Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C110 3 juli uur

Transcriptie

1 Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C0 3 juli uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina s. Op pagina 3 staat voor iedere opgave het maximale aantal punten dat voor de opgave behaald kan worden. Het gebruik van boeken, aantekeningen, collegedictaten, notebooks of rekenmachines is bij dit tentamen niet toegestaan. Bij dit tentamen mag u gebruik maken van het bijgevoegd formuleblad. Alle antwoorden dienen duidelijk geformuleerd en gemotiveerd te worden.. Beschouw de twee chemische reacties A k A k B k 3 B C C. Stel dat a, b en c de concentraties van de stoffen A, B en C zijn. Gegeven is dat alle reacties mass-action kinetiek hebben, met k = k = k 3 = (in geschikte eenheden). (a) Geef de differentiaalvergelijkingen die het gedrag van a(t), b(t) en c(t) beschrijven. (b) Laat zien dat a(t) + b(t) + c(t) constant is. Stel dat initieel a(0) = en dat er op t = 0 geen stoffen B en C zijn. (c) Gebruik de bij onderdeel (b) gegeven relatie om c(t) uit te drukken in a(t) en b(t). (d) Schrijf de differentiaalvergelijkingen voor a(t) en b(t) in matrix vorm ( ) ( ) a a = M b (e) Los dit stelsel differentiaalvergelijkingen op voor de gegeven beginwaarden. b (f) Wat zijn voor t de limietwaarden van a(t), b(t) en c(t)? Hint: Dit onderdeel kan ook gemaakt worden zonder dat onderdeel (e) is opgelost.. Beschouw het volgende stelsel van twee differentiaalvergelijkingen x (t) = f (x(t), y(t)) y (t) = f (x(t), y(t)). (a) Wanneer is een punt (ˆx, ŷ) een stationair punt van dit stelsel? (b) Onder welke voorwaarden is een stationair punt (ˆx, ŷ) van dit stelsel differentiaalvergelijkingen asymptotisch stabiel?

2 Beschouw vervolgens een gen voor een eiwit X. De transcriptie van het gen leidt eerst tot het mrna Y. In de translatie fase wordt dit mrna (door het ribosoom) gebruikt om het eiwit X te produceren. Stel nu dat het eiwit X de transcriptie van het gen, dat leidt tot zijn mrna Y, activeert (genregulatie). In deze opgave onderzoeken we de stationaire punten van dit systeem. Laat x = [X] en y = [Y]. Neem aan dat X de productie van Y activeert volgens een Hill kinetiek met n =, maximum snelheid V max = 9 en constante K =. Er is geen basale productie van Y. Verder vervalt het mrna Y ook met een vervalconstante γ = 3. (c) Geef de differentiaalvergelijking voor de dynamica van y(t). We nemen aan dat de translatie, d.w.z de productie van eiwit X in het ribosoom m.b.v. het voorschrift Y, mass-action kinetiek heeft met reactieconstante k =. Het eiwit X vervalt zelf ook met vervalconstante γ =. (d) Geef de differentiaalvergelijking voor de dynamica van x(t). (e) Het stelsel differentiaalvergelijkingen van onderdeel (c) en onderdeel (d) heeft drie stationaire punten (ˆx, ŷ), ( x, ỹ) en (ˇx, ˇy). Bereken deze drie stationaire punten. (f) Analyseer de stabiliteit van de drie stationaire punten, die gevonden zijn in onderdeel (e). 3. In deze opgave beschouwen we achterwaardse differentie methoden (BDF methods) om de differentiaalvergelijking y = f(y) op te lossen. (a) Leid uit de algemene vorm van de BDF methodes de BDF methode af. (b) Is dit een impliciete of een expliciete methode? (c) Leid uit de algemene vorm van de BDF methodes de BDF methode af. (d) Is dit een impliciete of een expliciete methode? Stel we willen de differentiaalvergelijking y = 0y numeriek oplossen met de BDF methode. We kiezen een stapgrootte t = 0.. Gegeven zijn de beginwaarden y 0 = en y = 0.4. (e) Bereken de waarde van de volgende numerieke benadering y. 4. In moleculaire simulaties worden vaak potentialen gebruikt om de interactie tussen twee deeltjes te beschrijven. Een voorbeeld van zo n potentiaal is U(r) = r r. (a) Bepaal het punt r min waar U(r) een minimum heeft en bepaal het punt σ met potentiaal U(σ) = 0. (b) Teken het verloop van deze potentiaal als functie van r. (c) Geef de expliciete uitdrukking voor de bij deze potentiaal behorende kracht als functie van r. (d) Stel een deeltje met massa m = bevindt zich op tijdstip t = 0 op zeer grote afstand (d.w.z. U 0) van de oorsprong en heeft een beginsnelheid v = naar de oorsprong toe. Wat is de minimale afstand tot de oorsprong die dit deeltje ooit zal hebben?

3 5. (a) Geef de definitie van een conservatieve kracht. Gegeven is een kracht F in het tweedimensionale x y vlak beschreven door F(x, y) = xy. (b) Bereken de arbeid die de kracht F verricht als een deeltje verplaatst wordt langs de zijden A-B, B-C, C-D, en D-A van het vierkant ABCD in het x y vlak, waarbij A = (0, 0), B = (, 0), C = (, ) en D = (0, ). Geef de arbeid voor elk zijde apart. (c) Laat zien dat de kracht F conservatief is door een bijbehorende potentiaal te vinden. Beargumenteer uw antwoord. x 6. (a) Welke thermodynamische variabelen zijn constant bij een systeem in het kanoniek ensemble? In deze opgave beschouwen we een kanoniek systeem dat zich kan bevinden in twee toestanden, en, met bijbehorende energieën E = 0 en E =, respectivelijk. We nemen aan dat de temperatuur T (of de parameter β) gegeven is. (b) Geef voor elke toestand ν (ν = 0, ) de kans P ν om het systeem in toestand ν te treffen. Gegeven dat een observabele O de waarde O ν heeft wanneer het systeem in de microscopische toestand ν is, is het ensemblegemiddelde O gegeven door O = ν P ν Q ν. Omdat het ensemblegemiddelde correspondeert met de macroscopische waarde van de observabele, geeft deze relatie het verband tussen de microscopische en de macroscopische beschrijving van het systeem. De energie van het systeem is een observabele. (c) Bereken het ensemblegemiddelde van de energie van het bovenstaande systeem. (d) Wat gebeurt er met het ensemblegemiddelde van de energie als de temperatuur T heel groot wordt? (e) Wat gebeurt er met het ensemblegemiddelde van de energie als de temperatuur T naar 0 gaat? Honorering: (totaal 60 punten) Opgave a: punten Opgave a: punten Opgave 3a: punten Opgave b: punten Opgave b: punten Opgave 3b: punt Opgave c: punten Opgave c: punten Opgave 3c: 3 punten Opgave d: punten Opgave d: punten Opgave 3d: punt Opgave e: punten Opgave e: punten Opgave 3e: punten Opgave f: punten Opgave f: 3 punten Opgave 4a: punten Opgave 5a: punten Opgave 6a: punt Opgave 4b: punten Opgave 5b: 4 punten Opgave 6b: punten Opgave 4c: punten Opgave 5c: 4 punten Opgave 6c: punten Opgave 4d: 3 punten Opgave 6d: punt Opgave 6e: punt 3

4 4

5 Simulaties van biochemische systemen - 8C0 Formuleblad - 0/0 De Taylorreeks benadering van de functie f rond het punt x is gegeven door f(x + x) = f(x) + f (x) x + f (x) ( x) + + f (n) (x) ( x) n +. n! Hiermee kan worden afgeleid dat voor alle x en voor x < e x = + x + x! + x3 3! + x4 4! +. x = + x + x + x 3 + x 4 +. Voor een differentiaalvergelijking van de vorm y = f(y) zijn de volgende numerieke methoden met tijdstap t mogelijk: Expliciet Euler (Forward Euler): ŷ(t + t) = y(t) + t f(y(t)) Impliciet Euler (Backward Euler): ŷ(t + t) = y(t) + t f(ŷ(t + t)) Crank-Nicholson: ŷ(t + t) = y(t) + t (f(y(t)) + f(ŷ(t + t))) Heun (Improved Euler): y (t + t) = y(t) + t f(y(t)) ŷ(t + t) = y(t) + t (f(y(t)) + f(y (t + t))) Runge-Kutta: k = f(y(t)) k = f(y(t) + t k ) k 3 = f(y(t) + t k ) k 4 = f(y(t) + t k 3 ) ŷ(t + t) = y(t) + 6 t (k + k + k 3 + k 4 ) De achterwaardse differenties (Backward Differences) zijn gedefinieerd door y n+ = y n+ y n y n+ = y n+ y n 3 y n+ = y n+ y n.. Het p e graads polynoom Q p door de punten (t n p+, y n p+ ),..., (t n+, y n+ ) is dan Q (t) = y n+ + t t n+ y n+ t Q (t) = y n+ + t t n+ y n+ + (t t n+)(t t n ) t t y n+ Q 3 (t) = Q (t) + (t t n+)(t t n )(t t n ) 3! t 3 3 y n+.

6 De BDFp methode voor het oplossen van y = f(y) volgt dan uit Q p(t n+ ) = f(y n+ ). De Lennard Jones potentiaal met parameters ɛ en σ tussen twee deeltjes met afstand r is ( (σ ) ( σ ) ) 6 U vdw (r) = 4 ɛ, r r De totale energie van een systeem bestaande uit N deeltjes met posities r,..., r N, impulsen p,..., p N en potentiële energie U(r N ) is E(r N, p N ) = N i= p i m i + U(r,..., r N ), waarbij r N een afkorting is voor (r,..., r N ) en p N een afkorting is voor (p,..., p N ) De kans om een kanoniek systeem met energieniveaus E ν (ν =,,...) in een energieniveau E ν aan te treffen is P ν = e βeν Z waarbij Z = ν e βeν en β = k B T. De kansdichtheid om kanoniek systeem bestaande uit N deeltjes in een toestand met posities r N en impulsen p N aan te treffen is Ψ ( r N, p N) = e βe(rn,p N ) e βe(r N,p N ) dr N dp N. Hierin is E ( r N, p N) de energie van het systeem en β = k B T. Het verband tussen gemiddelde kwadratische impuls van deeltje i en de temperatuur T is p i = 3mi k B T