TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS"

Heidi de Koning
4 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS Tentamen Polymeerverwerking (4K550) maandag 11 augustus 2003, 09:00-12:00. Bij het tentamen mag het boek Modeling in Materials Processing van Dantzig en Tucker gebruikt worden. Het gebruik van andere aantekeningen en laptop is NIET toegestaan. Het tentamen levert maimaal 40 punten op waarvan de verdeling aan het eind is aangegeven. 1. Beantwoord de volgende vragen met ja of nee en geef daarbij een korte argumentatie. Bij een goed antwoord met juiste argumentatie krijgt men per vraag 1 punt. Bij een ernstige fout in de argumentatie wordt geen punt toegekend ondanks een correct antwoord. Bij een correct antwoord zonder argumentatie wordt een 1 punt toegekend. 2 (a) Gegeven is het stationaire twee-dimensionale stromingsveld v = (v,v y ) in het y vlak: v = 2 sin(y) 2, v y = tan() + 2y (1) Is het snelheidsveld divergentievrij? (b) Is de stroming gegeven door (1) rotatievrij? (c) Is het waar dat voor een shear-thinning vloeistof de viskeuze dissipatie ook negatief kan zijn? (d) Gegeven is de volgende temperatuurverdeling in een polymere smelt T(, y, t) = 1 + 2( 2t) + (y + t) 2, stromend met een vast snelheidsveld v = 1, v y = 1. Is het waar dat de tijdsafgeleide van de temperatuur, gemeten op t = 0, voor een waarnemer op een vaste positie = 2, y = 3 gelijk is aan 0? (e) Is het waar dat in een Newtonse drukstroming tussen twee vlakke platen de snelheid minimaal is bij de wanden? (f) Is het waar dat voor een power law vloeistof in een drukstroming tussen twee vlakke platen de snelheid in de stromingsrichting schaalt met ( p) n, waarbij p de drukval is en n de power law eponent? (g) Bij spuitgietprocessen wordt de vorm van het vloeifront geometrisch bepaald door oppervlaktespanning. Is dit waar? (h) Is het waar dat grenslagen in het algemeen onstaan door verkeerde schaling van de vergelijkingen? (i) Voor isotrope materialen wijzen q en T in dezelfe richting. Is dit ook waar voor anisotrope materialen? (j) Voor een Newtonse vloeistof is de viscositeit onafhankelijk van de afschuifssnelheid. Is dit waar?

2 2. Het faculteitsbestuur van de faculteit Werktuigbouwkunde heeft besloten dat in het gebouw W- Hoog de verschillen tussen W en BMT duidelijker naar voren moeten komen. Een verfbedrijf wordt gevraagd de W-kant van het gebouw een ander kleurtje te geven. Nu wordt binnen de sectie Polymeertechnologie veel onderzoek verricht aan mengprocessen. Vaak gaat het hier om processen om zo efficient mogelijk twee of meer componenten te mengen om een homogeen mengsel te krijgen. Een welbekend voorbeeld is het mengen van meerdere kleuren verf om de gewenste kleur te verkrijgen. verf z h wand g Figuur 1: Een wand met vers aangebrachte verf. In deze opgave kijken we naar de directe toepassing van de verf, namelijk het aanbrengen van de verf op de wanden (alleen bij W). Figuur 1 toont een wand met vers aangebrachte verf. Veronderstel even dat h de uniforme dikte is van de laag verf. De verf heeft een constante viscositeit µ en een constante dichtheid ρ. De verf stroomt langs de wand naar beneden als gevolg van de zwaartekracht. Veronderstel even voor het gemak dat de stroming stationair is en dat deze volledig ontwikkeld is. (a) Laat met behulp van de massabelans zien dat de snelheid in de richting gelijk is aan nul. (b) Welke randvoorwaarden gelden voor de binnen- en buitenzijde van de verflaag? (c) Hoe hangt de druk af van z? (d) Geef de impulsvergelijking in de z richting. Gebruik de algemene vorm van de impulsvergelijking waarbij het constitutief gedrag nog onbekend is. (e) Laat zien dat τ z () = ρg(h ). (f) Veronderstel dat de verf zich als een Newtonse vloeistof gedraagt en bepaal gebruikmakend van de relatie voor τ z () de snelheid in de z richting. (g) Schets het verloop van τ z en v z in de verflaag. (h) Natuurlijk is het niet echt handig als de verf naar beneden loopt nadat onze vakman de verf aanbrengt. Welk constitutief model kan beter gebruikt worden voor verf? Geef een toelichting.

3 3. In een vorig tentamen zijn de vergelijkingen met randvoorwaarden opgesteld om de warmtegeleiding inclusief stolling van een gesmolten polymeren druppel op papier te beschrijven. Figuur 2 toont een druppel na impact op papier. Ter vereenvoudiging laten we in deze opgave het verloop van de stolling van de druppel even buiten beschouwing en gaan we hier kijken naar de warmtegeleiding tussen het papier en de reeds gestolde druppel; we hebben dus een ééndimensionaal probleem. lucht vloeistof vaste stof papier Figuur 2: Geometrie van een druppel die stolt. We veronderstellen even voor het gemak dat het papier en het gestolde vloeistof oneindig dik zijn, zie Figuur 3. Verder is er geen interne warmteproductie, geen stroming en zijn de materiaalcoefficienten constant. De materiaaleigenschappen van papier en de gestolde druppel zijn verschillend. De thermische eigenschappen voor het papier zijn ρ p, c pp, k p,α p. Voor de gestolde druppel ρ s, c ps, k s,α s. De initiële temperatuur van het papier is T p0 ; van de gestolde druppel T ps. De interface tussen het papier en de gestolde druppel vast ligt op = 0. T p (, t) geeft de temperatuur weer in het papier; T s (, t) het verloop in de druppel. gestolde inkt papier Figuur 3: We beschouwen de temperatuurgeleiding tussen het papier en de reeds gestolde inkt. (a) Geef de energievergelijkingen voor het papier en de druppel, waarbij deze zoveel mogelijk vereenvoudigd zijn gebruikmakend van de basisveronderstellingen. T p is de temperatuur in het papier, T s is de temperatuur in de gestolde inkt. (b) De randvoorwaarden bij dit probleem zijn T p ( =, t) = T p0 T s ( =, t) = T s0,

4 en twee condities voor het interface: continuïteit van de temperatuur T p (0, t) = T s (0, t) en van de warmteflu T p k p T s =0 = k s =0. Laat zien dat de temperatuur de vorm heeft ( ) T p = C 1p + C 2p erf 4αp t ( ) T s = C 1s + C 2s erf 4αs t (c) Gebruikmakend van de randvoorwaarden krijgen we een stelsel van vier vergelijkingen voor de vier onbekende constanten. Geef deze vier vergelijkingen. (d) Bepaal de constanten C 1p, C 2p, C 1s, C 2s en geef de uitdrukkingen voor T p en T s. (e) Bepaal een uitdrukking voor de temperatuur van het interface. (f) Schets het verloop van de temperatuur. (g) De initiële temperatuur van het papier is 25 graden Celsius. Gegeven de volgende materiaalconstanten bepaal de interface temperatuur. k ρ c p J/msK kg/m 3 J/kg K gestolde inkt papier

5 4. In deze opgave gaan we de warmtegeleiding in een dunne vierkante plaat analyseren. De dikte van de plaat is δ en de lengte is L. We veronderstellen dus δ << L. De initiële temperatuur van de plaat is T 0 op het tijdstip t = 0 wordt de plaat instantaan ondergedompeld in een vloeistof met een temperatuur T 1 en een warmteoverdrachtscoëfficient gelijk aan h. In deze opgave gaan we door middel van schalen de geschatte koeltijd bepalen. δ L L z y Figuur 4: We beschouwen de temperatuurgeleiding in een dunne vierkante plaat. (a) Veronderstel dat de materiaaleigenschappen constant zijn en dat er geen interne warmteproductie is. Verder gaan we ervan uit dat de plaat niet in beweging is. Geef de beschrijvende vergelijkingen voor dit probleem zo ver mogelijk vereenvoudigd gebruikmakend makend van de basisveronderstellingen (dus nog zonder te schalen). (b) Introduceer karakteristieke lengte-, tijd- en temperatuurschalen en herschrijf de vergelijkingen in dimensieloze vorm. Bepaal eventuele karakteristieke waarden en elimineer termen op basis van schalingsargumenten. (c) Geef de randvoorwaarden en schaal deze. Maak gebruik van symmetrie om z = 0 (de onderkant van de plaat is z = 1 2 δ en de bovenkant is z = 1 δ). Voer het Biot-getal in. 2 (d) In het vorig onderdeel is het Biot-getal Bi = hδ k, in de randvoorwaarden verschenen. Geef een schets van de temperatuurprofielen in de plaat voor Bi >> 1 en Bi << 1. (e) Bepaal de koeltijd voor zowel Bi >> 1 als Bi << 1. Verdeling van de punten Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 a) b) c) d) e) f) g) h) 1 1 i) 1 j) 1

Vergelijkbare documenten

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS Tentamen Polymeerverwerking (4K550) vrijdag 8 oktober 2004, 09:00-12:00. Bij het tentamen