Programmeren en Numerieke Wiskunde 6011P0105

Transcriptie

1 Faculteit Economie en Bedrijfskunde Tentamen: Tentamatum & -tijd: Duur van et tentamen: Studiejaar Programmeren en Numerieke Wiskunde 60P mei 205, 6 uur uur Legitimatie: U dient zic te legitimeren met eulp van een geldig ewijs van inscrijving (collegekaart) en een geldig identiteitsewijs voorzien van een goed gelijke pasfoto. Indien u zic niet kunt legitimeren kan u de toegang tot et tentamen worden ontzegd. Indien u niet correct ent aangemeld voor dit vak via SIS wordt et cijfer van uw werk niet geregistreerd. Scrijf uw naam en studentnummer op elk apart lad dat u inlevert. Waarscuwing tegen fraude: Studenten die etrapt worden op fraude worden estraft. Uw moiele telefoon dient uitgescakeld te zijn en opgeorgen in uw tas.. Dit geldt ook voor geluidsapparatuur, koptelefoons, digitale orloges (I-watces e.d.) of andere elektronisce ulpmiddelen. Uw tas dient gesloten naast uw tafel op de vloer te zijn geplaatst. Tijdens et tentamen is toiletezoek niet toegestaan (tenzij et ij wijze van uitzondering door de oofdsurveillant wordt toegestaan). Toegestane ulpmiddelen: potlood, pen, gum, liniaal, eenvoudige (niet-grafisce) rekenmacine Tentamen nakijktermijn, Uitslag en Tentamen inzage: De nakijktermijn voor docenten is 0 werkdagen. De uitslag van dit tentamen wordt uiterlijk werkdagen na de tentamatum via de onderwijsadministratie in SIS ek gemaakt. Datum en tijd van inzage wordt ek gemaakt via de Blackoardsite van dit vak. U mag daar kopieën maken van et geëvalueerde werk en van de uitwerkingen/antwoordsleutel tegen kostprijs. Specifieke toelictingen voor dit tentamen: Dit tentamen estaat uit 5 pagina s (inclusief voorlad). Controleert U of U alle pagina s eeft! Het tentamen estaat uit 8 vragen. Het totaal te ealen punten is 00.

2 Tentamen Programmeren en Numerieke Wiskunde 28 mei :00-6:00.[0] Bescouw de onderstaande code in R: opg <- function(arr, n, low, ig) { if (ig<=low) { if (arr[low]==n) { return(low) } else { return(-) } } else { mid=floor((low+ig)/2) if (arr[mid]>n) { opg(arr, n, low, mid) } else if (arr[mid]<n) { opg(arr, n, mid+, ig) } else { return(mid) } } } a. Gegeven de vector x=c(2,,5,7,,,7,9). Wat is de uitvoer van opg(x,7,,lengt(x))? Motiveer je antwoord.. Wat is et ereik van de uitvoer van deze functie? c. Wat is et doel van deze functie? 2.[0] Bescouw onderstaande functies: function tentopg2() a=; =2; a = metode(a, ); = metode2(, a); fprintf('%d %d\n',,a); function uitvoer=metode(,a) persistent c if isempty(c) =4; uitvoer=metode2(a,); function uitv=metode2(c,a) c=a+c; a=a-; fprintf('%d %d\n',c,a) uitv=a+c; Ga ervan uit dat et geeugen scoon is (en dus variaelen a t/m c niet estaan). Welke tekst zal worden getoond op et scerm indien de geruiker de functie tentopg2 runt. Motiveer je antwoorden met geeugentaellen.

3 .[0] Bescouw een verkorte versie van de tweede PC toets: Voor et oplossen van vergelijkingen van de vorm f( x ) = 0 estaat een algemene iteratieve metode, geaseerd op et idee van de Secant metode:. Van de analytisce functie f( x ) worden 4 puntenparen ( x, f( x),( x2, f( x2),( x, f( x),( x4, f( x 4) epaald. 2. Door deze punten wordt een -de graads polynoom aangepast.. Van deze polynoom worden de nulpunten epaald. We selecteren et nulpunt dat et dictst ij x ligt. 4. Nu krijgt x 4 de waarde van x, x de waarde van x2 en x 2 de waarde van x, d.w.z. x4 = x, x = x2, x2 = x, en x de waarde van et nulpunt (zie stap ). 5. De stappen tot en met 4 worden eraald tot een zeker stopcriterium is ereikt. x We willen van de functie f( x) = sin( e ) een nulpunt epalen volgens ovenstaande metode. Daartoe geruiken we een derdegraads polynoom als enadere functie, met startwaarden x =., x2 =.4, x =.5, x4 =.6. Het iteratieve proces stopt als de afstand tussen x en x 2 kleiner is dan 0.00 of als er meer dan 0 iteraties zijn gedaan. Het is de edoeling dat et script een nulpunt zoekt volgens ovenstaande metode. Het onderstaande MATLAB script evat een aantal (syntax en logisce) fouten. Vermeld ij iedere fout et type (syntax of logisc) en een motivatie. [elke fout = punt met een max. van 0] : f=@(y) sin(exp(x)); 2: x=.:0.:.6; : y=[f(.),f(.4),f(.5),f(.6)]; 4: coefs = polyfit(x,y,2); 5: y=polyval(coefs,x); 6: nulp=roots(coefs) 7: x0=.4; 8: x=.; 9: tolerance = 0.0; 0: iter = 0; : wile (iter<0) (as(f(x))>tolerance) 2: iter = iter + ; : f0 = f(x0); 4: f=f(x); 5: x2=x0-f0*(x-x0)/(f-f0); 6: x=x2; 7: x0=x; 8: disp(['root ' num2str(x,5) ' found in ' iter ' iter.']) 9: if iterations=0; 20: disp('no root found') 2:

4 4.[0] Bestaat er een waarde van k zodanig dat de onderstaande functie een Spline is? 2 kx + x ( / 2), 0 ; f( x) = 2 x + x+ ( / 2), < x 2. 5.[5] Stel we willen de parameters a en scatten volgens de kleinste kwadraten metode in et model: yi = axi + ei, met e i een foutterm. Op asis van een steekproef {( xi, yi), i =,..., n} kunnen we de som van de gekwadrateerde fouten definiëren: n 2 i i. i= SSR( a, ) = ( y ax ) a. Bepaal de Normaalvergelijkingen (zonder de optimale a en op te lossen), d.w.z. epaal SSR( a, ) SSR( a, ) = 0 en = 0. a z Hint: = log( zz ).. Laat zien dat a = 2 en = de kleinste kwadraten scatters zijn die de normaalvergelijkingen oplossen voor de onderstaande gegevens: x i 2 y i c. Bepaal de voorspellingen ˆ y = ax op asis van de kleinste kwadraten scatters. Wat valt op? i i 6.[5] Bescouw de Lucas getallen: L0 = 2, L = en Ln = Ln + Ln 2 voor n >. Er geldt (dit oeft niet te worden ewezen): Ln+ Ln n 2 Q met Q. Ln L = = n 2 0 a. Verifieer dat de onderstaande relatie geldt voor n = 2.. Bepaal de eigenwaarden van de matrix Q =. 0 2 ± D Geeugensteuntje ABC-formule ax + x + c = 0 : x =. 2a c. Geef de decompositie van de matrix Q met de eigenwaardenmatrix D en de matrix V van eigenvectoren (je oeft D en V niet uit te rekenen) Wat is et nut iervan?

5 7.[0] De integraal f ( x) dx, a > 0, a indien die estaat, kan vaak numeriek worden enaderd na sustitutie a. Laat zien dat a / a. Geruik (a) om 0 ( ) 2 t f ( x) dx = t f dt. xe x t = x. te enaderen met eulp van 2 deelintervallen, d.w.z. [0, ] en [,], en Simpson s /-regel [20] In deze opgave ekijken we de fout die gemaakt wordt ij et toepassen van de Trapeziumregel ij et enaderen van de oppervlakte onder f() t = t t + voor et deelinterval [, x k + ]. Zoals op college, een we de volge definities: x g( x) = f () t dt met g'( x) = f( x), g''( x) = f '( x), etc. a. Stel + = +, epaal de e orde Taylor expansie van + ( j) (*) g( + ) = f ( t) dt g ( ) j! voor f( t) = t t +.. De Trapeziumregel luidt: + j= 0 f( t) dt ( f( x ) ( 2 k + f + )) Bepaal de 2e orde Taylor expansie voor f( x k + ) : 2 f( + ) = f( + ) f( ) + f '( ) + f ''( x ), 2 k indien f( t) = t t +. Leidt iermee een enadering af voor de Trapeziumregel: (**) ( f( x ) ( 2 k + f + )).... c. Met eulp van de twee Taylor expansies in (*) en (**), kun je een enadering afleiden voor de Trapeziumregel. Laat zien dat de fout van de Trapeziumregel gelijk is aan O ( ) in dit specifieke vooreeld. Definitie: f( ) = O ( p ) als f ( ) p M met een constante M die eindig is. j