Voorblad bij tentamen

Transcriptie

1 Voorblad bij tentamen (in te vullen door de examinator) Vaknaam: numeriek analyse van continua Vakcode: 8MC09 Datum: 6 october 05 Begintijd: 9.00 Eindtijd:.00 Aantal pagina s: 6 Aantal vragen: 0 Aantal te behalen punten/normering per vraag: 0 Wijze van vaststellen eindcijfer: totaal aantal punten/0 Wijze van beantwoording vragen: formulering, ordening, onderbouwing, multiple choice: Oplossen opgaven Inzage: mogelijk op verzoek na afspraak Overige opmerkingen: Instructies voor studenten en surveillanten Toegestane hulpmiddelen (mee te nemen door student): Notebook x Rekenmachine x Grafische rekenmachine Dictaat/boek A4-tje met aantekeningen Woordenboek(en). Zo ja, welke: Let op: toiletbezoek is alleen onder begeleiding toegestaan binnen 5 minuten na aanvang en 5 minuten voor het einde mag de tentamenruimte niet worden verlaten, tenzij anders aangegeven er dient altijd tentamenwerk (volledig ingevuld tentamenpapier: naam, studentnummer e.d.) te worden ingeleverd tijdens het tentamen dienen de huisregels in acht te worden genomen aanwijzingen van examinatoren en surveillanten dienen opgevolgd te worden etui ligt niet op tafel onderling worden geen hulpmiddelen geleend/uitgewisseld Tijdens het maken van schriftelijke tentamens wordt onder (poging tot) fraude in ieder geval verstaan: gebruik van andermans ID-bewijs/campuskaart mobiele telefoon of enige andere media dragende devices liggen op tafel of zijn opgeborgen in de kleding (poging tot) gebruik van ongeoorloofde bronnen en hulpmiddelen, zoals internet, mobiele telefoon e.d. het gebruik van een clicker die niet je eigen clicker is ander papier voor handen hebben dan door de TU/e is verstrekt, tenzij anders aangegeven toiletbezoek (of naar buiten lopen) zonder toestemming of begeleiding Behorende bij Regeling centrale tentamenafname TU/e

2 Eindtoets: Numerieke Analyse van Continua Maandag 6 October 05: u Code: 8MC09, BMT 3. Biomedische Technologie Technische Universiteit Eindhoven Dit is een gesloten boek examen. Er mag een elektronische rekenmachine worden gebruikt. Het examen bestaat uit 0 vragen. Elke vraag levert bij een correct antwoord 0 punten op. Iedere vorm van draadloze communicatie is verboden. Vraag (0 punten) De eindige-elementen methode wordt gebruikt om de oplossing van (partiële) differentiaalvergelijkingen mee te bepalen/benaderen. Zet de stappen die hiervoor worden gebruikt in de juiste volgorde (begin bij de eerste en eindig met de laatste) en beschrijf in één zin wat elke stap inhoudt:. Discretisatie (in ruimte en tijd).. Oplossen stelsel lineaire vergelijkingen. 3. Toepassen van de gewogen-residuen methode. 4. Indien nodig toepassen van partiële integratie. 5. Toepassen van numerieke integratie. Vraag (0 punten) We beschouwen een probleem dat met de volgende differentiaalvergelijking wordt beschreven: du dt + 4u = Random fouten voldoen aan de homogene vorm van deze vergelijking. Voor verstoringen ũ is het volgende recursieve schema af te leiden: ũ n+ = 4( θ) t ũ n + 4θ t waarbij t de grootte van de tijdstap is. Stel dat gekozen wordt voor t =, wat is de minimale waarde die voor θ gekozen moet worden om een stabiele oplossing te krijgen?

3 Vraag 3 (0 punten) In een D cartesisch coördinatensysteem bevindt zich een domein dat is opgedeeld in twee bilineaire elementen (vierhoeken). Ieder knooppunt heeft een vrijheidsgraad u. De locale element-matrices K en K en oplossing u zijn gegeven door: K = K K K3 K4 K K K3 K4 K3 K3 K33 K34 K4 K4 K43 K44 K = K K K3 K4 K K K3 K4 K3 K3 K33 K34 K4 K4 K43 K44 u T = [ ] u u u 3 u 4 u 5 u 6 Verder is gegeven dat: pos = [ ] Geef aan op welke positie in de globale stijfheidsmatrix (6 6 elementen) de bijdragen van de matrix K te vinden zijn. Vraag 4 (0 punten) Op het domein 0 x geldt de volgende differentiaalvergelijking: V u x = ( C u ) + sin(φt) x x Geef de zwakke formulering van bovenstaande vergelijking.

4 Vraag 5 (0 punten) Voor het maken van getissue-engineerde hartkleppen is het belangrijk dat het mechanische gedrag sterk lijkt op het mechanische gedrag van natuurlijke hartkleppen. Om het mechanische gedrag tijdens diastole te bestuderen heeft een onderzoeker een D eindige-elementenmodel van een hartklepvliesje gemaakt, waarbij de geometrie hieronder in het rechter plaatje wordt weergegeven. De vaatwand wordt beschouwd als een star lichaam en wordt niet meegenomen in het model. Het vliesje is bij de connectie met de vaatwand ingeklemd, en tijdens diastole werkt er een drukbelasting op het vliesje. druk vaatwand vliesje (a) Beschrijf welke randvoorwaarden moeten worden meegenomen bij het uitrekenen van de vervorming van dit vliesje tijdens diastole, en geef aan of dit essentiële of natuurlijke randvoorwaarden zijn (5 punten). (b) Het is aannemelijk dat het vliesje zal doorbuigen als gevolg van de drukbelasting. Mag de onderzoeker in dit geval gebruik maken van lineaire elementen? Motiveer uw antwoord (5 punten). Vraag 6 (0 punten) Beschouw het volgende isoparametrische D element op het domein 0 x 8. De knooppuntscoördinaten x en oplossing u in de knooppunten worden gegeven door: 0 0 x = 4 u = Binnen het element wordt een locale ξ-as gedefinieerd met ξ binnen het element. Bepaal de locale coördinaat ξ en oplossing u in het punt P waarvoor geldt dat x = 5. 3

5 Vraag 7 (0 punten) Onderstaand script beschrijft een een-dimensionaal element om de diffusievergelijking op te lossen: function [qe,rhse]=elemnum(coord,top,ielem,mat,itype) % function to calculate the stiffness matrix and right hand side vector at elemtn level nlnodes=length(top(ielem,:))-; c=mat(top(ielem,nlnodes+)); f=mat(top(ielem,nlnodes+)+); alpha=mat(top(ielem,nlnodes+)+); xe=coord(top(ielem,:nlnodes)); nint=; Wi=[ ]; ksi=[-/sqrt(3) ; /sqrt(3)]; qe=zeros(3); rhse=zeros(3,); for i=:nint x=ksi(i); N=[0.5*(x-)*x (-x)*(+x) 0.5*(+x)*x]; dndksi=[x-0.5 ; -*x ; x+0.5]; dxdksi= ; % vul in dksidx= ; % vul in qe=qe+dndksi*c*dndksi *dksidx*wi(i); rhse=rhse+n*f*wi(i)*dxdksi; end end (a) Is het een kwadratisch of een lineaire element? (3 punten) (b) Vul de regels aan waarbij staat aangegeven vul in. (7 punten) Vraag 8 (0 punten) Beschouw het bilineaire isoparametrische element in een D xy-coördinatensysteem, met de volgende globale knooppuntscoördinaten: x = 4 5 y = Bereken de coördinaten (x, y) van punt P waarvoor geldt (ξ, η) = (, ). 4

6 Vraag 9 (0 punten) Op het domein x en y bestaande uit één bilineair element met knooppunten op (x, y) = (-, -), (x, y) = (, -), (x, y) = (, ) en (x, y) = (-, ), geldt de volgende D diffusievergelijking: (c u) + f = 0 () Na discretisatie van de zwakke vorm is de volgende stijfheidmatrix van belang: ( ) T N K e = c N + N T N dω () Ω e x x y y }{{} A De vormfuncties voor dit element zijn gegeven: 6 ( x)( y) N = 6 ( + x)( y) 6 ( + x)( + y) ( x)( + y) 6 Bereken component A 3. Vraag 0 (0 punten) We willen de volgende differentiaalvergelijking oplossen: du + A(u ) = f (3) dt met u = u(t) en de beginconditie u(0) = u 0 op t = 0. (a) Voor het geval dat f = sin(3t), leidt een impliciet recursief schema af om dit probleem numeriek op te lossen (5 punten). (b) Stel dat f = sin(ut), geef aan wat in deze situatie het belangrijkste voordeel is van het gebruiken van een expliciet schema voor het oplossen van dit probleem (5 punten). 5

7 Formules behorend bij NAC Peclet getal: P e = vl c met: v een karakteristieke snelheid, L een karakteristieke lengtemaat, c de diffusieconstante. Divergentietheorema: φ dω = Ω Ω φ dω = nφ dγ Γ n φ dγ Γ Productregel voor differentieren: (σ w) = ( σ) w + ( w) T : σ Dubbelinwendig product: A : B = tr(a B) = A ij B ji Een één-dimensionale set Lagrange polynomen op een element met domein ξ ξ ξ n wordt gedefinieerd als: l n a (ξ) = Πn b=,b a (ξ ξ b) Π n b=,b a (ξ a ξ b ) 6