TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters a, b, c en variabelen x, y, en z. x y + z = a 4x y + 8z = b x + y z = c (a) Neem a =, b = 7, c = 6 en bepaal de algemene oplossing van het stelsel Dus kies z = r vrij, en dan volgt x = + r en y = + 4r, met r R. Of als vectorvoorstelling: x y = + r 4, r R z (b) Aan welke voorwaarde(n) moeten a, b en c voldoen, wil het stelsel oplosbaar zijn? a 4 8 b c a b 4a c + a a 4 (b 4a)/ a + b + c Dus het stelsel is consistent precies dan als er in de laatste rij een nulrij onstaat (en niet de strijdige vergelijking = ), d.w.z. precies dan als a + b + c =. De voorwaarde waaraan de parameters moeten voldoen is dus a = b + c. Opgave Gegeven zijn de matrix A en de vector b: A = 4 4 4, b = Gegeven is ook de matrix R in gereduceerde trapvorm die rij-equivalent is met de uitgebreide matrix [A b]: R = rref([a b]) = 4 4 8

2 (a) Geef een parametervoorstelling voor de algemene oplossing van het stelsel Ax = b. Deze lezen we af uit de gereduceerde trapvorm, net als bij opgave (a). Kies x = r en x = s vrij in R (kolommen zonder spil). Dan x = + r s, x = 4 r s, en x 4 = + s. Of in vectornotatie: x x x x 4 x = 4 + r + s, r, s R (b) Geef een basis voor de nulruimte van A. De nulruimte van A is de verzameling van alle vectoren x in R waarvoor geldt dat Ax =. De algemene oplossing van het stelsel Ax = b, gevonden bij (a), is van de vorm x p + x h met 4 x p = een particuliere oplossing van Ax = b, en x h = r + s Een basis voor de nulruimte van A is dus, (r, s R) de algemene oplossing van Ax =.. (c) Schrijf de laatste kolom van A als een lineaire combinatie van de overige kolommen. Uit het feit dat de vector in de nulruimte van A zit kunnen we afleiden dat a a + a 4 + a =, met a i de i-de kolom van A. Dus we kunnen a als volgt schrijven als lineaire combinatie van de overige kolommen: a = a + a a 4

3 (d) Wat is de rang van de getransponeerde matrix A T? Leg uit. De rang van A is (drie leidende enen of spillen in de gereduceerde trapvorm) dus de rang van A T is ook. De (rij)rang van A T is namelijk de dimensie van de rijruimte van A T en dat is de dimensie van de kolomruimte van A en dat is de (kolom)rang van A. Je gebruikt kortom dat de rijrang en de kolomrang beide gelijk zijn aan de rang. Opgave A en B zijn inverteerbare matrices. Gegeven zijn A en (AB) : 4 4 A =, (AB) = 4 (a) Bepaal de matrix B. B = B (A A) = (B A )A = (AB) A = = Dan kan B gevonden worden door de inverse te bepalen: 6 9 B = (B ) = 6 9 (b) A is de overgangsmatrix van een basis T naar de standaardbasis S van R. Compact genoteerd: A = P S T voor een basis T van R. Bepaal deze basis T. In de kolommen van P S T staan de basisvectoren van T geschreven ten opzichte van de standaardbasis S. M.a.w. de basis T bestaat uit de kolommen van A: T =,, Opgave 4 Gegeven zijn de volgende vier vectoren in R 4. u =, u =, u =, u 4 = Laat S de verzameling bestaande uit de eerste drie vectoren zijn, dus S = {u, u, u } en laat W het opspansel zijn van u, u, u, dus W = span S.

4 (a) Laat zien dat S een basis is voor de deelruimte W van R 4. S spant per definitie W op, dus het is voldoende te laten zien dat S lineair onafhankelijk is. De vector-vergelijking a u + a u + a u = is in feite een stelsel van vier vergelijkingen in de onbekenden a, a, a met uitgebreide matrix en uit de conclusie dat a = a = a = volgt dat S lineair onafhankelijk is. (b) Laat zien dat de vector u 4 in de deelruimte W zit en bepaal de coördinaatvector [u 4 ] S van de vector u 4 ten opzichte van de basis S van W. Het stelsel vergelijkingen corresponderend met heeft uitgebreide matrix a u + a u + a u = u 4 Het stelsel is consistent, dus u 4 zit in W = span S. De oplossing is a =, a =, a = en hieruit volgt dat u 4 = u + u u ofwel dat [u 4 ] S = (c) Breid S uit tot een basis van R 4 (m.a.w. geef een basis van R 4 die u, u en u bevat). Breid S uit met alle standaard-basisvectoren van R 4 en bepaal een lineair onafhankelijke deelverzameling van die verzameling vectoren. Om te zorgen dat de vectoren van S gekozen worden zetten we S links in de matrix. Leidende enen staan in de eerste vier kolommen dus {u, u, u, e } is een basis van W, waarbij e de eerste standaard-basisvector van R 4 is. NB: ook elk van de andere standaard-basisvectoren geeft een lineair onafhankelijke uitbreiding van S. 4

5 (d) Bepaal een orthonormale basis T voor W = span {u, u, u }. Gebruik de Gram-Schmidt procedure om de gegeven basis S van W om te vormen tot een orthonormale basis van W : v = u, v = u v u v v v = v = u v u v v v v u v v v = Dan normeren: w = 4, w = = De gevraagde orthonormale basis is {w, w, w }. Opgave Gegeven zijn de matrix A en de vector u: 4 A =, u = 4 (a) Laat zien dat u een eigenvector van A is. 4 4 dus u is een eigenvector van A bij eigenwaarde. (b) Bepaal alle eigenwaarden van de matrix A. Bepaal het karakteristiek polynoom det(λi A): λ 4 λ λ 4 / / of liever v =, w = = = / / = (λ 4) λ λ 4 λ = of v = (λ 4) (λ ) (λ ) = (λ )((λ 4) ) = (λ )(λ 8λ + ) = (λ ) (λ ) Deze uitdrukking nul stellen levert de eigenwaarden: λ = en λ =.

6 (c) Geef bij elke eigenwaarde een basis voor de eigenruimte. De eigenruimte E bij λ = is de nulruimte van I A. Het stelsel (I A)x = heeft uitgebreide matrix I A = Dus (I A)x = oplossen geeft x = r R, x = s R, en x = x = s, of in vectornotatie x x x = r + s, r, s R Een basis voor de eigenruimte E is dus, De eigenruimte E bij λ = is de nulruimte van I A. Het stelsel (I A)x = heeft uitgebreide matrix I A = Dus (I A)x = oplossen geeft x = r R, x = x = r, en x = x = r, of in vectornotatie x x x = r, r, s R Een basis voor de eigenruimte E is dus (d) Is A diagonaliseerbaar? Leg uit. Ja, want er zijn in totaal drie lineair onafhankelijke eigenvectoren gevonden, twee bij de eigenwaarde van multipliciteit. Dus er bestaat een basis van R bestaande uit eigenvectoren van A:,, 6