TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N7) deel A2 en B, blad 1/5 donderdag 15 november 27, 9-12 uur Het tentamen levert maximaal 5 punten op De verdeling is bij de vragen aangegeven Deel A2 levert maximaal 2 punten op, deel B maximaal 3 De tijd bedraagt 3 uur ongeacht of ervoor wordt gekozen deel A2 te laten vervangen door het al gemaakt deel A1 in de vorige sessie Er wordt dus niets tussentijds opgehaald Deel A2 (opgaven 1 en 2): 1 Beantwoord de volgende vragen en geef hierbij ook een argumentatie (a) Een snaar met lengte l trilt zoals weergegeven in onderstaande figuur We willen weten hoe de frequentie ω = 2πf van de trilling afhangt van de fysische grootheden die daarvoor bepalend zijn l Iemand bedenkt dat de belangrijke fysische grootheden voor dit probleem zijn: 1) de lengte van de snaar l gegeven in m 2) de massa van de snaar m gegeven in kg 3) de spankracht in de snaar F gegeven in N 4) de frequentie ω gegeven in rad/s Hoeveel dimensieloze groepen beschrijven dit probleem en waarom? (b) In bovenstaand probleem wordt gezocht naar het volgende dimensieloos veband tussen de grootheden: Π(l, m, F, ω) = [l α l m αm F α F ω αω ]=1 ml Laat zien dat een mogelijke dimensieloze groep wordt gegeven door: ω F (c) Wat is op grond van bovenstaande dimensie-analyse het beste antwoord dat we kunnen geven op de vraag hoe de frequentie afhangt van de fysische parameters? (d) Een deeltje beweegt langs de z-richting volgens: z = αt 3 βt + γ Hierin is z de afgelegde afstand in meters, is t de tijd in seconden en zijn α, β en γ gegeven positieve constanten Geef de dimensies van α, β, en γ 1

2 (e) Voor welke waarden van t beweegt het deeltje uit (d) in negatieve z-richting? (f) Wanneer is de beweging van het deeltje uit vraag (d) versneld? (g) Een deeltje met massa m dat zich op t =oppositie r = (a x /ω 2 ) e x + a y τ 2 e y bevindt en een snelheid v = a y τ e y bezit, ondervindt een versnelling gegeven door: a = a x cos(ωt) e x + a y e t/τ e y Hierin zijn a x en a y positieve constanten met dimensie m/s 2 Ook de parameters ω en τ zijn positief Geef de dimensies van ω en τ (h) Bereken voor het deeltje uit vraag (g) de snelheid als functie van de tijd (i) Bereken voor het deeltje uit vraag (g) de positie als functie van de tijd (j) Schets de baan in het xy-vlak die het deeltje uit vraag (g) aflegt 2 Een geladen deeltje met massa m en lading q wordt ten tijde t =oppositie r = x e x onder een hoek θ in een elektrisch veld geschoten (zie figuur) De grootte van de beginsnelheid bedraagt v Het elektrisch veld is dusdanig dat de kracht ter grootte qe in negatieve x-richting op het deeltje werkt De zwaartekracht werkt in negatieve z-richting (zwaartekrachtsversnelling g) z + E e z e x x θ d x (a) Geef een uitdrukking voor de resulterende kracht F die op het deeltje werkt als functie van de gegeven grootheden (b) Bepaal de versnelling a die het deeltje ondervindt uitgedrukt in de gegeven grootheden (c) Geef een uitdrukking voor de snelheid v van het deeltje als functie van de tijd (d) Bepaal positie r van het deeltje als functie van de tijd (e) Wat is de maximale z-positie die het deeltje bereikt? (f) Hoe groot moet bij een gegeven v de hoek θ worden gekozen om ervoor te zorgen dat het deeltje het elektrische veld op dezelfde positie (x ) verlaat als die waar het binnenkwam? 2

3 Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N7) deel A2 en B, blad 3/5 donderdag 15 november 27, 9-12 uur Het tentamen levert maximaal 5 punten op De verdeling is bij de vragen aangegeven Deel A2 levert maximaal 2 punten op, deel B maximaal 3 De tijd bedraagt 3 uur ongeacht of ervoor wordt gekozen deel A2 te laten vervangen door het al gemaakt deel A1 in de vorige sessie Er wordt dus niets tussentijds opgehaald Deel B: opgaven 3, 4 en 5 3 Beantwoord de volgende vragen en geef hierbij ook een argumentatie (a) De potentiele energie geassocieerd met de interactiekracht tussen 2 protonen op afstand r van elkaar wordt gegeven door: U(r) = U ( a r )e r/a Bereken de arbeid, uitgedrukt in U, die nodig is om de afstand tussen de protonen te vergroten van a naar 2a (e-machten mogen blijven staan) (b) Een elastische kabel met lengte l en dwarsdoorsnede oppervlak A, heeft een elasticiteitsmodulus E en een dichtheid ρ De kabel hangt vertikaal aan een van zijn einden Er wordt een object met massa m aan de kabel gehangen waardoor de lengte van de draad verandert van l naar l De valversnelling bedraagt g De dwarscontractie van de kabel kan worden verwaarloosd Bovendien kan de massa van de kabel worden verwaarloosd ten opzichte van die van het object Druk de massa m van het object uit in de gegeven grootheden (c) De kabel uit de vorige paragraaf hangt nu vrij (zonder object) en verlengt door zijn eigen gewicht van l naar l De afstand tot het ophangpunt noemen we z Bepaal de spankracht T en de trekspanning σ als functie van z De dwarscontractie mag weer verwaarloosd worden (d) Laat zien dat de lokale rek in de kabel van bovenstaand vraagstuk wordt gegeven door: (l z)ρg ɛ(z) =, E en bereken hieruit de verlenging Δl (e) Een vloeistof met dichtheid ρ wordt vanuit een reservoir door een buis omhoog gepompt De buis heeft een dwarsdoorsnedeoppervlak A De pomp heeft een vermogen P Wat is de maximale hoogte h max die met deze pomp kan worden bereikt als de vloeistof de buis met een snelheid v verlaat Wrijving in de buis mag worden verwaarloosd (f) Een kunststof blokje blok met dichtheid ρ b en volume V b drijft in een vloeistof met dichtheid ρ v Van het blokje bevindt zich een fractie a boven het vloeistofniveau Hoe verhoudt de dichtheid van het blokje zich tot die van de vloeistof (g) Welke kracht is nodig om het blokje van de vorige opgave onder de vloeistof te houden? 3

4 4 Een cilindrisch vat met diameter D loopt als gevolg van de zwaartekracht leeg via een cirkelvormig gat met diameter d in de bodem van het vat Op tijdstip t =ishetvat gevuld tot op hoogte z = h De bodem van het vat bevindt zich op z = Boven het vat en onder het gat heerst een atmosferische druk p a De vloeistof in het vat is incompressibel en de stroming mag wrijvingsloos worden verondersteld D p a h p a d V (a) De snelheid waarmee het vloeistofniveau zakt geven we aan met dh Geef op dt basis van massabehoud een uitdrukking voor de uitstroomsnelheid V als functie van dh dt (b) Onder welke voorwaarden mag de vergelijking van Bernoulli worden gebruikt om de uitstroomsnelheid V te bepalen als functie van een gegeven hoogte h(t)? (c) Neem aan dat de vergelijking van Bernoulli mag worden toegepast Geef een uitdrukking voor de uitstroomsnelheid V als functie van dh, h en g, maar nu op dt basis van de vergelijking van Bernoulli (d) Laat zien dat combinatie van antwoord (a) en (c) leidt tot de volgende differentiaalvergelijking voor h: 1 dh 2g = α waarin: α = h dt (D/d) 4 1 (e) Laat zien dat uit integratie van de differentiaalvergelijking volgt dat de hoogte h(t) wordt gegeven door: h =( h 1 2 αt)2 4

5 5 De Lennard-Jones potentiaal beschrijft de wisselwerking tussen twee moleculen en is gegeven door: U(r) = U (2 ( r r ) 6 ( ) ) r 12 r (a) Bereken de kracht die de twee moleculen op elkaar uitoefenen (b) Voor het geval dat uitwijkingen van de moleculen ten opzichte van de evenwichtsstand klein zijn (r r r ) kan de Lennard-Jones potentiaal worden benaderd met: U(r) = U +36U (1 r r ) 2 Bereken voor dit geval opnieuw de kracht die de moleculen op elkaar uitoefenen (c) Laat zien dat voor moleculen met massa m de tweede wet van Newton leidt tot: k(r r )=m d2 r dt 2 Geef tevens een uitdrukking voor k (d) Toon aan dat de moleculen een trilling uitvoeren ten opzichte van hun massamiddelpunt (e) Geef een uitdrukking voor de hoekfrequentie ω, de trillingstijd T en de frequentie f in termen van m, U en r 5

6 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Antwoorden by het tentamen Cardiovasculaire Stromingsleer (8W9) donderdag 15 november 27, 9-12 uur 1 Antwoorden: (a) Er zijn 4 fysische grootheden (l, m, F, ω) en 3 basis dimensies (L, M, T) Er is dus 4-3=1 dimensieloze groep die het probleem beschrijft (b) Uit [L α l m α m F α F ω αω ] = 1 volgt: L α l M αm M α F L α F T 2α F T αω = 1 L α l+α F M αm+α F T 2α F α ω = 1 en dus: α l + α F =, α m + α F =, 2α F α ω = Kiezen we α ω = 1 dan volgt α F = 1, α 2 m = 1 en α 2 l = 1 De dimensieloze groep 2 is dus: ml ω F (c) Uit bovenstaande volgt ω = k F/ml waarbij k een constante is Omdat de massa m van de lengte l afhangt wordt dit vaak geschreven als ω = k F l μ met μ = m/l (d) De dimensies van elke term moeten overeenkomen dus: [α] =ms 3,[β] =ms 2 en [γ] =m (e) Voor de snelheid volgt: v = dz dt =3αt2 β De snelheid is negatief voor t 2 < β/3α en dus β/3α <t< β/3α (f) De versnelling wordt gegeven door: a = dv dt =6αt Deze is positief voor t> (g) [ω] =s 1,[τ] =s (h) De snelheid volgt uit integratie: v v t t = a x cos(ωt) e x dt + a y e t/τ e y dt = a x ω sin(ωt) t e x +( a y τe t/τ ) t e y = a x ω sin(ωt) e x +( a y τe t/τ + a y τ) e y 6

7 met v = a y τ e y wordt dit: v = a x ω sin(ωt) e x a y τe t/τ e y (i) De positie volgt uit nogmaals integreren: r r = a x ω t sin(ωt) e x dt a y τ t e t/τ e y dt = a x ω 2 cos(ωt) t e x + a y τ 2 e t/τ t e y = a x ω (1 cos(ωt)) e 2 x + a y τ 2 (e t/τ 1) e y Met r = (a x /ω 2 ) e x + aτ 2 e y geeft dit: r = a x ω 2 cos(ωt) e x + a y τ 2 e t/τ e y (j) De baan is een oscillatie in x-richting waarin het evenwichtspunt exponentieel afneemt in y-richting y x 2 Antwoorden: (a) F = F z + F e = mg e z qe e x (b) Uit de tweede wet van Newton volget: F = m a a = g e z qe m e x (c) Voor de snelheid geldt: v = v + t adt (d) Voor de positie geldt: = v cos θ e x + v sin θ e z gt e z qet m e x =(v cos θ qe m t) e x +(v sin θ gt) e z r = r + t vdt =(x + v t cos θ qe 2m t2 ) e x +(v t sin θ 1 2 gt2 ) e z 7

8 (e) Voor de hoogte h geldt: h = v t sin θ 1 2 gt2 Deze is maximaal als: dh dt = v sin θ gt = t = v sin θ g Dan geldt: h = v t sin θ 1 2 gt2 = v2 sin2 θ g (f) In dat geval geldt h = dus: 3 Antwoorden: v2 sin2 θ 2g = v2 sin2 θ 2g h = v t sin θ 1 2 gt2 = t = 2v sin θ g Ook moet dan gelden dat x = x dus: x + v t cos θ qe 2m t2 = x cos θ = qe t 2mv Voor het gegeven tijdstip geldt dan: cos θ = (a) Uit W =ΔU volgt: qe 2v sin θ 2mv g tan θ = mg qe W = U ( a a a e 1 + U 2a e 2 = U (e e 2 ) (b) Spankracht bedraagt F s = mg dus trekspanning σ = mg/a Dan geldt voor de rek ɛ =Δl/l = σ/e en dus: Δl = mg EA l l = l +Δl = l (c) De spankracht te plaatse z bedraagt: ( 1+ mg ) EA F s (z) =mg =(l z)ρga σ s = F s /A =(l z)ρg (d) De lokale rek wordt gegeven door: (l z)ρg ɛ(z) =σ(z)/e = E Dan geldt voor de verlenging: En dus: Δl = l ɛ(z)dz = ρg E l (l z)dz Δl = ρg E (lz 1 2 z2 ) l = ρgl2 2E m = (l l )WA gl 8

9 (e) De totale arbeid bedraagt: W = mgh mv2 = ρavδtgh ρavδtv2 Het vermogen wordt gegeven door: P = W Δt = ρavgh ρav3 h = P 1 2 ρav3 ρavg (f) De opwaartse kracht bedraagt F o =(1 a)vρ v g de zwaartekracht bedragt F z = Vρ b g Dit geeft samen: (1 a)ρ v = ρ b (g) De opwaartse kracht is nu: F o = Vρ b g Dan geldt voor de extra krachr F z + F e = F o en dus F e = F o F z = V (ρ v ρ b )g 4 Antwoorden: (a) Behoud van massa geeft: 1 4 πd2 V = 1 dh 4 dt πd2 en dus V = D2 dh d 2 dt (b) De stroming moet wrijvingsloos en incompressibel zijn (zie gegevens) en bovendien stationair (quasi statisch) Dat wil zeggen dat, ondanks dat het niveau zakt en de snelheid van de tijd afhangt, instationaire traagheidstermen verwaarloosbaar moeten zijn (c) Bernoulli: ( ) 2 1 dh 2 ρ + p a + ρgh(t) = 1 dt 2 ρv 2 + p a + ρg en dus: V = ( dh dt ) 2 +2gh (d) Gelijkstelling geeft: D 4 ( ) 2 ( ) 2 dh dh = 2gh d 4 dt dt en dus dh dt = α h met α = 2g (D/d) 4 1 9

10 (e) Integreren geeft: 5 Antwoorden: h t h 1/2 dh = αdt h en dus: 2( h h )= αt zodat: h =( h 1 2 αt)2 (a) voor de kracht geldt: F (r) = du dr = u (b) Nu geldt: F (r) = du ( ) 2 r6 r ( 6) r12 ( 12) 7 r13 ( ) r 6 = 12U r r12 7 r 13 dr = 2 36U (1 r )( 1 )= 72U (r r r r r 2 ) (c) Tweede wet van Newton: 72U F (r) =ma r 2 (d) Dit is een trillingsvergelijking: d 2 (r r ) dt 2 + k m (r r )= met als oplossing r r = A sin ωt (e) Er geldt: = m d2 r dt 2 k = 72U r 2 ω 2 = k k ω = m m = 72U rm 2 Verder geldt: f = ω/2π en T =1/f 1