TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Stroming & Diffusie (3D030) op donderdag 7 augustus 2008, uur. 1. Beantwoord de volgende vragen met ja of nee en geef daarbij een korte argumentatie. Bij een goed antwoord met goede argumentatie krijgt men per vraag 1 punt. Bij een ernstige fout in de argumentatie wordt geen punt toegekend. Voor een correct antwoord zonder argumentatie wordt slechts een 1 2 punt toegekend. (a) Gegeven het stationaire twee-dimensionale stromingsveld v = (u, v) in het x, y-vlak: u = αx, v = αy (α > 0). Is de stroming rotatievrij? (b) Is het waar dat de stroomfunctie ψ(x, y) die de stroming bij (a) beschrijft, gegeven wordt door: ψ = αxy + constante? (c) Beschouw een twee-dimensionale kanaalstroming v = (u, v) in het x, y-vlak tussen de wanden y = 0 en y = d. Op een bealde positie x blijkt het snelheidsveld in goede benadering te worden beschreven door: u(y) = U sin πy, v = 0. d Is het waar dat de volumeflux Q V gelijk is aan Q V = Ud/π? (d) Gegeven een stationaire niet-viskeuze stroming in het x, y-vlak met het volgende stroomlijnentroon A B Is het waar dat de druk p A in A hoger is dan de druk p B in het punt B? (e) Twee identieke vaten bevatten identieke hoeveelheden water met dichtheid ρ. Via een uitstroomopening in de bodem kan het water wegstromen: bij vat 1 direct in de vrije atmosfeer, bij vat 2 via een buis (met diameter D en lengte L) in de vrije atmosfeer. De stroming kan als niet-viskeus worden opgevat. 1

2 H D V1 H D V2 L Is het waar dat vat 1 eerder leeggestroomd is? (f) Is het waar dat in een volledig ontwikkelde laminaire stroming (Poiseuille) de convectieve versnellingen nul zijn? (g) Een bol met diameter D 0 = 6cm is geplaatst in een uniforme luchtstroom (aanstroomsnelheid V 0 = 5cm/s), kinematische viscositeit van lucht ν 0 = m 2 /s), en voert een oscillerende beweging uit in de richting loodrecht op de aanstroming. De periode van die oscillerende beweging is T 0 = 3s, en de amplitude is D 0. Ter modellering van de resulterende stroming plaatst men een kleinere bol met diameter D 1 = 2cm in een uniforme waterstroom (snelheid V 1 = 1cm/s, kinematische viscositeit van water ν 1 = 10 6 m 2 /s), en laat deze op dezelfde wijze oscillaties uitvoeren met amplitude D 1 en periode T 1 = 5s. Zijn beide stromingen dynamisch gelijkvormig? (h) Beschouw een oscillerende stroming (als gevolg van een harmonisch-variërende axiale drukgradiënt p z = A 0 cos(ωt), met ω de frequentie) in lange cilindrische buis met diameter 2a. Deze stroming kan worden gekarakteriseerd door het Womersley-getal α a ω/ν, met ν de kinematische viscositeit. Is het waar dat in de limiet α << 1 de snelheidsprofielen v z (r, t) van deze buisstroming (r is de straal; z is de axiale coördinaat) rabolisch zijn? (i) Beschouw een dunne grenslaag aan een vlakke plaat met lengte L. Buiten de grenslaag stroomt het medium (met kinematische viscositeit ν) met een uniforme snelheid V. Voor het Reynolds-getal geldt: Re V L ν >> 1. Is het waar dat de snelheidscomponent v (loodrecht op de plaat) overal in de grenslaag gelijk is aan nul? (j) Men verandert de rtiële zuurstofsnning boven een stilstaande vloeistoflaag ter dikte d waardoor vanaf t = 0 de bovenzijde van de vloeistoflaag op een hogere zuurstofconcentratie c 1 wordt gehouden. Voor t < 0 heerst overal een concentratie c 0. Het zuurstoftransport in de vloeistoflaag is op te vatten 2

3 als een diffusieproces beschreven door de 1D diffusievergelijking: c t = D 2 c x 2, met D de diffusiecoëfficiënt. Is het waar dat men s vanaf t = d 2 /D aan de andere zijde van de vloeistoflaag (op x = d) iets merkt van de concentratieverandering? c_1 x=0 x y c_0 x=d 2. Een verticaal opgestelde lopende band beweegt met snelheid V omhoog, en sleurt vanuit een grote voorraadtank een viskeuze vloeistof (dichtheid ρ, kinematische viscositeit ν) mee, zie schets. Aan het oppervlak van de lopende band stelt zich een laminaire filmstroming in met een zuiver verticale snelheid w(x). Op enige afstand boven de voorraadtank heeft de vloeistoffilm een uniforme dikte δ. Buiten de film heerst een uniforme atmosferische druk p a. Luchtwrijving aan het filmoppervlak is verwaarloosbaar klein. Randeffecten - zowel in de y-richting (loodrecht op vlak van tekening) als in de z-richting mogen eveneens verwaarloosd worden. (a) Toon aan (m.b.v. de x-component van de Navier-Stokes-vergelijking) dat binnen de vloeistoffilm p x = 0. (b) Hoe verloopt de druk p binnen de vloeistoffilm als functie van z? (c) Reduceer de z-component van de Navier-Stokes-vergelijking tot een vergelijking waarmee w(x) beald kan worden. (d) Formuleer de randvoorwaarden en beal w(x). Schets het snelheidsprofiel. 3

4 (e) Beal het verticale volumetransport Q (per eenheid van breedte in de y- richting) in de vloeistoffilm. Hoe groot moet bandsnelheid V zijn, zodanig dat Q = 0? (f) Beal de schuifsnningsverdeling τ xz (x) in de film, en schets deze. (g) Hoe groot is de kracht (per oppervlakte-eenheid) die de vloeistof op de band uitoefent? (h) Verifieer dit resultaat door de impuls/krachtenbalans op te stellen over een element met afmetingen δ L, zie schets. 3. Een vrouwelijk bolvormig micro-organisme met radius R 0 leeft in stilstaand water en lokt mannelijke soortgenoten door een geurstof die met concentratie c 0 in het water aanwezig is periodiek op te nemen en weer af te geven, met periodetijd T. Als gevolg van deze lokroep wordt de concentratie geurstof aan het oppervlak van het vrouwelijk organisme gegeven door: c(r 0, t) = c 0 + c 1 sin 2π t T. Tijdens de afgifte van de geurstof (sin 2π t T > 0) roert het vrouwtje zich niet van haar plek. De diffusieconstante voor de geurstof bedraagt D. (a) Beredeneer dat de concentratie geurstof in de omgeving van het organisme wordt beschreven door de differentiaalvergelijking: c t = D 1 ( r 2 r 2 c ) r r en geef de bijbehorende randvoorwaarden indien het vrouwtje zich op locatie r = 0 bevindt. 4

5 (b) Substitueer de harmonische oplossing: c(r, t) = ĉ(r)e iωt + c 0 en geef de differentiaalvergelijking voor ĉ(r) met bijbehorende randvoorwaarden. (c) De gemiddelde afstand van de mannelijke soortgenoten bedraagt a >> R 0. Laat zien onder welke condities de differentiaalvergelijking voor ĉ(r) in goede benadering wordt gegeven door: ( r 2 ĉ ) = 0. r r (d) Laat zien dat in dit geval geldt: R 0 c(r, t 0 ) = c 0 + c 1 sin ωt. r (e) De mannelijke soortgenoten reageren onmiddellijk indien de concentratie een fractie k boven het gemiddelde uitstijgt, m.a.w. c(r, t) = (k + 1)c 0. Ze zoeken dan razendsnel een weg in de richting van de hoogste concentratie ( ) om het vrouwtje te bereiken. Hoe groot bedraagt de relatieve axiradius a R0 van de lokroep indien gegeven is dat c 1 /c 0 = 1 2 en k = 0.2? 5