Hoofdstuk 4 Trillingen en cirkelbewegingen. Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal

Transcriptie

1

2 Hoofdstuk 4 Trillingen en cirkelbewegingen Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal

3 U (V) 4.1 Eigenschappen van trillingen Harmonische trilling Een electrocardiogram (ECG) gaf het volgende hartfilmpje. = periodiek verschijnsel rond een evenwichtsstand + evenwichtstand O t (s) Periode tijd Trillingstijd T = 1 f Met f de (trillings)frequentie in hertz (Hz)

4 Rekenvoorbeeld De frequentie wordt uitgedrukt in Hz (s 1 ). Bereken de trillingstijd van de onderstaande frequenties. 1) f = 50Hz 1) T = 1 50 = 0,02s = 20ms 2) f = 125kHz 3) f = 10Mhz 2) T = = = 8μs 3) T = = = 0,1μs 4) f = 0,011Hz 4) T = 1 0,011 = 90,9s 1,5min

5 u (m) Harmonische trilling = trilling die zichzelf steeds herhaalt, waarbij wrijving verwaarloosd wordt φ r = 1 4 φ r = 1 4 φ r = 1 φ = ,1 4 T = 0,4 φ = Δt T = ft A = 0,1 φ r = 1 φ r = φ geheel getal φ r = 1 2 φ φ r = 0 r = 0 φ r = 0 φ O 2 r = 1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 φ r = 1 2 φ = ,7 t (s) 0,1 φ r = 3 4 φ = φ r = 3 4 φ r = 3 4

6 4.2 Trillingen in diagrammen en formules Rekenvoorbeeld a) Teken een harmonische trilling met een amplitude van 3,0dm, met een frequentie van 100Hz, waarbij 3 periodes zichtbaar zijn. b) Bepaal uit je grafiek de maximale snelheid.

7 u (m) Rekenvoorbeeld a) Teken een harmonische trilling met een amplitude van 3,0dm, met een frequentie van 100Hz, waarbij 3 periodes zichtbaar zijn. b) Bepaal uit je grafiek de maximale snelheid. A = 3dm = 0,3m 0,3 T = 1 f = = 0,01s v max = Δu Δt raaklijn 0,3 0,3 0,017 0,013 O 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 t (s) m/s 0,3

8 u (m) De link met wiskunde B f(x) = a + b sin(c x d ) 0,1 u t = a + b sin(c t d ) u t = a + b sin(c t d ) u t = 0 + 0,1 sin( 2π 0,4 t 0 ) u t = 0,1 sin(5πt) A = 0,1 T = 0,4 u t = 0 + 0,1 sin( 2π t 0,4 ) 0,4 u t = 0,1 sin(5πt 2π) Ev-stand Amplitude O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 t (s) Periode: c = 2π T 0,1 Let op, gebruik bij π altijd radialen! Beginpunt (d,a) door ev-stand omhoog

9 u (m) De harmonische trilling: formules u t = a + b sin(c t d ) u t = A sin( 2π (t 0)) T u t = A sin(2πft)) v max = Δu Δt raaklijn,max 0,1 A = 0,1 T = 0,4 afgeleide cos(x) sin(x) sin(x) cos(x) primitieve v max = max( du dt ) = max(u (t)) O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 t (s) u t = 2πf A cos(2πft) v max = 2πfA = 2πA T 0,1

10 u (m) Rekenvoorbeeld a) Teken een harmonische trilling met een amplitude van 3,0dm, met een frequentie van 100Hz, waarbij 3 periodes zichtbaar zijn. b) Bepaal uit je grafiek de maximale snelheid. c) Controleer de maximale snelheid met behulp van een berekening. 0,3 A = 3dm = 0,3m T = 1 f = = 0,01s v max = Δu Δt raaklijn 0,3 0,3 0,017 0,013 O 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 t (s) m/s v max = 2πfA = 2π 100 0,30 = 1, m/s 0,3

11 4.3 Demping en resonantie Eigenfrequentie = frequentie waarin een voorwerp het liefste trilt Tacoma bridge

12 Resonantie = het meetrillen van een voorwerp door een trilling van buitenaf, omdat de frequentie van de trilling gelijk is aan de eigenfrequentie van het voorwerp. Trillingstijd bij harmonische oscillator T = 2π m C Met: T de trillingstijd in seconde (s) m de massa van het voorwerp in kilogram (kg) C de veerconstante in newton per meter (N/m)

13 Rekenvoorbeeld krachten bij trillingen Aan het plafond hangt een veer met lengte L 0 = 16cm. Er wordt een gewicht aan gehangen met m = 204g. De veer heeft een veerconstant C = 25N/m. De veer met de massa wordt 6cm naar beneden getrokken. Maak een schets van één hele trilling, waarbij je ervan uit mag gaan dat het massaveersysteem zich als een harmonische oscillator gedraagt. Geef op 4 kenmerkende punten de uitwijking, uitrekking en de werkende krachten op de massa weer en bereken de trillingstijd.

14 Rekenvoorbeeld krachten bij trillingen Aan het plafond hangt een veer met lengte L 0 = 16cm. Er wordt een gewicht aan gehangen met m = 204g. De veer heeft een veerconstant C = 25N/m. De veer met de massa wordt 6cm naar beneden getrokken. Maak een schets van één hele trilling, waarbij je ervan uit mag gaan dat het massaveersysteem zich als een harmonische oscillator gedraagt. Geef op 4 kenmerkende punten de uitwijking, uitrekking en de werkende krachten op de massa weer en bereken de trillingstijd. L 0 = 16cm = 0,16m m = 204g = 0,204kg C = 25N/m u = 6cm Uitwijking u = 8cm Uitrekking Uitrekking van de veer in ev-stand: F v = F z Cu = mg u = mg C 0,204 9,81 u = 25 8cm

15 Rekenvoorbeeld krachten bij trillingen L 0 = 16cm L 0 is de rustlengte, dus de uitrekking is dan 0. u = 2cm uitrekking L 0 = 16cm = 0,16m m = 204g = 0,204kg C = 25N/m u = 8cm u = 14cm u = 6cm u = 8cm u = 6cm u = 8cm uitwijking ev stand u = 6cm Uitwijking u = 8cm Uitrekking

16 Rekenvoorbeeld krachten bij trillingen F res is evenwijdig met en tegengestelt aan de uitwijking F res wijst altijd naar de evenwichtsstand. L 0 = 16cm L 0 is de rustlengte, dus de uitrekking is dan 0. u = 2cm F z = mg = 2,0N. Deze is overal gelijk! F v = Cu = 0,25u. De uitrekking! F res = F v F z = Cu = 0,25u. De uitwijkking! uitrekking L 0 = 16cm = 0,16m m = 204g = 0,204kg C = 25N/m u = 8cm u = 14cm u = 6cm u = 8cm u = 6cm u = 8cm uitwijking ev stand u = 6cm Uitwijking u = 8cm Uitrekking T = 2π m C = 2π 0, ,57s

17 Rekenvoorbeeld slingerklok (extra I-opgave) Mevrouw Verbeen heeft een oude slingerklok online verkocht. Een handelaar neemt de klok mee naar Afrika. De slingerlengte van de klok is 0,99421m. De gravitatieversnelling waar mevrouw Verbeen woont is 9,8125m/s 2. De trillingstijd van een slingerklok kan berekend worden met de formule T = 2π l g Met T de trillingstijd in seconde (s) l de lengte van de slinger in meter (m) g de valversnelling in meter per seconde kwadraat (m/s 2 ) a) Bereken de slingertijd van de klok. b) Beredeneer of de klok in Afrika voor of achter gaat lopen. c) Bereken de gravitatie versnelling in Afrika, als je weet dat de klok na een week 15 minuten afwijkt.

18 Rekenvoorbeeld slingerklok (extra I-opgave) Mevrouw Verbeen heeft een oude slingerklok online verkocht. Een handelaar neemt de klok mee naar Afrika. De slingerlengte van de klok is 0,99421m. De gravitatieversnelling waar mevrouw Verbeen woont is 9,8125m/s 2. a) Bereken de slingertijd van de klok. b) Beredeneer of de klok in Afrika voor of achter gaat lopen. c) Bereken de gravitatie versnelling in Afrika, als je weet dat de klok na een week 15 minuten afwijkt. T = 2π l g = 2π 0, ,8125 = 2,0s g ZA < g NL T ZA > T NL f ZA < f NL de klok gaat dus achter lopen. T ZA = ( )T NL T = 2π l g T 2 = 4π 2 l g g = 4π2 l T 2 T ZA = 1,0015T NL g = 4π2 0, , ,78m/s 2

19 4.4 Cirkelbewegingen Eenparige cirkelbeweging = cirkelbeweging met constante snelheid Volgens de Wetten van Newton beweegt een voorwerp altijd in de richting van de snelheid, tenzij er een kracht op werkt. v v F mpz F mpz v v = omtrek tijd = 2πr T = 2πrf Voor een cirkelbeweging moet er dus altijd een kracht werken, loodrecht op de bewegingsrichting. Dit is F mpz. F mpz F mpz v Z F mpz v r F mpz F mpz F mpz J v v F mpz = mv2 r Met F mpz de middelpuntzoekende kracht in newton (N) m de massa van het ronddraaiende voorwerp in kilogram (kg) v de baansnelheid in meter per seconde (m/s) r de straal van de baan in meter (m)

20 Rekenvoorbeeld afrit snelweg Op de autosnelweg rijdt je 120km/h. Je neemt de afrit met een constante snelheid naar een andere snelweg zoals hieronder is aangegeven. De borden bij de autoweg geven een adviessnelheid aan van 70km/h. De wrijvingscoëfficiënt is gelijk aan 0,80 en de diameter van de bocht is ongeveer 160m. a) Welke krachten werken er op de auto in de bocht? b) Bereken hoe hard een vrachtauto maximaal mag rijden in de bocht. c) Dhr. Hermans beweert dat je makkelijk harder mag rijden, omdat de bocht in werkelijkheid ook omhoog gaat. Hij zegt ook dat een vrachtauto even hard mag als een personenauto. Leg uit of hij gelijk heeft.

21 Rekenvoorbeeld afrit snelweg Op de autosnelweg rijdt je 120km/h. Je neemt de afrit met een constante snelheid naar een andere snelweg zoals hieronder is aangegeven. De borden bij de autoweg geven een adviessnelheid aan van 70km/h. De wrijvingscoëfficiënt is gelijk aan 0,80 en de diameter van de bocht is ongeveer 160m. a) Welke krachten werken er op de auto in de bocht? b) Bereken hoe hard een vrachtauto maximaal mag rijden in de bocht. c) Dhr. Hermans beweert dat je makkelijk harder mag rijden, omdat de bocht in werkelijkheid ook omhoog gaat. Hij zegt ook dat een vrachtauto even hard mag als een personenauto. Leg uit of hij gelijk heeft. F w,rol, F w,lucht, F motor f g cos(α) r = v 2 In de bocht: F w,rol = F mpz F w f F n = mv2 r f m g cos(α) = mv2 r f g cos(α) = v2 r v = fg cos α r v = 0,80 9,81 cos(0) 80 25,06m/s 90km/h