Relevante vragen , eerste examenperiode

Transcriptie

1 Relevante vragen , eerste examenperiode OEFENING y = x 2 2, y = x, z = x 2 + y 2, z = x + 6 omvatten, indien we ons tot het gedeelte binnen de parabolische cilinder beperken, twee verschillende lichamen. Bepaal het massamiddelpunt van datgene dat het punt (1, 0, 2) niet bevat. Bepaal vervolgens de vergelijking van het vlak door dit massamiddelpunt dat een minimaal volume insluit met de drie coordinaatvlakken. x = y 2 2, x = y, z = x 2 + y 2, z = y + 6 omvatten, indien we ons tot het gedeelte binnen de parabolische cilinder beperken, twee verschillende lichamen. Bepaal het massamiddelpunt van datgene dat het punt (0, 1, 2) niet bevat. Bepaal vervolgens de punten op de doorsnijdingskromme van het vlak z = y + 6 met de omwentelingsparaboloïde, die op extremale afstand liggen van dit massamiddelpunt. x 2 + y 2 + z 2 = 4, 2(x 2 + y 2 ) = (z 2) 2 begrenzen in het gedeelte van de ruimte waar x > 0 en y > 0 twee verschillende lichamen. Bepaal het massamiddelpunt van datgene dat het punt (1, 2, 0) bevat; voer de berekening uit in twee verschillende coördinatenstelsels. Bepaal vervolgens de vergelijking van het vlak door dit massamiddelpunt dat een minimaal volume insluit met de drie coordinaatvlakken. x 2 + y 2 + z 2 = 9, 2(x 2 + y 2 ) = (z 3) 2 begrenzen in het gedeelte van de ruimte waar x < 0 en y > 0 twee verschillende lichamen. Bepaal het massamiddelpunt van datgene dat het punt ( 2, 2, 0) bevat; voer de berekening uit in twee verschillende coördinatenstelsels.

2 Bepaal vervolgens de punten op de doorsnijdingskromme van beide oppervlakken, gelegen op extremale afstand van het vlak door dit massamiddelpunt dat evenwijdig is met z = x. x 2 + y 2 + z 2 = 9, x 2 + y 2 = 3 z begrenzen in het gedeelte van de ruimte waar x > 0 en y > 0 twee verschillende lichamen. Bepaal het massamiddelpunt van datgene dat het punt (2, 2, 0) bevat; voer de berekening uit in twee verschillende coördinatenstelsels. Bepaal vervolgens de punten op de doorsnijdingskromme van beide oppervlakken, gelegen op extremale afstand van dit massamiddelpunt. x 2 + y 2 + z 2 = 16, x 2 + y 2 = 8 2z begrenzen in het gedeelte van de ruimte waar x < 0 en y > 0 twee verschillende lichamen. Bepaal het massamiddelpunt van datgene dat het punt ( 2, 2 2, 0) bevat; voer de berekening uit in twee verschillende coördinatenstelsels. Bepaal vervolgens de punten op de doorsnijdingskromme van beide oppervlakken, gelegen op extremale afstand van het vlak door dit massamiddelpunt, dat evenwijdig is met y = x. x = 2 y 2, y = x, z + x 2 + y 2 = 0, x + z = 10 omvatten, indien we ons tot het gedeelte binnen de parabolische cilinder beperken, twee verschillende lichamen. Bepaal het massamiddelpunt van datgene dat het punt (1, 0, 4) niet bevat. Bepaal vervolgens de punten op de doorsnijdingskromme van het vlak x + z = 10 met de omwentelingsparaboloïde, die op extremale afstand liggen van dit massamiddelpunt. y = 2 x 2, y = x, z + x 2 + y 2 = 0, x + z = 10 omvatten, indien we ons tot het gedeelte binnen de parabolische cilinder beperken, twee verschillende lichamen. Bepaal het massamiddelpunt van datgene dat het punt (1, 0, 4) bevat. Bepaal vervolgens de punten op de doorsnijdingskromme van het vlak x + z = 10 met de omwentelingsparaboloïde, die op extremale afstand liggen van het vlak door dit massamiddelpunt,

3 dat evenwijdig is met y = x. WAAR/VALS Zijn de volgende uitspraken waar of vals? Geef een korte argumentatie (bewijs) of een tegenvoorbeeld, eventueel aangevuld met een figuur. 1. Zij S een willekeurige verzameling in R n, dan is S in R n steeds een gesloten verzameling. 2. Zij f : R n R een continue functie op R n en beschouw in R n de verzameling Dan bereikt f in S een minimale waarde. S = {(x 1,..., x n ) x i 0, i = 1,..., n} x 6 y 3 (x 4 + y 4 ) 2 4. Voor alle koppels (x, y) in R 2, met x > 0 en y > 0, geldt er ( ) x ( y arctan + arctan = y x) π 2 5. Zij f : R m R n een functie die differentieerbaar is in a R m, dan bestaat f(x) f(a) lim x a x a 6. Zij g(x, y, z) = 0 de vergelijking van een oppervlak S in de driedimensionale ruimte, met g C 1 en g(p ) 0, P S. Dan zullen de punten P S op extremale afstand van een vast punt A / S voldoen aan AP // g(p ). 1. Zij I een open interval in R n, dan is I een open verzameling in R n. 2. Zij f : R n R een continue functie op R n en beschouw in R n de verzameling Dan bereikt f in S een maximale waarde. S = {(x 1,..., x n ) 0 x i 1, i = 1,..., n 1}

4 x 3 y 7 (x 4 + y 4 ) 2 4. Voor alle koppels (x, y) in het vierde kwadrant van R 2 geldt er ( ) x ( y arctan + arctan = y x) π 2 5. Zij f : R n R p en g : R n R n differentieerbare functies waarvoor geldt dat g grad(f i ) = 0, i = 1,..., p, dan geldt voor elke differentieerbare scalaire functie h : R p R dat g grad(h f) = 0 6. Zij f : R 3 R differentieerbaar in (x 0, y 0, z 0 ), met f(x 0, y 0, z 0 ) 0, dan stelt deze gradiënt de richting voor in dewelke f het snelst verandert. 1. De verzameling S die ontstaat door uit R n een aftelbaar oneindig aantal punten weg te nemen, is steeds een open verzameling in R n. 2. Zij f(x, y, z) = 1 x 2 +y 2 en beschouw in R 3 de verzameling S = {(x, y, z) x 2 + y 2 z 2 1 = 0 en 3 z 3} Dan bereikt f in S alle waarden gelegen tussen 1 10 en 1. xy 7 (x 2 + y 4 ) 2 4. Voor alle koppels (x, y) in R 2 waarvoor xy > 1 geldt ( ) x y arctan = arctan(x) arctan(y) 1 + xy 5. Zij f, g : R m R m differentieerbare functies in respectievelijk Ω R m en f(ω) R m, die bovendien elkaars inverse zijn, dan geldt er dat g j (f(x))df(x) = e j, x Ω, j = 1..., m. waarbij e j de j-de basisvector van R m voorstelt.

5 6. De vergelijking exp(x y) y x = 0 definieert in een omgeving van x = 1 op impliciete 2 wijze een unieke functie φ, met φ( 1) = De verzameling S die ontstaat door uit R n een aftelbaar oneindig aantal punten weg te nemen, is nooit een open verzameling in R n. 2. Zij f(x, y, z) = 1 y 2 +z 2 en beschouw in R 3 de verzameling S = {(x, y, z) x 2 + y 2 8y + 7 = 0} Dan bereikt f in S alle waarden gelegen tussen 1 49 en 1. x 9 y 5 (x 6 + y 6 ) 2 4. Voor alle koppels (x, y) in R 2 waarvoor xy < 1 geldt ( ) x y arctan = arctan(x) arctan(y) + π 1 + xy 5. Zij g, f : R m R m differentieerbare functies in respectievelijk Ω R m en g(ω) R m, die bovendien elkaars inverse zijn, dan geldt er dat Df(g(x))D k g(x) = e k, x Ω, k = 1..., m. waarbij e k de k-de basisvector van R m voorstelt. 6. De vergelijking exp(x + y) + y x = 0 definieert in een omgeving van x = 1 2 wijze een unieke functie φ, met φ( 1) = op impliciete 1. Er bestaan deelverzamelingen S van R n waarvoor S S. 2. De functie f(x, y, z) = x 3 y 2 x 4 + y 2 + z 2 aangevuld met de waarde 0 in (0,0,0), is differentieerbaar in de volledige ruimte R 3.

6 3. Een differentieerbare functie waarvan de gradiënt op een open en samenhangende verzameling gelijk is aan nul, is constant in die verzameling. 4. De algemene oplossing van de vergelijking a 2 f xx = f yy kan geschreven worden als φ(x + ay) + ψ(x ay), met φ en ψ willekeurige C 2 -functies. 5. De transformatieformules naar parabolische coördinaten, x = u 2 v 2, y = 2uv zijn inverteerbaar in heel R 2 \ {0} De oneigenlijke integraal van de functie over het complement van de (x 2 +y 2 ) α gesloten eenheidsschijf convergeert voor α In een warmtegeleidende staaf met geïsoleerde uiteinden zal de evenwichtstoestand een homogene temperatuursdistributie zijn, waarvan de waarde afhangt van het initieel temperatuursprofiel in de staaf. 1. Er bestaan deelverzamelingen S van R n waarvoor S = S. 2. De functie f(x, y, z) = x 3 y x 4 + y 2 + z 2 aangevuld met de waarde 0 in (0,0,0), is differentieerbaar in de volledige ruimte R Twee differentieerbare functies waarvan de gradiënten op een open en samenhangende verzameling gelijk zijn, hebben in die verzameling een constant verschil. 4. De algemene oplossing van de vergelijking f xx = b 2 f yy kan geschreven worden als φ(bx + y) + ψ(bx y), met φ en ψ willekeurige C 2 -functies. 5. De transformatieformules naar parabolische coördinaten, x = 2uv, y = u 2 v 2 zijn inverteerbaar in elke open deelverzameling van {(u, v) v 0}.

7 1. Zij S een willekeurige deelverzameling van R n, dan vormen de geïsoleerde punten van S een deelverzameling van S. 2. Zij f, g : R m R m differentieerbare functies in respectievelijk Ω R m en f(ω) R m, die bovendien elkaars inverse zijn, dan geldt er dat g j (f(x))d k f(x) = δ jk, x Ω, j, k = 1..., m. x 9 y 5 (x 6 + y 6 ) 2 4. Zij f : R 3 R differentieerbaar in (x 0, y 0, z 0 ) met f(x 0, y 0, z 0 ) 0, dan wordt het raakvlak in (x 0, y 0, z 0 ) aan het corresponderende niveau-oppervlak van f gegeven door f x (x 0, y 0, z 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0, z 0 )(y y 0 ) + f z (x 0, y 0, z 0 )(z z 0 ) = 0 5. Als f(x 1, x 2,..., x n ) = 0 opgelost kan worden naar elke x i als functie van de andere in een omgeving van het punt (x (0) 1, x (0) 2,..., x (0) n ), met f(x (0) 1, x (0) 2,..., x (0) n ) = 0 dan geldt er dat, in het beschouwde punt, 6. Zij x 1 x 2 x 2 x 3... x n 1 x n x n x 1 = 1. F (x, y, z) = x y 2 sin(4z x 2 + y 2 ) dan definieert de vergelijking F = 0 op unieke wijze een functie z(x, y) in een omgeving van (x, y) = (0, 0), waarvoor z(0, 0) = 3π Zij S een willekeurige deelverzameling van R n, dan vormt S een deelverzameling van de ophopingspunten van S. 2. Zij f, g : R m R m differentieerbare functies in respectievelijk Ω R m en f(ω) R m, die bovendien elkaars inverse zijn, dan geldt er dat f j (g(x))d k g(x) = δ jk, x f(ω), j, k = 1..., m. x3 y 10 (x 6 + y 6 ) 2

8 4. Zij f : R 2 R differentieerbaar in (x 0, y 0 ) met f(x 0, y 0 ) 0, dan wordt het raakvlak in (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) aan het corresponderende oppervlak z = f(x, y) gegeven door f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) z + f(x 0, y 0 ) = 0 5. Voor elke continue functie f(x, y) geldt 6. Zij 3 2 y=0 9 y 2 dy x=0 = π 4 θ=0 f(x, y)dx 3 π 2 dθ rf(r cos θ, r sin θ)dr + dθ r=0 θ= π 4 waarbij (r, θ) de gewone poolcoördinaten zijn. F (x, y, z) = x y 2 sin(4z x 2 + y 2 ) 3 2 r=0 rf(r cos θ, r sin θ)dr dan definieert de vergelijking F = 0 op unieke wijze een functie z(x, y) in een omgeving van (x, y) = (0, 0), waarvoor z(0, 0) = π 4.