Voorblad bij tentamen

Transcriptie

1 Voorblad bij tentamen (in te vullen door de examinator) Vaknaam: MECHANICA Vakcode: 8MB09 Datum: 22 Januari 2015 Begintijd: 9.00 Eindtijd: Aantal pagina s: 11 Aantal vragen: 10 Aantal te behalen punten/normering per vraag: 10 Wijze van vaststellen eindcijfer: totale score/10 (70%) - tussentoets telt voor 30% Wijze van beantwoording vragen: formulering, ordening, onderbouwing, multiple choice: opgave maken + onderbouwing Inzage: indien nodig op afspraak Overige opmerkingen: Instructies voor studenten en surveillanten Toegestane hulpmiddelen (mee te nemen door student): Notebook x Rekenmachine x Grafische rekenmachine Dictaat/boek 1 A4-tje met aantekeningen Woordenboek(en). Zo ja, welke: Let op: toiletbezoek is alleen onder begeleiding toegestaan binnen 15 minuten na aanvang en 15 minuten voor het einde mag de tentamenruimte niet worden verlaten, tenzij anders aangegeven er dient altijd tentamenwerk (volledig ingevuld tentamenpapier: naam, studentnummer e.d.) te worden ingeleverd tijdens het tentamen dienen de huisregels in acht te worden genomen aanwijzingen van examinatoren en surveillanten dienen opgevolgd te worden etui ligt niet op tafel onderling worden geen hulpmiddelen geleend/uitgewisseld Tijdens het maken van schriftelijke tentamens wordt onder (poging tot) fraude in ieder geval verstaan: gebruik van andermans ID-bewijs/campuskaart mobiele telefoon of enige andere media dragende devices liggen op tafel of zijn opgeborgen in de kleding (poging tot) gebruik van ongeoorloofde bronnen en hulpmiddelen, zoals internet, mobiele telefoon e.d. het gebruik van een clicker die niet je eigen clicker is ander papier voor handen hebben dan door de TU/e is verstrekt, tenzij anders aangegeven toiletbezoek (of naar buiten lopen) zonder toestemming of begeleiding Behorende bij Regeling centrale tentamenafname TU/e

2 Examen: MECHANICA, 8MB09 Donderdag 22 Januari 2015; Code: 8MB09, BMT Bachelor Biomedische Technologie Technische Universitieit Eindhoven Dit is een gesloten-boek-examen. Het gebruik van een laptop is niet toegestaan. Een elektronische rekenmachine mag worden gebruikt. Elke vorm van draadloze communicatie is verboden. De in dit examen voorkomende kolommen en matrices bevatten componenten betrokken op een xyz-coördinatensysteem behorende bij de Cartesische basis { e x, e y, e z }. Vraag 1: 10 punten Op een uitkijkplatform in Oostenrijk staan 20 mensen met een gemiddeld gewicht van 75 [kg]. Het platform is 10 [m] lang en weegt (onbelast) 4000 [kg]. Het gewicht van het platform is homogeen verdeeld over het gehele platform. Omdat de mensen op het platform zich netjes verspreiden mag worden verondersteld dat ook hun massa homogeen verdeeld is over het platform. Het platform is aan de kant van de berg ingeklemd. De zwaartekracht versnelling is 10 [ms 2 ]. Bereken de verticale kracht F A en het moment M A die moeten werken op het platform in punt A om het platform in evenwicht te houden. 1

3 Vraag 2: 10 punten Om de mechanische eigenschappen te bepalen van een stukje hartklepweefsel wordt een lang slank rechthoekig stukje weefsel uitgesneden en ingeklemd in een uniaxiale trekbank tot het net strak staat. Na inklemming blijkt het proefstuk een beetje slanker in het midden (punt M) dan bij de inklemming (punt K, zie figuur). Er wordt besloten een mechanisch model te maken van het proefstuk. Vanwege symmetrie wordt alleen het rechter deel geanalyseerd. Het wordt gemodelleerd als een uni-axiaal belaste staaf waarvan de vervorming in x richting beschreven wordt met de volgende differentiaalvergelijking: ( d EA du ) = 0 dx dx Hierin is E de constante Young s modulus en A de dwarsdoorsnede van het proefstuk. De dwarsdoorsnede A(x) is een functie van x omdat de breedte b(x) afhangt van de positie x volgens: b(x) = b 0 (1 + αx l ) met b 0 en α positieve constanten. De dikte van het proefstuk is t. De lengte van het halve proefstuk is l. Bereken de verplaatsing u(l) van het punt x = l als er een kracht F wordt aangebracht bij punt x = l. 2

4 Vraag 3: 10 points Beschouw een rechthoekig gebied ABCD in het xy-vlak (zie figuur). Gegeven is dat binnen het gebied ABCD een (twee-dimensionaal) temperatuurveld heerst waarvan de gradiënt constant is. Daarbij geldt: T x = 3o C/cm, T y = 2o C/cm De temperatuur in punt A is 40 o C. Bereken de temperatuur in punt C. Vraag 4: 10 points In de drie-dimensionale ruimte wordt een temperatuurveld beschreven met de vergelijking: T (x, y, z) = T 0 + T 1 r L met r = x 2 + y 2 + z 2 met x,y en z de Cartesische coordinaten, T 0 en T 1 constanten met de dimensie temperatuur en L een constante positieve lengtemaat. Beschouw een rechte lijn l van een punt A naar B. De positievectoren van deze punten zijn gegeven: x A = L e x + L e y x B = L e x + 2L e y + 2L e z Bepaal in punt B de afgeleide van het temperatuurveld in de richting van de lijn l (ook wel de directionele afgeleide of richtingsafgeleide genoemd). 3

5 Vraag 5: 10 punten Voor een materieel deeltje wordt de deformatie van de huidige toestand ten opzichte van de onvervormde referentietoestand gegeven door de deformatiematrix F volgens: F = waarvan de componenten zijn betrokken op een Carthesisch xyz-coördinatensysteem. We beschouwen twee materiële lijnstukjes in de onvervormde configuratie. Eén lijnstukje ligt parallel aan de x-as. Het andere ligt parallel aan de y-as (ingesloten hoek α 0 = π/2). Bereken de hoek α tussen de materiële lijnstukjes in de huidige, vervormde toestand Vraag 6: 10 punten Beschouw een materiële kubus ABCDEFGH. De ribben van de kubus liggen parallel aan de assen van een Cartesisch coördinatensysteem (zie figuur). Daarnaast is de relevante spaningsmatrix σ voor deze kubus gegeven als: σ = Bepaal de normaal- en schuifspanning op het vlak BCHE. 4

6 Vraag 7: 10 punten Beschouw een cylinder met cirkelvormige dwarsdoorsnede, gepositioneerd in een xyz-coördinatensysteem (zie figuur). Het ondervlak staat stil. Het bovenvlak roteert om de z-as. De deformatie die hierdoor in de cylinder ontstaat noemen we torsie. De positievectoren x van de materiële punten in de vervormde configuratie kunnen worden uitgedrukt in de positievectoren x in de onvervormde (referentie-)configuratie door: x y z = cos(ωz 0 ) sin(ωz 0 ) 0 sin(ωz 0 ) cos(ωz 0 ) x 0 y 0 z 0 waarbij ω de hoekverdraaiing is om de z-as per eenheid van lengte in de z-richting. Bepaal de deformatiematrix F als functie van de oorspronkelijke coördinaten x 0. 5

7 Vraag 8: 10 punten Een kubusvormig blokje wordt afgeschoven. Daarbij geldt voor de deformatietensor F van de momentane toestand, betrokken op de referentietoestand: F = I + γ e x e z Het elastische, compressibele materiaalgedrag van het blokje wordt gekarakteriseerd door: σ = K(J 1)I + G J B d met K en G respectievelijk de compressie- en glijdingsmodulus, met σ de Cauchy spanningstensor, J = det(f ) de volumeveranderingsfactor. De tensor B d wordt het deviatorische deel van de isochore linkse Cauchy-Green tensor genoemd en is als volgt gedefinieerd: B = J 2/3 1 B en Bd = B tr( B)I 3 Bepaal de Cauchy spanningstensor σ. Vraag 9: 10 punten Van een homogeen deformerend blokvormig continuüm zijn door middel van de onderstaande figuur de referentieconfiguratie en de huidige configuratie weergegeven in een xyz-coördinatensysteem. Het achtervlak bevindt zich in de referentieconfiguratie en in de huidige configuratie in het vlak x = 0. Leidt voor dit probleem de deformatietensor F t.o.v. de basis { e x, e y, e z } af (U mag ook de matrix met F met componenten t.o.v. de basis geven). 6

8 Vraag 10: 10 punten In een experimentele opstelling wordt een rechthoekig proefstukje opgesloten tussen twee glazen wanden (zie figuur) Het proefstuk heeft een lengte l, dwarsdoorsnede A, De wanden passen precies om het proefstuk, zijn star en verplaatsen niet. De beweging van het proefstuk langs de wand is wrijvingsloos. Er wordt een compressiekracht F uitgeoefend in de e z - richting (zie figuur). Het materiaal gedraagt zich lineair elastisch en isotroop. De elasticiteitsmodulus E = 8 [MPa] en de Poisson s constante ν = 1 3. De vervormingen van het materiaal zijn klein. U mag er van uit gaan dat F/A = 6000 [Nm 2 ] Bereken de spanningstensor en de rektensor voor het materiaal. 7

9 Equations Mechanica 1 Chapter 1 Inner product: a b = a b cos(φ) Cross product or vector product: c = a b ; c = a b sin(φ) Triple product: a b c = ( a b) c Dyadic product: a b p = a( b p) Operations that are used once a Cartesian vector basis { e x, e y, e z } is defined: Inner product a b = a x b x + a y b y + a z b z Cross product a b = (a y b z a z b y ) e x + (a z b x a x b z ) e y + (a x b y a y b x ) e z Chapter 2 The component F t of a force F in the direction of a unit vector e is given by: ( ) F t = F e e The moment of a force F acting on point Q with position vector x Q with respect to point P with position vector x P is given by: Chapter 6 M = ( x Q x P ) F Differential equation for a one-dimensional continuous elastic medium: ( d EA du ) + q = 0 dx dx Chapter 7 The directional derivative dp de dp de = e P of a scalar property P in the direction of the unit vector e: Velocity of a point x that rotates with angular velocity ω around an axis through point x S : v( x) = ω ( x x S ) 8

10 Chapter 8 Equilibrium equations (absence of a distributed load): σ xx x σ xy x σ xz x + σ xy y + σ yy y + σ yz y + σ xz z + σ yz z + σ zz z = 0 = 0 = 0 The equivalent stress σ M according to von Mises: σ M = with: σ d = σ 1 3 tr(σ)i 3 2 tr(σd σ d 3 ) = 2 tr(σd σ d ) The stress vector s working on a plane with outward unit normal n can be derived from the stress tensor σ by: s = σ n Chapter 9 The material time derivative of a scalar variable T : [ ] T T = t x 0 constant The spatial time derivative of a scalar variable T : [ ] δt T δt = t x constant Relation between material and spatial time derivative: T = v T + δt δt The acceleration satisfies: a = v = v v + δ v δt Chapter 10 The deformation tensor: d x = F d x 0 ; F = ( 0 x) T = I + ( 0 u 0 = F T ; J = det(f ) The right Cauchy Green deformation tensor: C = F T F ) T 9

11 The left Cauchy Green deformation tensor: B = F F T The Green Lagrange strain tensor: E = 1 ( 2 F T F I ) ( ( 0 ) ( ) ) T The linear strain tensor: ɛ = 1 2 u + 0 u The velocity gradient tensor: d x = L d x ( ) T L = v = Ḟ F 1 The rate of deformation tensor: D = 1 ( L + L T ) = 1 ( ( v ) T ( ) ) + v = 1 (Ḟ ) F 1 + F T Ḟ T The rotation velocity or spin tensor: Ω = 1 2 Logarithmic strain rate: λ = e D e λ Rate of volume change: J = Jtr(D) Chapter 12 ( L L T ) = 1 ( ( v ) T ( ) ) v = 1 (Ḟ ) F 1 F T 2 2 Ḟ T Hooke s law for solids (small deformations!): ( σ = K 2G ) tr(ɛ)i + 2Gɛ 3 Constitutive law for Newtonian fluid: σ = pi + 2ηD 10

12 Alternative formulations for linear Hooke s law: ε xx = 1 E ( σ xx ν σ yy ν σ zz ) ε yy = 1 E ( ν σ xx + σ yy ν σ zz ) ε zz = 1 E ( ν σ xx ν σ yy + σ zz ) The reverse relation: σ xx = σ yy = σ zz = E (1 + ν)(1 2ν) ((1 ν)ɛ xx + ν ɛ yy + ν ɛ zz ) E (1 + ν)(1 2ν) ( ν ɛ xx + (1 ν)ɛ yy + ν ɛ zz ) E (1 + ν)(1 2ν) ( ν ɛ xx + ν ɛ yy + (1 ν)ɛ zz ) The equations for the shear strains and stresses: ɛ xy = ɛ yx = 1 2G σ xy = 1 2G σ yx ɛ xz = ɛ zx = 1 2G σ xz = 1 2G σ zx ɛ zy = ɛ yz = 1 2G σ yz = 1 2G σ zy Relation between shear modulus, Young s modulus and Poisson s constant: G = E 2(1 + ν) 11