Tentamen numerieke analyse van continua I

Transcriptie

1 Tentamen numerieke analse van continua I Maandag 12 januari 2009; Code: 8W030, BMT 3.1 Faculteit Biomedische Technologie Technische Universiteit Eindhoven Het eamen is een volledig open boek eamen. Het bestaat uit 10 opgaven. Elke opgave levert een maimum van 10 punten op. Vraagstuk 1: Een twee-dimensionaal element heeft 9 knopen die liggen op de posities als gegeven in onderstaande figuur Geef vormfuncties N i (i=1,5,9) in globale cordinaten en, die behoren bij de knopen 1, 5 en 9. Vraagstuk 2: Gegeven is de volgende integraal: d Bereken een benaderingsoplossing voor deze integraal door gebruik te maken van een numerieke 3-punts Gauss integratie (Let op: 3 integratiepunten!!). Vraagstuk 3: Beschouw de volgende partiële differentiaalvergelijking op het domein 1 1: u t Au + B 2 u 2 C u = sinφt, 1

2 waarbij A,B,C en φ constanten zijn en t de tijd. De gewogen-residuen-formulering van deze vergelijking luidt: 1 ( u w t Au + u B 2 2 C u ) sinφt d = 0 1 met een arbitraire weegfunctie. Welke term(en) van de gewogen-residuen-vergelijking moet(en) partieel worden geintegreerd en waarom? Waarom noemt men het resultaat de zwakke formulering? Vraagstuk : Een eindige-elementen-mesh wordt gegeven in de onderstaande figuur. Het bijbehorende (3) () (6) 5 6 (5) (1) (2) top arra is (in MATLAB format): top =[ ] Het pos arra (in MATLAB format) wordt gegeven door: pos = [ ] Geef het bijbehorende arra dest. 2

3 Vraagstuk 5: Een onderzoeker is bezig met behulp van tissue engineering kraakbeen te maken. Het kraakbeen ligt in een glazen schaaltje en is aan de bovenzijde omgeven door medium (zie figuur). Schema bioreactor Kraakbeen Medium h D FEM model du d = 0 u = u 0 =0 =h Omdat de hoogte van het kraakbeen h veel kleiner is dan de diameter D kan het transportprobleem van zuurstof en voedingsstoffen worden beschouwd als een 1-dimensionaal probleem. De hoogte h = 0.2[cm]. De onderzoeker wil bij een gegeven dikte van het kraakbeen en een gegeven glucoseconcentratie van het medium berekenen hoe hoog de glucoseconcentratie inwendig is. Dit kan omdat de glucoseconsumptie van het kraakbeen bekend is. Daartoe wordt de volgende stationaire diffusievergelijking opgelost: d d ( c du d ) + f = 0, waarbij u de glucose concentratie [Mol cm 3 ], c = [cm 2 s 1 ] de diffusiecoëfficiënt en f = [Mol s 1 cm 3 ] (let op het minteken) de glucoseconsumptie is. De concentratie glucose in het medium is: [Mol cm 3 ]. De overgang van kraakbeen naar de bodem van het schaaltje is ondoordringbaar. Bereken in de stationaire evenwichtssituatie, wat de concentratie glucose is op het punt = 0. Pas daarvoor de file demo_fem1d aan die je vindt in de director oned van mlfem_nac. Vraagstuk 6: We willen de volgende gewone differentiaalvergelijking oplossen: du dt 2u = sin(π t/), waarbij u = u(t) en op tijdstip t = 0 geldt u(0) = 0. 3

4 Schrijf een MATLAB script om deze vergelijking op te lossen met een Euler epliciet tijdsintegratieschema voor 0 t 8. Geef de oplossing u(t) voor t = 2 en t = 6 Vraagstuk 7: Een eindige elementen mesh voor een twee-dimensionaal vaste-stof-probleem met 3 rechthoekige -knoops elementen is gegeven in onderstaande figuur. Er werkt geen verdeelde belasting. de bijbehorende dest-matri wordt (in MATLAB format) gegeven door: F 1 F 2 dest=[1 2 ; 3 ; 5 6 ; 7 8 ; 9 10 ; ; 13 1 ; ] De verplaatsingen van de knopen 1 en 7 worden in beide richtingen onderdrukt. Op knoop 2 werkt een kracht F 1 in negatieve -richting. Op knoop 3 werkt een kracht F 2 in negatieve -richting. Na alle stappen tot en met de assemblage van de eindige elementen leiden de evenwichtsvergelijkingen tot een stelsel K u = f. Geef aan welke vrijheidsgraden in de rechterlidvecor f onbekend zijn, welke een bekende voorgeschreven waarde ongelijk aan nul hebben en welke gelijk zijn aan nul.

5 Vraagstuk 8: Van een niet nader omschreven element worden de volgende vormfuncties gegeven: N 1 = 1 (1 ξ)(1 η)( ξ η 1) N 2 = 1 (1 + ξ)(1 η)(+ξ η + 1) N 3 = 1 (1 + ξ)(1 + η)(+ξ + η 1) N = 1 (1 ξ)(1 + η)( ξ + η + 1) Waarom kunnen dit niet de goede vormfuncties zijn? Vraagstuk 9: We willen de twee-dimensionale diffusievergelijking oplossen met de eindige elementen methode: (c u) + f = 0. De zwakke formulering leidt tot de volgende vergelijking: N el v T e K e ue = v T e f e, e=1 N el e=1 waarbij de elementmatri K e wordt gegeven door: K e = Ω e c ( N T N + N N T) dω. We kiezen c = 1. Verder kiezen we een element met knooppunten dat in het globale assenstelsel ligt als gegeven is in de figuur. Een programma om de matri numeriek uit (0,2) (2,2) (0,0) (2,0) te rekenen m.b.v. -punts Gauss integratie zou de volgende opzet kunnen hebben: 5

6 c = 1; % coordinaten van de integratiepunten coordint=[ ; ; ; ]; % startwaarde voor de te berekenen matri K=zeros(); %loop over integratiepunten for i=1: = coordint(i,1); = coordint(i,2); dnd=[ ; ; ; ]; dnd=[ ; ; ; ]; K = ; end K Maak het programma af en geef de matri K e (schrijf het programma ook uit op uw antwoordvel, zodat de docent kan zien waar het eventueel fout gaat). Vraagstuk 10: Omschrijf in korte kernachtige bewoordingen (minder dan 100 woorden) wat precies wordt bedoeld met een isoparametrisch element. 6