TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technoloie, roep Cardiovasculaire Biomechanica Tentamen Fysica in de Fysioloie (8N070) deel A1, blad 1/4 maanda 28 september 2009, uur Het tentamen bestaat uit 2 vraastukken die samen maximaal 40 punten opleveren. De verdelin is bij de vraen aaneeven. Geef bij alle antwoorden een arumentatie. 1. Beantwoord de volende vraen en eef hierbij ook een arumentatie. De roek is een intelliente voel: om een walnoot open te breken laat hij de noot van rote hoote vallen. Na een initiële versnellin zal de noot uiteindelijk, onder invloed van luchtwrijvin, een constante valsnelheid v c bereiken, waarna hij op de rond in stukken breekt. Een bioloo bedenkt dat de uiteindelijke valsnelheid van de noot v c afhant van de massa van de noot m, de ravitatieversnellin en een wrijvinscoëfficiënt b, die het verband let tussen de wrijvinskracht F w en de snelheid v volens: F w = b v (a) Toon aan dat het fysisch correct is om b uit te drukken in N s m 1. (b) Hoeveel dimensieloze roepen beschrijven dit probleem en waarom? (c) In bovenstaand probleem wordt ezocht naar het volende dimensieloze verband: Π(v c, m,, b) = 0 [v a v c m a m a b a b ] = 1. Bereken een moelijke dimensieloze roep die het probleem beschrijft. Een BMT-student bedenkt dat de wet van Stokes een rol speelt: volens deze wet eldt voor de wrijvinskracht F w, werkend op een bol met straal R, die zich met een snelheid v door een medium met viscositeit η beweet, de volende relatie: F w = 6πRη v Hij bedenkt dat de uiteindelijke valsnelheid van de noot v c afhant van de straal van de noot R, de massa van de noot m, de viscositeit van de lucht η, en de ravitatieversnellin. 4 pnt (d) Toon aan dat het fysisch correct is om de viscositeit η uit te drukken in N s m 2. (e) Toon aan dat dit probleem door 2 dimensieloze roepen wordt beschreven. (f) In bovenstaand probleem wordt ezocht naar het volende dimensieloze verband: Π(v c, R, m, η, ) = 0 [v a v c R a R m a m η a η a ] = 1. Bereken 2 moelijke dimensieloze roepen π 1 en π 2 die dit probleem beschrijven. 1

2 () Om het probleem van de vallende noot nader te bestuderen, besluit de student de tweede wet van Newton toe te passen. Aanezien de dichtheid van de noot vele malen roter is dan die van lucht verwaarloost hij de opwaartse kracht die de noot van de lucht ondervindt. Laat zien dat de tweede wet van Newton leidt tot de volende differentiaalverelijkin voor de snelheid v: dv dt + Av + B = 0 met constanten A en B. Druk A en B uit in de rootheden m,, R en η. (h) Geef op basis van deze differentiaalverelijkin een uitdrukkin voor de eindsnelheid v c. (i) Laat zien dat de oplossin van deze differentiaalverelijkin eschreven kan worden als: v(t) = C ( 1 e ) t/τ waarin C en τ constanten zijn. Druk C en τ uit in de rootheden A en B. Het voorbeeld van de vallende noot inspireert de student tot het meten van de viscositeit van bloedplasma, η p, aan de hand van een valexperiment met bolletjes in bloed. Hij ebruikt de volende relatie voor de eindsnelheid v c : v c = 2 (ρ b ρ p )R 2 9 η p waarin ρ b en ρ p de dichtheid van de bolletjes en het plasma voorstellen, de ravitatieversnellin, en R de straal van het bolletje. 4 pnt (j) In het experiment worden de volende waarden bepaald: ρ b = (2.00 ± 0.01) 10 3 k m 3, ρ p = (1.00 ± 0.01) 10 3 k m 3, R = 1.00 ± 0.05 mm, v c = 0.6 ± 0.1 m s 1. Verder eldt = 9.81±0.01 m s 2. Bereken met deze eevens de waarde en de nauwkeuriheid van η p, met hierin het juiste aantal sinificante cijfers. 2

3 Tentamen Fysica in de Fysioloie (8N070) deel A1, blad 3/4 maanda 28 september 2009, uur 2. We beschouwen het atletiek-onderdeel koelslineren. In de bewein van de koel kunnen we twee fasen onderscheiden. In fase 1 wordt de koel door de atleet aan een touw in een cirkelvormie baan met straal R rondeslinerd, zie onderstaande fiuur. We nemen aan dat de koel een constante hoeksnelheid ω 0 heeft en een massa m. Het touw, dat een hoek θ met het x y vlak maakt, ma massaloos verondersteld worden. Op t = 0 s bevindt de koel zich in punt A en eldt y = 0. In punt B eldt x = 0. Voor de berekeninen wordt een Cartesische basis { e x, e y, e z } ebruikt. De ravitatieversnellin heeft een rootte. e z z = H 2 e y e x z = H 1 φ(t) R θ m B A O (a) Toon aan dat de positie r(t) van de koel ten opzichte van de oorspron O eeven wordt door: r(t) = R cos(ω 0 t) e x + R sin(ω 0 t) e y + H 1 e z (b) Bepaal de snelheid van de koel v(t) en de versnellin van de koel a(t) uitedrukt in de rootheden R, ω 0, t en de basisvectoren. (c) Teken het free body diaram van de koel als deze zich in positie B bevindt. (d) Gebruik de tweede wet van Newton om de rootte van de spankracht T in het touw uit te drukken in de rootheden θ, m en. (e) Druk de hoek θ uit in de rootheden ω 0, R en. Ga door op de volende paina. 3

4 Fase 2 beint op het moment dat de koel wordt loselaten in punt B op een hoote H, met een snelheid v 0 onder een hoek α met het horizontale vlak, zoals te zien is in onderstaande fiuur. We definiëren dit moment als t = 0 s. Tijdens de vlucht is de koel onderhevi aan de ravitatieversnellin. Luchtwrijvin ma worden verwaarloosd. In punt C raakt de koel de rond. e z v 0 e x B α H O C s (f) Bereken de snelheidsvector van de koel als functie van de tijd, uitedrukt ten opzichte van de basis { e x, e z }. () Bereken de positie van de koel als functie van de tijd, emeten ten opzichte van de oorspron O. (h) Bereken de maximale hoote die de koel bereikt. (i) Bereken de afstand s die de koel in horizontale richtin aflet tot hij in punt C op de rond belandt. (j) We verwaarlozen nu de invloed van de afwerphoote H op de afstand s door H = 0 te stellen. Bereken de hoek α, waarbij de afelede afstand s maximaal is. Bereken ook de maximale afstand. 4

5 1. Antwoorden: TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technoloie, roep Cardiovasculaire Biomechanica Antwoorden by het tentamen Fysica in de Fysioloie (8N070) maanda 28 september 2009, uur 4 pnt (a) [b] = [F w ][v] 1, dus N s m 1 is een passende eenheid. (b) Het aantal fysische rootheden n bedraat n = 4. Dimensies zijn: [v c ] = LT 1, [m] = M, [] = LT 2, [b] = MT 1. Het aantal basisdimensies k bedraat dus k = 3. Volens het Buckinham Π-theorema wordt het probleem dan beschreven door n k = 1 dimensieloze roep. (c) Invullen van de dimensies eeft: Dit eeft: 1 = (LT 1 ) av M am (LT 2 ) a (MT 1 ) a b = L av+a T av 2a a b M am+a b a v + a = 0 a v 2a a b = 0 a m + a b = 0 Kiezen we a v = 1 dan volt a = 1, a b = 1 en a m = 1. Een moelijke dimensieloze roep is dus π 1 = bv/m. (d) [η] = [F w ][R] 1 [v] 1, dus N s m 2 is een passende eenheid. (e) Het aantal fysische rootheden n bedraat n = 5. Dimensies zijn: [v c ] = LT 1, [R] = L, [m] = M, [η] = ML 1 T 1, [] = LT 2. Het aantal basisdimensies k bedraat dus k = 3. Volens het Buckinham Π-theorema wordt het probleem dan beschreven door n k = 2 dimensieloze roepen. (f) Invullen van de dimensies eeft: Dit eeft: 1 = (LT 1 ) av L a R M am (ML 1 T 1 ) aη (LT 2 ) a = L av+a R a η a T av aη 2a M am+aη a v + a R a η + a = 0 a v a η 2a = 0 a m + a η = 0 Kiezen we bijvoorbeeld a m = 0 en a = 1 dan volt a η = 0, a v = 2 en a R = 1. Een moelijke eerste dimensieloze roep is dus π 1 = R/v 2. Voor de moelijke tweede roep kiezen we a m = 1 en a = 0, waarna volt a η = 1, a v = 1 en a R = 2. Dus vinden we π 2 = mv/ηr 2. () De tweede wet van Newton levert: Fw + F = m a. Met F w = 6πηRv e z en F = m e z vinden we: 6πηRv m = ma = m dv dt dv dt + 6πηR m v + = 0 5

6 4 pnt en dus: A = 6πηR m ; B = (h) Als de eindsnelheid v c bereikt is, eldt dv/dt = 0, ofwel Av c + B = 0 en dus v c = B/A = m/6πηr. (i) Invullen van de estelde oplossin levert: C τ e t/τ + AC ( 1 e t/τ ) + B = 0 Dit moet elden voor alle t > 0, en dus volt: τ = 1 ( = m ) ; C = B ( = m ) A 6πηR A 6πηR = v c (j) Er eldt en dus: η p = 2 (ρ b ρ p )R 2 9 v c η p = (ρ b ρ p ) + η p ρ b ρ p + 2 R R + v c v c Met (ρ b ρ p ) = ρ b + ρ p volt: ( 1 τ A ) Ce t/τ + (AC + B) = 0 η p η p Invullen van de emeten waarden levert tenslotte η p = (3.6 ± 1.1) 10 3 N s m 2, of, iets voorzichtier, η p = (4 ± 1) 10 3 N s m 2. 6

7 2. Antwoorden: (a) Uit de fiuur volt z = H 1. De x en y coördinaat variëren in de tijd door variatie van de hoek φ in de tijd volens φ(t) = ω 0 t. Controle voor punt A met φ = 0 en punt B met φ = π/2 laat zien dat de eeven positievector correct is. (b) De snelheid volt uit: v = d r dt = ω 0R sin(ω 0 t) e x + ω 0 R cos(ω 0 t) e y De versnellin volt uit: a = d v dt = ω2 0R cos(ω 0 t) e x ω 2 0R sin(ω 0 t) e y (c) Free body diaram T ontbinden in componenten T T T sin θ m (d) De tweede wet van Newton eeft voor de z richtin: ΣF z = m + T sin θ = 0 T = m sin θ (e) De tweede wet van Newton eeft voor de y richtin: ΣF y = T cos θ = mω0r 2 cos θ = mω2 0R T ( ) θ = arctan ω0r 2 e z T cos θ e y θ = ω2 0R sin θ m 7

8 (f) Voor de snelheid eldt: v(t) = v 0 + t () Voor de positie eldt: r(t) = r t 0 adt = v 0 cos(α) e x + (v 0 sin(α) t) e z vdt = H e z + v 0 cos(α)t e x + (v 0 sin(α)t 1 2 t2 ) e z. (h) De maximale hoote h max wordt bereikt op tijdstip t max met v z (t max ) = 0. Dus: v 0 sin(α) t max = 0 t max = v 0 sin(α) Voor h max eldt dan: h max = z(t max ) = H + v2 0 sin 2 (α) 2 (i) De afstand s wordt bereikt op tijdstip t s met z(t s ) = 0. Dus: H + v 0 sin(α)t s 1 2 t2 s = 0 t s = v 0 sin(α) + v0 2 sin 2 (α) + 2H Voor s eldt dan: s = v 0 cos(α)t s (j) Bij H = 0 volt: t s = 2v 0 sin(α) De afstand s is extreem als ds/dα = 0: ds dα = 0 d sin(2α) dα s = 2v2 0 sin(α) cos(α) = 0 cos(2α) = 0 = v2 0 sin(2α) α = π 4 (s = s max = v2 0 ) Vertalin naar de praktijk: het wereldrecord koelslineren bij de mannen staat sinds 1986 op m. De snelheid v 0 moet daarbij minimaal (waarom minimaal?) 29 m/s eweest zijn, ofwel 105 km/uur. Het wereldrecord bij de vrouwen, m, dateert van 22 auustus