TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde (2N46) op maandag 23 Deel 1: Van 14 uur tot uiterlijk 153 uur Het gebruik van het notebook is niet toegestaan De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en beargumenteerd te worden 1 Beschouw het lineaire stelsel Ax = b, (1) met b We nemen aan dat (1) een unieke oplossing x heeft (a) Geef een eenvoudig criterium voor de eenduidige oplosbaarheid van (1) (b) Geef de definitie van het conditiegetal cond(a) van de matrix A De fout e en het residu r van een numerieke oplossing ˆx worden achtereenvolgens gedefinieerd door e := ˆx x en r := b Aˆx We duiden met de -norm aan (c) Toon aan dat e A 1 r en e x In het vervolg van deze opgave nemen we ( ) ( ) A =, b =, cond(a) r b (2) en als oplosmethode kiezen we Gauss-Seidel iteratie met x () = De numerieke oplossing ˆx en bijbehorend residu r na 1 iteraties worden gegeven door ( ) ( ) ˆx = , r = (d) Formuleer de Gauss-Seidel iteratiemethode voor (1) (e) Bereken het conditiegetal van A (f) Verifieer de tweede ongelijkheid in (2) 1

2 2 De variabele u = u(x) voldoet aan het volgende randwaardeprobleem u + a(1 u)e u =, < x < 1, u () =, u(1) =, met a > We willen een numerieke benadering voor u(x) berekenen op het rooster x i = (i 1)h, i = 1, 2,, N, met h = 1/(N 1) de maaswijdte Voor de discretisatie van u en u maken we gebruik van centrale differenties De numerieke benadering van u(x i ) geven we aan met u i (a) Toon aan mbv Taylorreeksen dat u (x i ) = 1 h 2 ( u(xi+1 ) 2u(x i ) + u(x i 1 ) ) 1 12 h2 u (4) (x i ) + O(h 4 ) (b) Geef het differentieschema voor het randwaardeprobleem in de roosterpunten x i (i = 1, 2,, N 1) Zij u := (u 1, u 2,, u N 1 ) T de numerieke oplossing Hiervoor kunnen we het nietlineaire stelsel f(u) = afleiden Dit stelsel willen we oplossen mbv Newton iteratie (c) Bepaal de vectorfunctie f(u) en de bijbehorende Jacobi matrix J(u) (d) Formuleer de methode van Newton voor f(u) = Geef ook een beginschatting en een stopcriterium Motiveer uw antwoord 2

3 Deel 2: Direct aansluitend op deel 1 Het gebruik van het notebook is wel toegestaan 3 In een perfect geroerde reactor vinden de volgende chemische reacties plaats 2S 1 S 2 S 3, beschreven door het beginwaardeprobleem y 1 = y 2 1 y 1 () = 1, (3a) y 2 = y 2 1 κy 2 y 2 () =, (3b) y 3 = κy 2 y 3 () =, (3c) waarbij y i = y i (t) (i = 1, 2, 3) de massafractie van stof S i voorstelt, en waarbij κ > 1 de reactiesnelheid van de tweede reactie is We willen een numerieke oplossing van (3) bereken mbv de impliciete Euler methode De numerieke benadering van y i (t n ), t n := nh, berekend met stapgrootte h >, geven we aan met y i,n (a) Toon aan dat y 1 (t) + y 2 (t) + y 3 (t) = 1 voor alle t (b) Formuleer de impliciete Euler methode voor het beginwaardeprobleem (3) (c) Geef expliciete formules voor de numerieke oplossing y i,n+1 (i = 1, 2, 3), welke niet gevoelig zijn voor cijferverlies (d) Toon aan dat y 1,n + y 2,n + y 3,n = 1 voor n =, 1, 2, Verklaar waarom Y (t) := y 1 (t) + y 2 (t) + y 3 (t) geen discretisatiefout bevat 4 Voor de berekening van de integraal I(f) := b a f(x) dx, (a < b) (4) maken we gebruik van de trapeziumregel (a) Geef een afleiding van de enkelvoudige trapeziumregel T (f) met bijbehorende foutterm ε(f) voor de integraal in (4) 3

4 4 De samengestelde trapeziumregel T h (f) kunnen we afleiden door het interval [a, b] in k gelijke deelintervallen van lengte h = (b a)/k te splitsen en op elk deelinterval de enkelvoudige trapeziumregel toe te passen Op deze manier vinden we voor T h (f) met bijbehorende fout term ε h (f) I(f) = T h (f) + ε h (f), T h (f) = 1 2 h( f(x ) + f(x k ) ) k 1 + h f(x i ), ε h (f) = Ch 2 + O(h r ), (r > 2), i=1 met x i = a + ih (i =, 1, 2,, k) en C een coëfficiënt onafhankelijk van h Bovenstaande formule geldt mits f twee keer continu differentieerbaar is (b) Toon aan mbv Richardson extrapolatie dat voor h voldoende klein q h := T h/4(f) T h/2 (f) T h/2 (f) T h (f) 1 4 Voor de berekening van π sin x dx hebben we de beschikking over het volgende, onvolledige MATLAB-script (5) clear all; format long e; f sin(x); a = ; b = pi; n = 6; H = [ ]; Tf = [ ]; for j = 1:n k = 5*(2ˆj); h = (b-a)/k; H = [ H;h ]; end qh = ( Tf(3:n)-Tf(2:n-1) )/( Tf(2:n-1)-Tf(1:n-2) ); (c) Completeer het script voor de berekening van de integraal in (5) Schrijf uw script volledig uit Voer het resulterende script uit en geef de resultaten voor T h (f) en q h in vier significante cijfers Verklaar de resultaten 4

5 4 (d) Modificeer het script uit onderdeel (c) voor de berekening van 2 x 1 dx Geef de veranderingen in het script aan Voer het resulterende script uit en geef de resultaten voor T h (f) en q h in vier significante cijfers Verklaar de resultaten Voor de vraagstukken kunnen de volgende aantallen punten worden behaald: 1(a) 2 2(a) 2 3(a) 2 4(a) 3 (b) 1 (b) 3 (b) 2 (b) 2 (c) 3 (c) 2 (c) 3 (c) 3 (d) 1 (d) 3 (d) 3 (d) 2 (e) 2 (f) 1 5