoord! 5. De functie f : R R is gedefinieerd door: f(x,y) x ln(x + y + ). Bereken de richtingsafgeleide in het punt (, ) in de richting (, ). z.o.z.

2 Tentamen Functies van meer variabelen (DE6) op maandag augustus 5, uur. 6. Gegeven het gebied alsdedoorsnedevanhetinwendigevandecylinder x + y x en het gebied z y. Bereken: y dv. 7. Zij het deel van de bol x + y + z dat in het eerste octant (x,y,z ) ligt, met een normaalvector die naar boven wijst. Zij F het vectorveld gegeven door z F(x, y, z) x. x Bereken de flux door het oppervlak als gevolg van het vectorveld F, d.w.z. F d. 8. Bereken de volgende integraal: x sin((y ) ) x dydx Hint: het is verstandig de integratievolgorde te verwisselen! Voor de vraagstukken kunnen de volgende aantallen punten worden behaald: Vraagstuk. 6 punten Vraagstuk. 7 punten Vraagstuk 3. 7 punten Vraagstuk 4. 4 punten Vraagstuk 5. 4 punten Vraagstuk 6. 8 punten Vraagstuk 7. 8 punten Vraagstuk 8. 6 punten Het cijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 5 te delen.

3 TECHNICHE UNIVERITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van meer variabelen (DE6) op maandag augustus 5, uur.. Beschouw de functie f gegeven door: f(x,y) x cos(xy) y +. Bereken de vergelijking van het raakvlak in het punt (,, ) aan de grafiek van de functie f. We hebben: x cos(xy) y + xy sin(xy) y, + xy cos(xy) y (y + ) x sin(xy) y. + We vinden: (, ), x (, ). y De vergelijking van het raakvlak wordt dus gegeven door: z (x ) + (y ), of z x.. Bereken de lijnintegraal: xy 3 ds. Hierbij is de doorsnijdingskromme van de bol x +y +z enhetvlakz x. Als we z x invullen in de vergelijking voor de bol krijgen we x + y. De parameterisatie ligt voor de hand omdat x en y op een ellips liggen: x cosθ, y sin θ, z cosθ. met θ π. Dangeldt: ( ) x ( ) y ( θ + θ + z θ) sin θ + cos θ + sin θ.

4 We krijgen: xy 3 ds π cosθ sin 3 θ dθ We gebruiken de substitutie p sin θ met en vinden: dp cos θ dθ p 3 dp. 3. Bereken y da. Hier is het gebied gegeven door: { } (x, y) x + y, x + y 4, x, y. We hebben y x 4 y De bovengrens moet natuurlijk altijd groter zijn dan de ondergrens dus we moeten verifiëren dat: y 4 y Hieruit volgt dat y. Als we gebruiken dat x eny vindenwe: y x 4 y We vinden dat: y da 4 y ydxdy. y De binnenste integraal integreren levert op: y 4 y y y dy. en we krijgen: y 4 y dy y y dy. Voor de eerste integraal gebruiken we de substitutie z 4 y en voor de tweede integraal gebruiken we de substitutie v y. Dit resulteert in: 4 zdz 4 en dit is gelijk aan: [ 6 z3/] [ 4 vdv. 3 v3/] 3 ( ).

5 4. Definieer de functie f(x,y) door: sin x als sin x + cos y, f(x,y) sin x+cos y als sin x + cos y. Is de functie f continu in (, π )? Beargumenteer uw antwoord! Merk op dat (x, y) (, π ) betekent (v, w) (, ) met v sin x en w cosy. We vinden lim (x,y) (, π ) sin x sin x + cos y lim (v,w) (,) v v + w. Voor deze laatste limiet gaan we kijken wat er gebeurt als we langs de lijn w av naar (, ) gaan voor verschillende waarden van a. We krijgen: lim v wav v v + w lim v v v + a v + a. Voor continuïteit moet deze limiet opleveren. Dit is niet het geval dus de functie is niet continu. Een alternatief is om langs de lijn y ax + π naar (, π ) telopenenwekrijgendan: lim x yax+ π sin x sin x + cos y lim x Deze laatste limiet levert op: + a sin x sin x + cos (ax + π ) lim x sin x sin x + sin (ax) en dit laat ook zien dat de functie niet continu is. Deze laatste limiet kun je berekenen via l Hôpital of via de standaardlimieten: sin x sin(ax) lim, lim a. x x x x 5. De functie f : R R is gedefinieerd door: f(x,y) x ln(x + y + ). Bereken de richtingsafgeleide in het punt (, ) in de richting (, ). We hebben: x ln(x + y x + ) + x + y +, y xy x + y +, en de gradiëntvector in (, ) is dus gelijk aan ( + ln, ). 3

6 De richtingsafgeleide is het inproduct van de gradiëntvector met de richting maar dan moet die richtingsvector wel lengte hebben. In ons geval is de lengte van de richtingsvector gelijk aan: + en de richtingsvector met lengte is dus gelijk aan: (, ). Het inproduct hiervan met de gradiëntvector levert op: ( + ln + ) ( + ln ), en de richtingsafgeleide is dus + ln. 6. Gegeven het gebied alsdedoorsnedevanhetinwendigevandecylinder x + y x en het gebied z y. Bereken: y dv. De vergelijking voor het inwendige van de cylinder kan beschreven worden door: (x ) + y hetgeen suggereert om een verschoven parameterisatie in de vorm van cylindercoordinaten te gebruiken: x + r cos θ, y r sin θ, z z Uit y z volgt y en dus moeten we hebben dat θ [,π]. Uit de vergelijking voor de cylinder volgt r.totslotvindenweuity z dat: y z y De correctieterm r voor cylindercoördinaten moeten we natuurlijk niet vergeten. Dit levert op: π y y dv r ydzdr dθ 4 3 y π r sin θ π π r sin θ r sin θdr dθ 3 sin θdθ [ 3 cos θ ] π r r sin θdzdr dθ 4

7 7. Zij het deel van de bol x +y +z dat in het eerste octant (x,y,z ) ligt, met een normaalvector die naar boven wijst. Zij F het vectorveld gegeven door z F(x, y, z) x. x Bereken de flux door het oppervlak als gevolg van het vectorveld F, d.w.z. F d. Om de rand van de bol te parameteriseren gebruiken we bolcoördinaten: x cos θ sin ϕ, y sin θ sin ϕ, x cos ϕ. Uit het feit dat we alleen het eerste octant bekijken volgt dat: θ π, ϕ π Weberekenennudenormaal: x θ x cos θ sin ϕ ϕ sin θ sin ϕ sin ϕ cos ϕ We willen de normaal naar boven laten wijzen en voegen dus een teken toe. krijgen: π/ π/ cos ϕ cos θ sin ϕ cos θ sin ϕ sin θ sin ϕ dθdϕ cos θ sin ϕ sin ϕ cos ϕ We Dit levert op: π/ π/ cos θ sin θ sin 3 ϕ dθdϕ De substitutie v cos θ resulteert in: π/ π/ π/ π/ sin(θ) sin ϕ( cos ϕ) dθdϕ [ ] π/ 4 cos(θ)sin ϕ( cos ϕ) dϕ sin ϕ( cos ϕ) dϕ ( v ) dv [v 3 v3] Bereken de volgende integraal: x sin((y ) ) x dydx Hint: het is verstandig de integratievolgorde te verwisselen! 5

8 De grenzen leveren op: y 4 4x, y, x en dit kan worden herschreven als: x 4 y, y De integraal is dus gelijk aan: y /4 sin((y ) ) x dxdy Dit levert op [ x sin((y ) ) ] y /4 x De substitutie z (y ) levert dan op: 4 sin zdz ( cos 4). dy (y ) sin((y ) )dy 6