TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde N460 op donderdag 4 juni 010, uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en beargumenteerd te worden. 1. Beschouw de functie f gedefinieerd door fx = 1 cos x, 0 x < π. We veronderstellen dat we y = fx exact kunnen berekenen. a Zij y = f π en ŷ = f π + x met x ε. Toon aan dat in eerste orde benadering ŷ y ε/. b Bepaal de eerste orde benadering cx van het conditiegetal voor het probleem y = fx. Toon aan dat dit probleem goed geconditioneerd is voor x 0. Voor de berekening van y = fx 10 8 x 10 6 hebben we de beschikking over het volgende MATLAB-script: clear all; format long e; k = 6:0.001:8; x = 10.ˆ-k; y = sqrt *1-cosx ; loglog x,absy, k ; xlabel x, FontSize,16 ; ylabel y, FontSize,16 ; grid; set gca, FontSize,16 ; Het resultaat staat in de figuur onderaan de bladzijde. c Verklaar het verloop van de grafiek. d Geef een betere formule voor de berekening van y = fx voor 0 < x 1. Motiveer uw antwoord y x

2 Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde N460 op donderdag 4 juni 010, uur.. De variabele u = ux, y voldoet aan het randwaardeprobleem u = fu, x, y Ω = 0, 1 0, 1, 1a ux, y = 0, x, y Ω, 1b met fu een nader te specificeren functie. We willen van dit probleem een numerieke oplossing bepalen m.b.v. centrale differenties. Daartoe introduceren we het rooster x i, y j = i 1h, j 1h, i, j = 1,,... N, met h = 1/N 1 de maaswijdte in de x- en y-richting. De numerieke benadering van ux i, y j geven we aan met u i,j. a Geef het centrale differentieschema voor de partiële differentiaalvergelijking 1a in een inwendig roosterpunt. We kunnen de differentieschema s voor alle inwendige roosterpunten samenvoegen tot het algebraïsche stelsel Au = fu, waarbij de vector u alle onbekenden u i,j bevat. Voor de functie fu in 1a kiezen we eerst fu = 1. b Wat is een geschikte oplosmethode voor? Motiveer uw antwoord. In het vervolg van deze opgave beschouwen we de Gauss-Seidel methode. We noteren de componenten van de kde iterand als u k i,j. c Formuleer de Gauss-Seidel methode voor het differentieschema afgeleid in onderdeel a. Geef hierbij ook de ordening van de roosterpunten aan. Geef een goed stopcriterium. Motiveer uw antwoord. Tenslotte nemen we fu = cos u. d Formuleer de Gauss-Seidel methode voor het differentieschema afgeleid in onderdeel a. Beschrijf een strategie voor het berekenen van u k+1 i,j

3 Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde N460 op donderdag 4 juni 010, uur. 3. In deze opgave willen we de afgeleide f x van een functie f benaderen m.b.v. de achterwaartse differentieformule f x = 1 1 3fx 4fx h + fx h + h 3 h f x + Oh 3 = D h [f]x h f x + Oh 3. a Geef een afleiding van bovenstaande differentieformule m.b.v. Taylorreeksen. In het vervolg van deze opgave nemen we fx = e x. Voor de berekening van f 1 hebben we de beschikking over het onderstaande MATLAB-script. clear all; format long e; k = linspace 1,40,40 ; h =.ˆ-k; fd = 3*exp1-4*exp1-h+exp1-*h./*h; err = abs fd-exp1 ; loglog h,err, k ; grid; xlabel h ; ylabel error ; b Voer dit script uit, schets de grafiek en verklaar de resultaten. We kunnen m.b.v. Richardson extrapolatie een schatting voor de fout in D h [f]x bepalen, en daarmee ook een betere benadering D h [f]x voor f x. We nemen nu h = k k = 1,,..., 0. c Bepaal een schatting voor de fout in D h [f]1 als functie van h. Bepaal ook een betere benadering D h [f]1. Wat is de orde van nauwkeurigheid van D h [f]1? d Schrijf een MATLAB-script welke de fout in zowel D h [f]1 als Dh [f]1 tekent als functie van h. Voer dit script uit, schets de grafiek en verklaar de resultaten. 3 3

4 Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde N460 op donderdag 4 juni 010, uur. 4. De midpuntregel voor de differentiaalvergelijking y = ft, y luidt y k+1 = y k + hf t k + 1 h, 1 y k + y k+1, 4 met y k de numerieke benadering van yt k met t k = kh en h > 0 de stapgrootte. a Bepaal het stabiliteitsgebied van de midpuntregel aan de hand van het modelprobleem y = λy met λ C. We willen de midpuntregel toepassen op het volgende beginwaardeprobleem x + ω x + βx 3 = cos t, t > 0, 5a x0 = 1, x 0 = 0, 5b met ω 1 en 0 < β 1, welke de gedwongen trilling van een niet-lineaire veer beschrijft. De variabele x = xt is de uitwijking van de veer uit evenwicht. Daartoe herschrijven we het beginwaardeprobleem 5 in de volgende vorm y = ft, y, t > 0, 6a y0 = c. b Geef de vectorfunctie ft, y en de vectoren y en c uit het beginwaardeprobleem 6. c Zijn de oplossingen van het stelsel differentiaalvergelijkingen 6a stabiel? d Formuleer de midpuntregel voor het stelsel differentiaalvergelijkingen 6a. Laat zien dat de methode onvoorwaarlijk stabiel is. e Wat is een geschikte keuze voor de stapgrootte h? Motiveer uw antwoord. 6b Voor de vraagstukken kunnen de volgende aantallen punten worden behaald: 1.a.a 3.a 4.a b 3 b 3 b b c c 3 c 3 c d 3 d d 3 d e 4

5 UITWERKINGEN 1. a In eerste orde benadering geldt ŷ y =. xf π. Differentiëren geeft f x = sin x/fx. Substitutie van x = π en x ε geeft de gevraagde ongelijkheid. b cx wordt gegeven door cx = xf x x sin x = fx 1 cos x. Gebruik makend van de formules sin x = sin 1 x cos 1 x en 1 cos x = sin 1 x kunnen we dit herschrijven als cx = x cos 1 x sin 1 x, en het is duidelijk dat cx 1 voor x 0, m.a.w., het probleem y = fx is goed geconditioneerd voor x 0. c Uit een Taylorbenadering volgt fx = x x +O x 4, m.a.w., fx = Ox voor x 0 en dit gedrag is af te lezen uit de grafiek voor 10 7 x Voor 10 8 x 10 7 treedt cijferverlies op in de term 1 cos x, vandaar het staircase patroon. d Een betere formule is fx = x 1 1 x zie onderdeel c of fx = sin 1 x 4 zie onderdeel b omdat hierbij geen cijferverlies optreedt.. a Het differentieschema luidt 1 h ui,j 1 + u i 1,j 4u i,j + u i+1,j + u i,j+1 = f ui,j. b Het stelsel is nu lineair. Directe methoden zijn gebaseerd op de LU-decompositie A = LU. Bij het berekenen van deze LU-decompositie lopen de banden van L en U vol, zodat nzl nza en nzu nza, dus het oplossen van stelsels Ly = b en Ux = y is duur. In dit geval is A symmetrisch, positief definiet, zodat de geconjugeerde gradiëntenmethode de beste methode is. De convergentie kan worden verbeterd door preconditionering toe te passen, bijvoorbeeld de onvolledige Cholesky decompositie. c We kiezen de volgende nummering van de inwendige roosterpunten x, y,..., x N 1, y,..., x, y N 1,..., x N 1, y N 1. De Gauss-Seidel methode wordt dan 1 h u k+1 i,j 1 + uk+1 i 1,j 4uk+1 i,j u k+1 i,j = u k i+1,j + i,j+1 uk = 1 k+1 u i,j 1 + uk+1 i 1,j + uk i+1,j + uk i,j+1 + h. We stoppen de iteratie wanneer het residue r := f Au met u de numerieke oplossing voldoet aan r < tol. De toleratie tol kiezen we gelijk aan de geschatte discretisatiefout, dus O h. 5

6 d De Gauss-Seidel methode wordt nu 1 k+1 u h i,j 1 + uk+1 i 1,j 4uk+1 i,j + u k i+1,j + uk k+1 i,j+1 = cos u i,j. De onbekende v = u k+1 i,j voldoet aan de niet-lineaire vergelijking F v := 4 h v cos v a = 0, a := 1 h u k+1 i,j 1 + uk+1 i 1,j + uk i+1,j + uk i,j+1, welke we oplossen m.b.v. Newton iteratie, dus v 0 = u k i,j voor l = 0, 1,,... v l+1 = v l F v l /F v l, waarbij F v = 4/h sin v. Het stopcriterium wordt F v l tol met dezelfde tolerantie als in onderdeel c. 3. a Ontwikkel fx h en fx h in Taylorreeksen. b We merken het volgende op 1. De afbreekfout 1 3 h f x is dominant voor 10 6 h 1. In dit bereik is de helling, dus de afbreekfout is evenredig met h 3. Afrondfouten t.g.v. cijferverlies, in combinatie met delen door h, zijn dominant voor 10 1 h 10 6 c Er geldt f 1 = D h + ε h = D h/ + ε h/ met D h = D h [f]1 en ε h de bijbehorende fout etc. Omdat ε h = Ch + O h 3 geldt dat ε h/ 1 4 ε h voor h voldoende klein. Combineren we dit met bovenstaande relatie, dan vinden als schatting voor de fout ε h = 4 3 Dh/ D h en als betere benadering D h = D h + ε h = 1 3 4Dh/ D h. Deze benadering is derde orde nauwkeurig. d Een mogelijk MATLAB-script is clear all; format long e; k = linspace 1,0,0 ; h =.ˆ-k; fd = 3*exp1-4*exp1-h+exp1-*h./*h; err = abs fd-exp1 ; fd1 = 4*fd:0-fd1:19 /3; err1 = abs fd1-exp1 ; loglog h,err, k,h1:19,err1, k-- ; grid; xlabel h ; ylabel error ; Het resultaat staat in de grafiek boven aan de volgende pagina. We merken het volgende op 1. Voor 10 3 h 1 is de afbreekfout dominant, de helling is 3, hetgeen een derde orde nauwkeurige benadering impliceert 6

7 error h Voor 10 6 h 10 3 zijn afrondfouten dominant, t.g.v. cijferverlies in combinatie met delen door h. 3. De minimale fout wordt bereikt voor grotere h. 4. a Voor het modelprobleem geldt y k+1 = y k + hλ y k + y k+1 / 1 1 hλy k+1 = hλy k y k+1 = ψhλy k = hλ 1 1 hλy k. Voor stabiliteit moet gelden ψhλ 1, waaruit volgt dat z + z voor z = hλ. Het stabiliteitsgebied is dus S = C = {z C Rez 0}. b Het beginwaardeprobleem wordt y y = fy =, y0 = ω y 1 βy1 3 + cos t c De Jacobimatrix Jy = 0 1 ω 3βy heeft de zuiver imaginaire eigenwaarden λ ± = ±i ω + 3βy 1, en derhalve zijn de oplossingen van 6a stabiel. d De midpuntregel luidt y 1,k+1 = y 1,k + 1 h y,k + y,k+1, y,k+1 = y,k + h 1 ω y 1,k + y 1,k+1 β 1 y1,k + y 1,k cos tk + 1 h. hλ ± S voor alle h > 0, en dus is de midpuntregel onvoorwaarlijk stabiel. 7

8 e Stabiliteit speelt geen rol, immers de methode is onvoorwaarlijk stabiel. De keuze van h wordt dus bepaald door de gewenste nauwkeurigheid. We hebben te maken met twee zeer verschillende tijdschalen, t.w. τ 1 = 1/ω, corresponderend met de eigentrilling van het systeem als β = 0, en τ = 1, corresponderend met de opgelegde kracht cos t. Het is evident dat τ 1 τ. Een geschikte keuze voor h is bijvoorbeeld ωh =