TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N070) vrijdag 9 januari 2009, uur Het tentamen bestaat uit 4 opgaven die elk maximaal 10 punten opleveren. De verdeling is bij de vragen aangegeven. Geef bij alle antwoorden een argumentatie. 1

2 1. Een cilindrisch bloedvat met lengte l, wanddikte h en inwendige straal a wordt door middel van een horizontale kracht F verlengd tot een lengte l + l (zie onderstaande figuur). De binnenstraal a en de wanddikte h veranderen hierdoor niet: we verwaarlozen de invloed van dwarscontractie. h a F l (a) Druk de trekspanning in de vaatwand uit in F, a en h. (b) Druk de Young s modulus E uit in a, h, l, l en F. Een biomedisch ingenieur zoekt naar een methode om E-modulus van de aortawand in vivo te bepalen. Hij herinnert zich dat de golfsnelheid c van drukgolven in de aorta afhangt van de E-modulus, de dichtheid van het bloed ρ, de binnenstraal van de aorta a en de dikte van de aortawand h. Hij gaat de relatie tussen E, c, ρ, a en h afleiden via het Buckingham Π-theorema. (c) Hoeveel dimensieloze groepen beschrijven dit probleem en waarom? (d) In bovenstaand probleem wordt gezocht naar het volgende dimensieloos verband tussen de grootheden: Π(E, c, ρ, a, h) = 0 [E α E c αc ρ αρ a αa h α h ] = 1. Laat zien dat twee mogelijke dimensieloze groepen worden gegeven door: π 1 = E ρc 2 en π 2 = h a. (e) Het exacte verband tussen c, E, ρ, a en h wordt gegeven door: E = 2ρc2 a h Laat zien dat dit verband voldoet aan het Buckingham Π-theorema. In een patiënt wordt de golfsnelheid c bepaald door met behulp van ultrageluid de tijdstippen t A en t B te meten, waarop het maximum van de drukgolf twee posities A en B in de aorta passeert. (f) De afstand s tussen de posities A en B bedraagt (10.0 ± 0.1) mm. Voor de tijdstippen geldt t A = (2.4 ± 0.2) ms en t B = (4.0 ± 0.2) ms. Bereken de waarde en nauwkeurigheid van c in de vorm c± c, met hierin het juiste aantal significante cijfers. (g) In de patiënt wordt verder gemeten dat 2a = (20 ± 1) mm en h = (1.0 ± 0.2) mm. De dichtheid van het bloed bedraagt ρ = (1000 ± 1) kg m 3. Bereken de waarde en nauwkeurigheid van E in de vorm E ± E, met hierin het juiste aantal significante cijfers. 2

3 2. We analyseren de sprong van een ski-schansspringer op Nieuwjaarsdag in Garmisch- Partenkirchen, gebruik makend van onderstaande figuur. We modelleren de skiër als een puntmassa met massa m. De skiër start in punt A met snelheid nul en glijdt tot punt B naar beneden over een stuk schans met een constante helling α. Hij overbrugt daarbij een hoogteverschil h. Na punt B gaat de schans geleidelijk aan horizontaal lopen tot aan punt C, waar de skiër de schans verlaat. De wrijvingskracht F w,schans tussen de skiër en de schans wordt gekarakteriseerd door de kinetische wrijvingscoëficiënt µ k. Het is windstil. We modelleren de wrijvingskracht F w,lucht, die de skiër van de lucht ondervindt, door F w,lucht = k v waarin v de snelheid van de skiër is, en k een constante. De gravitatie-versnelling g werkt in de vertikale richting. A h m e y e x g α B C (a) Teken in een free-body -diagram de krachten die op de skiër werken. (b) Werk de tweede wet van Newton uit in componenten ten opzichte van het coördinatenstelsel { e x, e y }, gegeven in de figuur. We beschouwen nu eerst de situatie waarin µ k = 0 en k = 0. (c) Bereken op grond van een energiebeschouwing de grootte van snelheid v B van de skiër in punt B. Als volgende stap beschouwen we de situatie waarin µ k 0 en k = 0. (d) Druk grootte van snelheid v(t) van de skiër als functie van de tijd t uit in g, α, µ k en t. (e) Druk de tijd t B waarin de skiër punt B bereikt uit in g, α en µ k. Bereken uit combinatie met antwoord (d) de grootte van snelheid v B van de skiër in punt B. (f) Bereken de snelheid v B op grond van een energiebeschouwing. Als laatste stap beschouwen we de situatie waarin µ k = 0 en k 0. (g) Laat zien dat toepassing van de tweede wet van Newton in deze situatie leidt tot de volgende differentiaalvergelijking voor de grootte van de snelheid v: dv dt + βv γ = 0 Druk de coëfficiënten β en γ uit in k, m, g, en α. (h) Druk de maximale snelheid die de skiër nu kan bereiken uit m, g, α en k. 3

4 3. Een aquariumhouder hevelt zijn aquarium leeg via een slang, zie onderstaande figuur. De bovenrand van het aquarium bevindt zich op een hoogte h a, het waterniveau bevindt zich op een hoogte h w, en het uiteinde van de slang bevindt zich op een hoogte h s. Het wateroppervlak in het aquarium heeft een grootte A w en daalt met een snelheid v w. Het water stroomt met een snelheid v s uit de slang, die een dwarsdoorsnedeoppervlak A s heeft. De dichtheid van de vloeistof is ρ. De omgevingsdruk is gelijk aan p 0. De gravitatie-versnelling bedraagt g. A w, v w h a h w h s A s, v s (a) Geef op basis van de wet van behoud van massa een relatie tussen v s en v w. (b) Onder welke voorwaarden mag de vergelijking van Bernoulli worden gebruikt? (c) Neem aan dat de vergelijking van Bernoulli mag worden toegepast. Toon aan dat geldt: v s = α 2g(h w h s ) en geef een uitdrukking voor de factor α. (d) Hoe kan de aquariumhouder met dezelfde slang het legen van zijn aquarium bespoedigen? (e) De waterhoogte h w is een functie van de tijd. Leid op grond van de antwoorden bij (a) en (c) een vergelijking af voor dh w dt als functie van A s, A w, h s, h w, g, en de factor α uit onderdeel (c). (f) Om de stroming door de slang op gang te krijgen moet er water in de slang worden aangezogen door in de slang een onderdruk p 1 te creëren. Hoe groot moet deze onderdruk minimaal zijn? (g) Leg uit waardoor de stroming, als hij eenmaal op gang gekomen is, in stand blijft. 4

5 4. We beschouwen geluidsgolven in een orgelpijp aan de hand van onderstaande figuur. De orgelpijp heeft een vast doorsnedeoppervlak A 0. In de rust-toestand heerst overal in de pijp een druk p 0, en heeft de lucht een dichtheid ρ 0. Op een zeker moment tijdens het bespelen heerst er op positie z 0 een druk p 0, en op positie z 1 een druk p 1 < p 0. Op deze posities verplaatst de lucht over een afstand u 0 en u 1. De gemiddelde dichtheid van de lucht in het cilindertje, aangegeven in de figuur, bedraagt nu ρ, de gemiddelde druk bedraagt p. De lucht heeft een compressiemodulus κ. Luchtwrijving mag worden verwaarloosd. A 0 u 1 u 0 p0 p 1 z 0 z 1 (a) Druk de netto kracht F, die op het cilindertje lucht tussen z 0 en z 1 werkt, uit in A 0, p 0 en p 1. Geef aan in welke richting de kracht werkt. (b) Door deze netto kracht zal het cilindertje lucht een versnelling a ondergaan. Gebruik de tweede wet van Newton om deze versnelling a uit te drukken in ρ 0, p 0, p 1, z 0 en z 1. (c) Gebruik de wet van behoud van massa om de gemiddelde dichtheid ρ uit te drukken in ρ 0, u 0, u 1, z 0 en z 1. (d) Druk de gemiddelde drukverandering p = p p 0 in het cilindertje uit in κ, u 0, u 1, z 0 en z 1. Verder uitwerken van de wet van behoud van massa en de tweede wat van Newton leidt uiteindelijk tot de volgende differentiaalvergelijking voor de druk p: 2 p t 2 κ 2 p ρ z 2 = 0 3 pnt (e) Een drukgolf in een orgelpijp wordt beschreven door de volgende uitdrukking voor de druk p als functie van de plaats z en de tijd t: p(z, t) = p 0 + A cos (k(z ct)) waarin k het golfgetal is en c de golfsnelheid. Toon aan dat deze golf voldoet aan de bovenstaande differentiaalvergelijking. Druk c uit in de eigenschappen van de lucht. (f) In de orgelpijp ontstaan staande golven. worden met: p(z, t) = p 0 + A 1 cos (k(z ct)) + A 2 cos (k(z + ct)) De druk p(z, t) kan dan beschreven Geef een fysische interpretatie van de laatste twee termen in het rechterlid. (g) Druk de toonhoogten die de orgelpijp kan voortbrengen uit in de lengte van de pijp L en de eigenschappen van de lucht. 5

6 Antwoorden 1. (a) Voor de trekspanning σ t geldt: σ t = F A = F π(a + h) 2 πa 2 = (b) De Young s modulus E volgt uit: E = σ ɛ = F l π(2ah + h 2 ) l F π(2ah + h 2 ) (c) Er zijn 5 fysische grootheden (E, c, ρ, d, h) en 3 basis dimensies (L, M, T). Er zijn dus 5-3=2 dimensieloze groepen die het probleem beschrijven. (d) Uit [E α E c α c ρ α ρ a α a h α h ] = 1 volgt bij invullen van de dimensies: 1 = M αe L αe T 2αE L αc T αc M αρ L 3αρ L αa L αh M 0 L 0 T 0 = M α E+α ρ L α E+α c 3α ρ +α a +α h T 2α E α c Dit geeft: α E + α ρ = 0 α E + α c 3α ρ + α a + α h = 0 2α E α c = 0 De groep π 1 vinden we uit de keuze α E = 1; α h = 0, waarna volgt α ρ = 1, α c = 2 en α a = 0. De groep π 2 vinden we uit de keuze α E = 0; α h = 1, waarna volgt α ρ = 0, α c = 0 en α a = 1. (e) Het exacte verband kan geschreven worden als: E ρc 2 = 2a h π 1 = 2 π 2 π 1 2 π 2 = 0 Met andere woorden, de relatie Π(E, c, ρ, a, h) = 0 kan geschreven worden als Π(π 1, π 2 ) = 0, of π 1 = Φ(π 2 ). (f) Voor de snelheid geldt c = s t B t. De relatieve fout in c is gelijk aan de som A van de relatieve fouten: c c = s s + (t B t A ) t B t = 0.1 A = 26%. We vinden daarmee c = (6 ± 2) m/s. (g) Uit E = 2ρc2 a h volgt voor de relatieve fout: E E = ρ ρ + 2 c c + a a + h 0.1% + 52% + 5% + 20% 77%. We vinden daarmee E = (8 ± 6) 10 5 Pa. h = 6

7 2. (a) Free body diagram: F w,lucht N F w,schans F z cos α α F z sin α e y F z e x (b) De tweede wet van Newton levert: Fx = F z sin α F w,schans F w,lucht = ma x Fy = F z cos α + N = 0 (c) Bij afwezigheid van wrijvingskrachten is de mechanische energie E = K + U behouden: E A = mgh = E B = 1 2 mv2 B v B = 2gh (d) Uit de tweede vergelijking in (b) volgt N = F z cos α. Met F z = mg en F w,schans = µ k N volgt uit de eerste vergelijking mg sin α µ k mg cos α = ma x en dus a x = g(sin α µ k cos α). Voor de x-component van de snelheid geldt dan v(t) = v 0 + t 0 a xdt = a x t = g(sin α µ k cos α)t. (e) Voor de afgelegde weg s geldt s(t) = s 0 + t 0 v xdt = 1a 2 xt 2. De afstand s AB tussen A en B bedraagt h/ sin α, zodat t B = 2h a x sin α en dus v B = a x t B = 2hax sin α. Substitutie van de uitdrukking voor a x geeft: 2h t B = g(sin α µ k cos α) sin α 2gh(sin α µk cos α) cos α v B = = 2gh(1 µ k sin α sin α ) (Vergelijking met antwoord (c) geeft het snelheidsverlies t.g.v. wrijving.) (f) De verandering van de mechanische energie is gelijk aan de arbeid van de nietconservatieve wrijvingskracht W v, dus E = U + K = W v. Met W v = F w,schans s AB = µ k mg cos α (h/ sin α), U = mgh, K B = K en v B = 2K B /m volgt v B = 2 K/m = 2(W v U)/m = 2gh(1 µ cos α k sin α ). (g) Uit onderdeel (b) volgt voor µ k = 0 en k 0 dat mg sin α kv = ma x = m dv dt, ofwel dv dt + m k v g sin α = 0, zodat blijkbaar geldt β = k/m en γ = g sin α. (h) De snelheid is maximaal als dv dt = 0. Dan geldt v = v max = γ/β = mg sin α/k. (Een zwaardere skiër is dus in het voordeel.) 7

8 3. (a) Er geldt v w A w = v s A s, ofwel v s = v w (A w /A s ). (b) De stroming moet wrijvingsloos, incompressibel en stationair zijn. (c) Volgens Bernoulli geldt: p 0 + ρgh w ρv2 w = p 0 + ρgh s ρv2 s, ofwel vs 2 = vw 2 + 2g(h w h s ). Na eliminatie van v w volgens antwoord (d) volgt vs(1 2 (A s /A w ) 2 ) = 2g(h w h s ), ofwel v s = α 2g(h w h s ) met α = 1 1 (A s /A w ) 2. (d) De aquariumhouder kan v s vergroten door h s te verlagen, dus door de slang een stukje vanuit het aquarium over de rand te trekken. (e) Er geldt v w = dh w dt. Met de antwoorden bij (a) en (c) volgt dan: dh w dt = v s A s A w = A s A w α 2g(h w h s ) (f) Het water moet omhoog gezogen worden over een afstand h a h w. Het cilindertje water in de slang met lengte h a h w en dwarsdoorsnede-oppervlak A s ondervindt een zwaartekracht F z = ρ(h a h w )A s g. Ten gevolge van de druk p 1 aan de bovenkant en de druk p 0 aan de onderkant ondervindt het cilindertje een kracht F p = (p 0 p 1 )A s. Er moet gelden F p > F z, dus p 1 < p 0 ρg(h a h w ). (g) Als het water eenmaal het hoogste punt in de slang gepasseerd is, zal het onder invloed van de zwaartekracht naar beneden stromen. Daardoor dreigt er een onderdruk in de slang te ontstaan, waardoor er nieuw water vanuit het aquarium wordt aangezogen. 8

9 3 pnt 4. (a) De kracht F = (p 0 p 1 )A 0. Omdat p 1 < p 0 is deze kracht naar rechts gericht. (b) Er geldt F = m lucht a met m lucht = ρ 0 A 0 (z 1 z 0 ). Met antwoord (a) volgt dan a = p 0 p 1 ρ 0 (z 1 z 0 ). (c) Er geldt m lucht = ρ 0 V 0 = ρ 0 A 0 (z 1 z 0 ) = ρv = ρa 0 ((z 1 + u 1 ) (z 0 + u 0 )). Hieruit volgt: ρ = ρ 0 z 1 z 0 (z 1 + u 1 ) (z 0 + u 0 ) (d) Er geldt p = κ V V 0. Met V = V V 0 en V en V 0 volgens (c) volgt: p = κ u 1 u 0 z 1 z 0 (e) Bereken de tweede afgeleiden naar z en t: 2 p z 2 = k2 p ; 2 p t 2 = k2 c 2 p 2 p t 2 2 p c2 z 2 = 0 Vergelijking met de gegeven uitdrukking leert dat c = κ/ρ. (f) De staande golven worden beschreven met twee lopende golven, de eerste in positieve z-richting, en de tweede in negatieve z-richting. (g) Voor de golflengten λ die in de pijp passen geldt λ = 2L/n, met n een geheel getal. Met f = c/λ volgt dan: f = n κ 2L ρ 9