Klassieke Mechanica a (Tentamen 11 mei 2012) Uitwerkingen

Transcriptie

1 Klassieke Mechanica a (Tentamen mei ) Uitwerkingen Opgave. (Beweging in een conservatief krachtenveld) a. Een kracht is conservatief als r F =. Dit blijkt na invullen: (r F) x z y =@z = =, (r F) y x z =@x = =, (r F) z y x =@y = = b. Methode r De bijbehorende potentiaal V (r) = V () F(r ) dr lossen we op door een pad te kiezen vanuit de oorsprong naar positie r op te delen in drie integraties. x Integratie van (; ; ) naar (x; ; ) geeft F xdx = x Cx dx = Cx. y Integratie van (x; ; ) naar (x; y; ) geeft F ydy = y Cy dy = Cy. z Integratie van (x; y; ) naar (x; y; z) geeft F zdz = z 4Cz dz = Cz. Combinatie van deze drie integralen geeft: V (r) = V () + Cx + Cy + Cz Deze eenvoudige som van drie potentialen in x, y en z volgt ook direct uit de factoriseerbaarheid van het krachtenveld. Methode Los de vergelijking rv = F componentsgewijs = Cx () V = Cx + V (y; = Cy () V = Cy + V (x; = 4Cz () V = Cz + V (x; y) Gecombineerd geeft dit V (r) = V + Cx + Cy + Cz. c. De beweging in de x-, y- en z-richting zijn separabel, d.w.z. onafhankelijk van elkaar. We kunnen de vergelijking F = mr dus splitsen in componenten: - mx = F x = Cx. Dit is de vergelijking voor een harmonische oscillator met hoekfrequentie! = p C=m. De algemene oplossing is x(t) = A cos(!t)+b sin(!t) (of x(t) = D cos(!t + )). Uit de beginvoorwaarden x() = x en _x() = volgt x(t) = x cos(!t). - my = F y = Cy. Dit is wederom een oscillator met dezelfde frequentie!. Uit de beginvoorwaarden y() = en _y() = v y volgt nu y(t) = v y! sin(!t). - In de z-richting geldt z(t) =, want z() = _z() = en dus ook z() = F z =m = ; er is dus geen beweging en die komt ook niet op gang. Totaal hebben we dus r(t) = x cos(!t)i + v y sin(!t)j. Dit beschrijft een ellips in het! (x; y)-vlak.

2 Opgave. (Eectieve een-dimensionale potentiaal) a. Zoals altijd is energie behouden. Bij een centraal krachtenveld is ook het impulsmoment behouden, L = r p ofwel L = mr _ = m`. b. We gebruiken E = T + V. We hebben v = _re r + r e _, waarbij e r en e loodrecht op elkaar staan. De kinetische energie is dus T = mv = m( _r + r _ ). Omdat ` = r _ constant is, kunnen we _ = `=r schrijven, zodat T = m( _r + `=r ). We hebben dus E = T + V = m( _r + `=r GMm ). Om alleen de beweging in de radiele richting te beschrijven, stellen we E = T eff + V eff met T eff = m _r (de kinetische energie in de radiele richting). Dat geeft: V eff = E T eff = met K = GMm. Zie ook sectie 6. in Fowles & Cassiday GMm + m` r = K m` + r c. Vanaf punt A neemt r toe, want dv=dr <. Omdat V (r) kleiner blijft dan V (A), behoudt de testmassa kinetische energie, zodat r naar oneindig gaat, met eindige snelheid. Dit komt overeen met een hyperbool. Voor punt B geldt hetzelfde als voor punt A, maar nu gaat de snelheid naar nul als r!, omdat de V (r) naar V (B) = convergeert. Dit geeft een parabool. Punt C zit in het minimum van de potentiaal, dus als de snelheid _r hier nul is, blijft r = r constant. Dit is dus een cirkelbaan. Vanaf punt D neemt r af, tot het punt dat V (r min ) = V (D), waarna r weer toeneemt, totdat het weer omslaat bij D. Dit komt dus overeen met een ellips. Zie ook vergelijking (6..) in Fowles & Cassiday d. We kijken nu in het zwaartepuntstelsel, waarin m r + m r =. Dan hebben we: = r r = m + m m r = m + m m r Beschouw de totale energie. Als functie van blijft de potentiele energie ongewijzigd, V () = K=. De kinetische energie van beide massa's is: T = m r_ + m r_ = m = m m + m _ + m m m _ = m + m _ m m + m _ waarbij = m m =(m + m ) de gereduceerde massa is. Splitsen we de kinetische energie weer op in een radieel en tangentieel deel, zoals bij onderdeel a, dan vinden we: T = ( _ + _ ) = _ + ` Page

3 waarbij ` = _ constant is. Dit is namelijk het totale impulsmoment van beide massa's gedeeld door de gereduceerde massa: L + L = m r _ + m r _ = _ = ` Merk op dat _ voor beide massa's gelijk is, omdat het verschil tussen en altijd is. Voor de eectieve potentiaal voor een massa vinden we dus: V eff (; ) = E T eff = T + V _ = K + ` We kunnen het ook eventueel omschrijven naar een potentiaal voor massa m, door E met m = te vermenigvuldigen. Dan vinden we: V eff (m ; ) = m (T + V ) m _ = Gm (m + m ) + m ` Deze vorm sluit meer aan bij vergelijking (7.3.8) in Fowles & Cassiday. Zie ook sectie 7.3 in Fowles & Cassiday Page 3

4 Opgave 3. (Bepaal de snelheid van een kogel) a. De totale impuls van een systeem (in dit geval kogel en blok) is altijd behouden bij de afwezigheid van externe krachten. De kinetische energie is niet behouden, want de botsing is niet volledig elastisch: bij een volledig elastische botsing zou de kogel terugstuiteren van het veel zwaardere houten blok. b. Voor de inslag hebben de kogel en het blok gezamenlijk een impuls mv, na inslag is dit (M + m)v blok. Uit impulsbehoud volgt dat deze gelijk zijn, dus v blok = m v. M +m Het blok heeft dan een kinetische energie T = (M + m)v blok. We kiezen V =. Als het blok op zijn hoogste punt is, is T =, en heeft het blok een potentiele energie V = (M + m)g h, waarbij h de hoogte is van het blok t.o.v. de oorspronkelijke hoogte. Uit behoud van energie, E = T + V, volgt dus: (M + m)g h = (M + m)v blok = (M + m) m M + m v h = m g M + m v Uitgedrukt in de maximale uitwijkhoek hebben we h = `( cos ), dus: cos = h ` = m g` M + m v N.B.: Zoals al opgemerkt bij vraag a is de kinetische energie niet behouden. Dat betekent dat een methode op basis van E = T + V (vergeleken voor de inslag en bij de maximale uitwijking) niet werkt! p c. Oplossen naar v geeft v = M +m m g`( cos ), dus: v = + 5 p 9:8 m=s m ( cos 3 5 ) = 36 m=s d. Als de kogel afketst, dan krijgt de kogel een impuls in de tegengestelde richting. Het impulsverschil van de kogel voor en na de botsing, dat gelijk is aan de impulsoverdracht naar het blok (wegens impulsbehoud), is dus groter voor het metalen blok. Het metalen blok krijgt dus een hogere beginsnelheid en ook een grotere uitwijkhoek. N.B.: het houten blok krijgt de massa van de kogel erbij, dus heeft het houten blok { bij gelijke impuls { een lagere snelheid dan het lichtere massieve blok. Dit eect is echter veel kleiner dan het hierboven genoemde (want de impuls is heel verschillend voor beide blokken). e. De bewegingsvergelijking volgt uit F = ma, ofwel c v = m dv. Deze lossen we op door dt scheiding van variabelen: Z Z dv v = c dv dt () m v = c m dt Page 4

5 c log v = m t + C () v(t) = e (c=m)t+c = C e (c =m)t De randvoorwaarde v() = v legt C vast: v(t) = v e (c=m)t. Integreren geeft: x(t) = Z t v(t )dt = mv c ( e (c =m)t ) f. De indringdiepte is d = lim t! x(t) = mv =c, dus c = mv =d. De versnelling is: a = F m = c v m = mv v d m = v d = (5 m=s) :5 m = 5 6 m=s Opgave 4. (Stuiterende ballen) a. Na de botsing met de grond, dus voor de botsing met de bovenste bal, heeft de onderste bal snelheid v M = v. Het massamiddelpunt heeft snelheid v cm = mv m + Mv M m + M = m M m + M v In het zwaartepuntstelsel zijn de snelheden van de ballen dus v m = v m v cm = M m + M v en v M = v M v cm = m m + M v Na de botsing zijn de snelheden van teken veranderd, v m = v m en v M = v M. (In het algemeen, in meer dan dimensie, zijn de groottes van de snelheden, voor en na de botsing, in het zwaartepuntstelsel hetzelfde bij een elastische botsing. Dit volgt makkelijk uit het gegeven dat de totale impuls nul is in het zwaartepuntstelsel.) b. Terug in het ruststelsel vinden we v m = v cm + v m = v cm v m = m 3M m + M v en v M = 3m M M + m v c. Op basis van het antwoord bij b zien we dat vm vm = v. = als M=m = 3. Invullen geeft d. Impuls- en energiebehoud zijn gegeven door mv m + Mv M = mvm + MvM en mv m + Mv M = mv m + Mv M. Invullen van de gegeven beginsnelheden en de conditie v M = geeft: (m M)v = mv m en (m + M)v = mv m Als we de eerste relatie voor vm in de tweede substitueren (en delen door v ) vinden we de relatie (m M) m + M = m met als oplossing M=m = 3. Page 5