TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS"

Martina Greta Kok
5 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS Tentamen Polymeerverwerking (4K550) vrijdag 2 juli 2004, 14:00-17:00. Bij het tentamen mag het boek Modeling in Materials Processing van Dantzig en Tucker gebruikt worden. Het gebruik van andere aantekeningen en laptop is NIET toegestaan. Het tentamen levert maximaal 40 punten op waarvan de verdeling aan het eind is aangegeven. 1. Beantwoord de volgende vragen met ja of nee en geef daarbij een korte argumentatie. Bij een goed antwoord met juiste argumentatie krijgt men per vraag 1 punt. Bij een ernstige fout in de argumentatie wordt geen punt toegekend ondanks een correct antwoord. Bij een correct antwoord zonder argumentatie wordt een 1 2 punt toegekend. (a) Gegeven is het stationaire driedimensionale stromingsveld v = (v x, v y, v z ) in het x y z vlak: v x = αy, v y = 2αz, v z = αx (α > 0). (1) Is het snelheidsveld divergentievrij? (b) Beschouw het spuitgietproces in een smalle strip met dimensies H = 2.5 mm, L = 175 mm en V = 60 mm/s voor een polymeer met de eigenschappen ρ = 1200 kg/m 3, µ = 750 N s/m 2 en Γ = N/m. Is het waar dat als we naar lokale effecten kijken oppervlaktespanning van belang is? (c) Is het waar dat als gevolg van concentratiegradiënten in een binair mengsel in rust de stof met de laagste dichtheid ook de laagste diffusiesnelheid heeft? (d) Het temperatuurveld in een draad tijdens een spinproces wordt gegeven door T = 12.5 ln(x 2 + y 2 ) (2) De thermische warmtegeleidingscoefficient is gelijk aan k = 0.10 W/mK. Is het waar dat de radiële component van de warmteflux gegeven wordt door q r = 5 r? (e) Dimensieloze groupen zijn altijd positief. Is dit waar? (f) De druk in een luchtbel is hoger dan de druk buiten de luchtbel als gevolg van grensvlakspanning. Deze druk neemt toe voor kleinere druppels. Is dit waar? (g) In een extruder bevindt zich zowel vloeistof A als vloeistof B. In afwezigheid van Marangoni effecten gelden twee interface condities: i. v A = v B ii. t A = t B, dus continuïteit van snelheid en tractie. Is dit waar? (h) Een stalen plaat met een dikte van 5mm en een thermische diffusiviteit van 10 mm 2 /s kan als halfoneindig worden beschouwd indien t 5 16s. Is dit waar?

2 (i) De temperatuurverdeling tijdens een spietgietproces wordt gegeven door: T (x, y, z, t) = (x t) + (z + t) 2, de snelheid van het polymeer is v x = 1, v y = 1, v z = 2. Is het waar dat de afgeleide van de temperatuur gemeten op t = 0 door een waarnemer die de meet op de positie x = 1, y = 2, z = 0.5 gelijk is aan T = 1.5. (j) Is het waar dat de Hele-Shaw benadering alleen gebruikt kan worden indien we veronderstellen dat de druk in één richting constant is.

3 2. In deze opgave kijken we naar het opstarten van een sleepstroming van een Newtonse vloeistof tussen twee parallelle platen waarbij de afstand tussen de twee platen H bedraagt. Initieel zijn beide platen in rust, maar op tijdstip t = 0 begint de bovenplaat instant-aan te bewegen met een snelheid V in de x-richting. Traagheid kunnen we initieel niet verwaarlozen en het snelheidprofiel heeft de vorm zoals aangegeven aan de bovenkant in figuur 1(a). figuur 1(b) geeft het stationaire snelheidsprofiel. Voor het gemak gaan we uit van een 2D stroming en veronderstel verder dat de zwaartekracht verwaarloost kan worden. Verder veronderstellen we dat x-component van de snelheid niet in de x-richting verandert. We zijn met name geïntresserd in de tijd die nodig om een stationaire stromingprofiel te ontwikkelen. V y x H (a) V PSfrag replacementsy x H (b) Figuur 1: Opstarten van een sleepstroming tussen twee parallelle platen. (a) Geef de balansvergelijkingen die het opstarten van de sleepstroming beschrijven. (b) Welke begin- en randvoorwaarden gelden hier? (c) Voor dimensieloze variabelen en schaal de impulsbalans in de x-richting. Bepaal de karakteristieke tijdschaal voor dit probleem in termen van de bekende parameters. (d) Bepaal de numerieke waarde van de tijdschaal ervan uitgaand dat het polymeer de volgende eigenschappen heeft: ρ = 1x10 3 kg/m 3, µ = 2.3x10 2 Pas, de afstand H tussen de platen is 0.1mm en de snelheid van de plaat is 18m/s. (e) Bepaal het snelheidsveld.

4 3. Bij vele polymeerverwerkingsprocessen hebben we te maken met situaties die we alleen goed kunnen beschrijven indien we alle balansvergelijkingen gekoppeld oplossen. In deze opgave gaan we kijken naar de invloed van viskeuze dissipatie in een drukgedreven polymere stroming van een niet-newtonse vloeistof. Voor het gemak beschrijven we het polymeer met het power-law model τ = 2m γ n 1 D. T = T 1 PSfrag replacements y p in H puit V x T = T 2 Figuur 2: Drukstroming van een power-law vloeistof tussen twee parallelle platen. (a) Laat zien dat γ = 2 II D = ( ) P 1/n y 1/n. ml (b) Laat zien dat de viskeuze dissipatie term voldoet aan ( ) P y 1+1/n τ : D = m. (3) ml (c) Geef, gebruikmakend met het resultaat van vergelijking 3, de energievergelijking in de meest vereenvoudigde vorm. (d) Voor dimensieloze parameters in en maak de gevonden energievergelijking dimensieloos. Geef ook de randvoorwaarden voor de dimensieloze temperatuur θ. (e) Schaal de partiële differentiaalvergelijking en maak gebruik van de geometrische eigenschappen (H << L) om de in onderdeel 3d gevonden vergelijking te vereenvoudigen. Laat zien de oplossing gegeven wordt door waarbij s = 1/n. θ = m H s+3 k(s + 2)(s + 3) T ( ) p s+1 ( 1 y +3), ml (f) Definieer het Brinkman getal voor deze power-law stroming. Bereken het Brinkman getal indien gegeven is: m = Ns n /m, n = 0.2, T = 30K, ρ = 10 3 k g/m 3, k = 0.25 W/mK, H = m, L = 0.1 m en V = m/s. (g) Teken de temperatuurverdeling tussen de twee platen. (h) In deze opgave is de sterke aanname gemaakt dat de viscositeit niet afhankelijk is van de temperatuur. Nu is dat in het algemeen niet waar; beschrijf kort hoe we de temperatuur zouden kunnen bepalen?

5 4. De concentratie van stof A bij de anode van een brandstofcel ter dikte van 80µm bedraagt c anode = 1mmol/l. De concentratie bedraagt bij de kathode c kathode = 0.2mmol/l. De partitiecoëfficient k voor deze stof A is k = 10 en de diffusiecoëfficient D voor stof A in de membraan is D = 10 9 m 2 /s. De concentraties c anode en c kathode buiten de membraan worden constant verondersteld. Onderstaande figuur geeft een schets van de situatie in de membraan. δx d δx PSfrag replacements c anode anode membraan kathode c kathode x = 0 x = d Figuur 3: Membraan uit een PEM brandstofcel. (a) Veronderstel dat op tijdstip t = 0 de concentratie c(x) binnen het membraan gelijk is aan c i. Geef de differentiaalvergelijking met de bijbehorende rand- en beginvoorwaarden die de concentratie in het membraan als functie van plaats en tijd beschrijven. (b) Na verloop van tijd ontstaat er een evenwicht. waarin zich het evenwicht instelt. (c) Laat zien dat in evenwicht geldt dat c 2 x 2 = 0 en geef de evenwichtsconcentratie als functie van de positie x. (d) Bereken de diffusiefux van stof A in de evenwichtssituatie. Geef een schatting van de tijd

6 Verdeling van de punten Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 a) b) c) d) e) f) 1 2 g) 1 1 h) 1 1 i) 1 j) 1

Vergelijkbare documenten

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS Tentamen Polymeerverwerking (4K550) vrijdag 8 oktober 2004, 09:00-12:00. Bij het tentamen