TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN aculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Tentamen ysica in de ysiologie (8N070) deel A2 en B, blad /6 donderdag 3 november 2008, uur Het tentamen levert maximaal 50 punten op. De verdeling is bij de vragen aangegeven. Deel A2 omvat opgaven en 2 en levert maximaal 20 punten op. Deel B omvat opgaven 3, 4 en 5, en levert maximaal 30 punten op. De tijd bedraagt 3 uur ongeacht of ervoor wordt gekozen deel A2 te laten vervangen door het al gemaakt deel A in de vorige sessie. Er wordt dus niets tussentijds opgehaald. Geef bij alle antwoorden een argumentatie.

2 pnt pnt pnt pnt pnt pnt pnt pnt Deel A2 (opgaven en 2):. Beantwoord de volgende vragen. (a) De interactie-kracht tussen twee deeltjes met massa s m en M op een onderlinge afstand r wordt beschreven door de gravitatiewet van Newton: = G mm r 2 waarin G de universele gravitatie-constante is. Toon aan dat het fysisch correct is G uit te drukken in m 3 kg s 2. (b) Ten gevolge van de interactie uit onderdeel (a) ondergaat het deeltje met massa M een versnelling a. We gaan de relatie tussen a, m, G en r afleiden via het Buckingham Π-theorema. Hoeveel dimensieloze groepen beschrijven dit probleem en waarom? (c) In bovenstaand probleem wordt gezocht naar het volgende dimensieloos verband tussen de grootheden: Π(a, m, G, r) = 0 [a αa m αm G α G r αr ] =. Laat zien dat een mogelijke dimensieloze groep wordt gegeven door Gm ar 2. (d) Op het aardoppervlak komt de versnelling a uit het vorige onderdeel overeen met de gravitatieversnelling g. We bepalen de waarde van g door een voorwerp vanuit stilstand te laten vallen vanaf een hoogte h 0 = (2.00 ± 0.0) m tot een hoogte h = (.00 ± 0.0) m. We meten dat het voorwerp een tijdsinterval T = 0.45±0.0 s nodig heeft om de afstand te overbruggen. Bereken de waarde en nauwkeurigheid van g in de vorm g ± g, met hierin het juiste aantal significante cijfers. (e) De positie r van een planeet ten opzichte van de zon als functie van de tijd t wordt beschreven door: r = R cos(ωt) e x + R sin(ωt) e y waarin R en ω constanten zijn. e x en e y zijn orthonormale eenheidsvectoren. Bepaal de snelheidsvector v uitgedrukt in de grootheden R, ω, t, e x en e y. (f) Bepaal de grootte van de snelheid v. (g) Laat zien dat voor de versnelling a van de planeet geldt: a = ω 2 r (h) Teken in een free body diagram de krachten die op de planeet werken. (i) De interactiekracht tussen de planeet en de zon wordt beschreven door de gravitatiewet van Newton: = G mm R 3 r waarin G de universele gravitatie-constante is, m de massa van de planeet, en M de massa van de zon. Leid met behulp van de tweede wet van Newton een relatie af tussen de omlooptijd T van de planeet om de zon en afstand R van de planeet tot de zon. 2

3 2. Een blokje met massa m = M hangt aan een massaloos touw dat verbonden is met een blokje met massa m 2 = αm, waarbij α een dimensieloze factor is en α >. Blokje 2 ligt op een helling met hoek θ, zie onderstaande figuur. Op t = 0 s is het systeem in rust. Per blokje wordt een assenstelsel gekozen zodanig dat x-richting parallel is aan de beweging van het blokje, en de y-richting daar loodrecht op staat. De zwaartekracht werkt in positieve x -richting. De versnelling van de zwaartekracht bedraagt g. De wrijving tussen blokje 2 en de ondergrond wordt gekarakteriseerd door de statische wrijvingscoëfficient µ s. y 2 x 2 m 2 y m x θ 3 pnt pnt (a) Teken de free-body diagrammen van beide blokjes. (b) Gebruik de tweede wet van Newton om de versnelling van de blokjes te bepalen als wrijving verwaarloosd mag worden. (c) Neem aan dat wrijving verwaarloosbaar is. Druk de hoek θ 0, waarbij de blokjes op hun plaats blijven, uit in de factor α. (d) Neem θ = 0 en veronderstel dat de wrijving tussen blokje 2 en de ondergrond niet verwaarloosbaar is. Hoe groot moet de statische wrijvingscoëfficiënt µ s minimaal zijn om te voorkomen dat de blokjes in beweging komen? (e) Beantwoord vraag (d) voor een willekeurige hoek θ 0 θ π/2, waarbij θ 0 de hoek uit onderdeel (c) is. 3

4 Deel B: opgaven 3, 4 en 5 3. We beschouwen de mechanica van polsstok-hoogspringen via een eenvoudig model. De atleet wordt voorgesteld als een puntmassa met massa m. De polsstok is massaloos en heeft een lengte l 0. De beweging van de atleet is weergegeven in onderstaande figuur. We verwaarlozen energie-verliezen door wrijving. De gravitatieversnelling met grootte g werkt in negatieve y-richting. y g C v 2 θ P A B l O l 0 x s l 0 Beantwoord de volgende vragen. pnt pnt pnt pnt (a) Tijdens de aanloop over een afstand s van punt A naar punt B levert de atleet een constante kracht 0 in de x-richting. In punt B heeft de atleet een snelheid v bereikt. Druk de snelheid v uit 0, m en s. (b) Druk het gemiddelde vermogen dat de atleet levert gedurende de aanloop uit 0, m en s. (c) In punt B aangekomen plaatst de atleet het uiteinde van de stok in punt O. Samen met het andere uiteinde van de stok beweegt de atleet vervolgens langs een rechte lijn van punt B naar punt C. In een willekeurig punt P op deze lijn bedraagt de potentiële energie U s, die is opgeslagen in de stok: U s = 2 k(l l 0) 2 waarin l de afstand van P tot de oorsprong O is, en k een constante. Druk de energie U s uit in k, l 0 en y. (d) Druk de veerkracht in de stok uit in k, l en l 0. (e) Bereken de grootte van de snelheid van de atleet als functie van zijn y-positie. Houd daarbij rekening met de zwaartekracht. (f) In punt C aangekomen laat de atleet de stok los. Hij heeft dan een snelheid v 2. Druk de grootte v 2 van v 2 uit in v, g en l 0. Onder welke voorwaarde geldt dit antwoord? (g) In punt C maakt de snelheidsvector v 2 een hoek θ met de x-as. Druk de maximale hoogte h die de atleet bereikt uit in l 0, v 2, θ en g. 4

5 4. Uit een kraanopening komt een straal water met een snelheid v 0 en een diameter d 0. Het water is onderhevig aan de gravitatie-versnelling g. De druk in de straal is overal gelijk aan de omgevingsdruk p 0. pnt pnt pnt pnt (a) Op een afstand z van de kraanopening heeft de straal een snelheid v(z). Geef op basis van massabehoud een uitdrukking voor de diameter d(z) van de straal. (b) Onder welke voorwaarden mag de vergelijking van Bernoulli worden gebruikt om de stroomsnelheid v(z) te bepalen als functie van afstand z? (c) Neem aan dat de vergelijking van Bernoulli mag worden toegepast. Druk de snelheid v(z) uit in v 0, z en g. (d) Leid uit combinatie van antwoord (a) en (c) een uitdrukking af voor de diameter d van de straal als functie van de afstand z. Een cilindrisch bloedvat met lengte l, wanddikte h en inwendige straal a wordt door middel van een horizontale kracht verlengd tot een lengte l + l (zie onderstaande figuur). De inwendige straal a en de wanddikte h veranderen hierdoor niet: we verwaarlozen de invloed van dwarscontractie. h a l pnt (e) Druk de trekspanning in de vaatwand uit in, a en h. (f) Druk de Young s modulus E uit in a, h, l, l en. Om de glijdingsmodulus G van bot te bepalen worden twee blokjes bot in een opstelling bevestigd volgens onderstaande figuur. De afmeting van elk blokje is L H D. De blokjes worden op afschuiving belast met een kracht, hetgeen resulteert in een verplaatsing u. H H L dikte D u pnt (g) Geef een uitdrukking voor de afschuiving γ. (h) Druk de glijdingsmodulus G uit in H, D, L, u en. 5

6 5. In deze opgave beschouwen we trillingen en golven in een snaar. pnt pnt pnt pnt pnt pnt (a) Laat met behulp van complexe getallen zien dat geldt: cos(a + b) = cos(a) cos(b) sin a sin(b) (b) Een transversale golf in een snaar wordt beschreven met de volgende uitdrukking voor de uitwijking u als functie van de plaats x en de tijd t: u(x, t) = A cos (k(x ct)) met c = µ waarin k het golfgetal is, c de golfsnelheid, de spankracht in de snaar en µ de massa van de snaar per lengte-eenheid. Toon aan dat deze golf voldoet aan de golfvergelijking. (c) We beschouwen nu staande golven in een gitaarsnaar, die ingespannen is tussen x = 0 en x = L. De uitwijking van de snaar u(x, t) wordt beschreven volgens: u(x, t) = A cos (k(x ct)) + A 2 cos (k(x + ct)) Geef een fysische interpretatie van deze vergelijking. (d) Toon aan dat voor de ingespannen snaar geldt A = A 2. (e) Toon aan dat de golven uit onderdeel (c) geschreven kunnen worden als: u(x, t) = B sin(kx) sin(kct) (f) Geef een uitdrukking voor de golflengten λ die in de snaar kunnen optreden, en druk de bijbehorende frequenties f uit in L, en µ. (g) We beschouwen nu de uitwijking u(t) uit (e) op een vaste positie x 0. Toon aan dat deze uitwijking voldoet aan de trillingsvergelijking. (h) Tot nu toe is in deze opgave demping verwaarloosd. Hoe zal de uitdrukking in (e) veranderen als er wel demping in rekening wordt gebracht? 6

7 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN aculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Antwoorden by het tentamen ysica in de ysiologie (8N070) donderdag 3 november 2008, uur pnt pnt pnt. Antwoorden: [ ] r 2 (a) [G] = [G] = MLT 2 L 2 M 2 = M L 3 T 2 mm Dus m 3 kg s 2 is correct. (b) Er zijn 4 fysische grootheden (a, m, G, r) en 3 basis dimensies (L, M, T). Er is dus 4-3= dimensieloze groep die het probleem beschrijft. (c) Uit [a αa m αm G α G r αr ] = volgt bij invullen van de dimensies: = L α a T 2α a M α m M α G L 3α G T 2α G L α r M 0 L 0 T 0 = M α m α G L α a+3α G +α r T 2α a 2α G pnt pnt pnt pnt pnt Dit geeft: α m α G = 0 ; α a + 3α G + α r = 0 ; 2α a 2α G = 0. Kiezen we α m = dan volgt α G =, α a = en α r = 2. Daarmee volgt als dimensieloze groep Gm ar 2. (d) Voor het experiment geldt (h 0 h ) = gt 2, ofwel g = 2(h 2 0 h )/T 2. De relatieve fout in g is gelijk aan de som van de relatieve fouten: g g = (h 0 h ) h 0 h +2 T T = 2.0% + 4.4% = 6.4%. We vinden daarmee g = (9.9 ± 0.6) m/s 2. (e) Voor de snelheid geldt: v = d r dt = ωr sin(ωt) e x + ωr cos(ωt) e y (f) Voor de grootte van de snelheid geldt: v = ( v v) = ωr (g) De versnelling volgt uit: a = d v dt = ω2 R cos(ωt) e x + ω 2 R sin(ωt) e y = ω 2 r (h) Het free body diagram bestaat uit de massa m waarop slechts één kracht werkt, namelijk de gravitatiekracht. (i) Voor de component van = m a in de richting van r geldt: G mm R 3 = mω 2 = m ( ) 2π 2 T 2 T R 3 = 4π2 GM 7

8 2. Antwoorden: (a) ree body diagrammen: T N T 2 y w y 2 Mg x θ αmg x 2 3 pnt (b) De tweede wet van Newton levert voor de blokjes en 2 in de bijbehorende x-richtingen: = Mg T = Ma 2 = T 2 αmg sin(θ) = αma 2 pnt Door de koppeling van de blokjes via het touw geldt T = T 2 = T en a = a 2 = a. Elimineren van T uit bovenstaande vergelijkingen levert: T = M(g a) = αm(a + g sin(θ)) a = g α sin(θ) + α (c) De versnelling is nul als α sin(θ 0 ) = 0 en dus θ 0 = arcsin(/α). (d) Uit evenwicht voor blokje 2 volgt T w = 0. Met T = Mg en w = µ s N = µ s αmg volgt µ s /α. (e) Voor θ 0 θ π/2 staat blokje 2 op het punt in negatieve x 2 -richting te bewegen, en werkt w in positieve x 2 -richting. De tweede wet van Newton levert in x 2 - richting: T + w αmg sin(θ) = 0 Met w = µ s N = µ s αmg cos(θ) en T = Mg volgt dan: µ s α sin(θ) α cos(θ) 8

9 3. Antwoorden: pnt pnt pnt (a) Tijdens de aanloop is de versnelling van de atleet constant: a = 0 /m. Voor de snelheid en de positie geldt dan: v(t) = v 0 + s(t) = s 0 + t 0 t 0 ( 0 /m)dt = 0 m t v(t)dt = 0 2m t2 Positie s = s wordt bereikt op t = t = v = v(t ) = 2ms / 0. Voor de snelheid v geldt dan 2 0 s /m. Alternatief volgens energiebeschouwing: 0 s = 2 mv2. (b) Het gemiddelde vermogen bedraagt: P gem = W = 0s 0 3 s = t t 2m Hetzelfde resultaat volgt uit P gem = 2 mv2 / t. (c) De baan van B naar C wordt beschreven door y = x + l 0. Met l 2 = x 2 + y 2 volgt dan U s = k ( ) 2 ) 2. x2 + y 2 2 l 0 = k ((y l 0 ) 2 + y 2 l 0 (d) De veerkracht s in de stok volgt uit: s = du s dl = k(l l 0 ) (e) Er werken alleen conservatieve krachten, dus de mechanische energie E = U + K is constant, ofwel E P = E B met E B = 2 mv2 en E P = K P + U s,p + U g,p. Dus: 2 mv2 = 2 mv2 + k (l l 2 0) 2 + mgy ) 2 v = v 2 2gy (k/m) ((y l 0 ) 2 + y 2 l 0 pnt (f) De snelheid v 2 volgt uit antwoord (e) voor y = l 0 : v 2 = v 2 2gl 0. Omdat de potentiële energie in de stok gelijk aan nul is kan het ook direct via: 2 mv2 = 2 mv2 2 + mgl 0. Het antwoord geldt alleen als de kinetische energie in B groter is dan de potentiële energie in C: 2 mv2 > mgl 0. (g) Tijdens de vlucht is de mechanische energie E constant. Op het hoogste punt geldt v y = 0 en v x = v 2,x. Er geldt dus: 2 mv2 + mgh = 2 mv2 2 + mgl 0 2 m(v2 x + vy) 2 + mgh = 2 m(v2 2,x + v2,y) 2 + mgl 0 mgh = 2 mv2 2,y + mgl 0 h = l 0 + v2 2 sin 2 θ 2g 9

10 4. Antwoorden: pnt pnt pnt pnt pnt pnt (a) Behoud van massa geeft: 4 π(d(z))2 v(z) = 4 πd2 0v 0 d(z) = d 0 v0 v(z) (b) De stroming moet wrijvingsloos, incompressibel en stationair zijn. (c) Bernoulli: en dus: 2 ρ (v(z))2 + p 0 + ρg( z) = 2 ρv2 0 + p 0 + ρg0 v(z) = (d) Uit (a) en (c) volgt: ( d(z) = d 0 v gz = v 0 + 2gz v0 2. v 2 0 v gz ) /4 (e) Voor de trekspanning σ t geldt: σ t = A = π(a + h) 2 πa 2 = (f) De Young s modulus E volgt uit: E = σ ɛ = l π(2ah + h 2 ) l (g) Voor de afschuiving geldt: γ = u/h. π(2ah + h 2 ) (h) De afschuifspanning bedraagt σ s = Gγ en de afschuifkracht van één blokje bedraagt s = σ s DL. De tweede wet van Newton levert 2 s = ma = 0. Combinatie levert G = 2DLu H. 0

11 5. Antwoorden: pnt pnt pnt (a) Vergelijk de reële delen van de eerste en laatste regel: e i(a+b) = cos(a + b) + i sin(a + b) = e ia e ib = (cos(a) + i sin(a))(cos(b) + i sin(b)) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b) + i(cos(a) sin(b) + sin(a) sin(b)) (b) Bereken de tweede afgeleiden naar x en t: 2 u x 2 = k2 u ; 2 u t 2 = k2 c 2 u 2 u t 2 2 u c2 x 2 = 0 (c) De staande golven worden beschreven met twee lopende golven, de eerste in positieve x-richting, en de tweede in negatieve x-richting. (d) Voor alle t moet gelden: u(0, t) = A cos( kct) + A 2 cos(+kct) = (A + A 2 ) cos( kct) = 0 A = A 2 pnt pnt pnt (e) Als we stellen A = A 2 = A, dan volgt, gebruik makend van onderdeel (a): u(x, t) = A cos(k(x ct)) A cos(k(x + ct)) = A(cos(kx) cos( kct) sin(kx) sin( kct)) A(cos(kx) cos(kct) + sin(kx) sin(kct)) = 2A sin(kx) sin(kct) = B sin(kx) sin(kct) (f) De golflengten λ moeten passen op de snaar: λ = 2L/n met n =, 2,.... Met k = 2π/λ en ω = 2πf = kc volgt dan: f = ω 2π = kc 2π = c λ = n 2L µ (g) Voor x = x 0 geldt u(x 0, t) = B sin(kx 0 ) sin(kct) = C sin(kct) met C = B sin(kx 0 ). Deze uitdrukking voldoet aan de trillingsvergelijking: d 2 u dt 2 = k2 c 2 u d2 u dt 2 + k2 c 2 u = 0 (h) Demping leidt tot een afname van de amplitude in de tijd: u(x, t) = Be t/τ sin(kx) sin(kct)