Tentamen Toegepaste elasticiteitsleer (4A450)

Transcriptie

1 Tentamen Toegepaste elasticiteitsleer (4A450) Datum: 3 juni 003 Tijd: 4:00 7:00 uur Locatie: Hal Matrixgebouw Dit tentamen bestaat uit drie opgaven. Het gebruik van het dictaat, oefeningenbundel en notebook is niet toegestaan. Wel mogen het aangehechte formuleblad en een rekenmachine gebruikt worden. Tip: denk aan de correcte notatie van vectoren en tensoren. Succes! Opgave Ten behoeve van de sterkteberekening van een vlak constructieonderdeel is met het pakket MARC een eindige-elementenanalyse uitgevoerd. Het betrof een vlakke-rek (plane strain) analyse. Figuur toont een detail van het onderdeel met daarin getekend isokrommen (contourlijnen) van de maximale en minimale hoofdrek (principal strain) in het vlak. Dit wil zeggen dat de respectievelijke hoofdrekken constant zijn langs ieder van de krommen in het diagram. Merk op dat de waarden die bij de krommen zijn aangegeven nog vermenigvuldigd dienen te worden met 0 3 om de werkelijke hoofdrekken te vinden. Bij het aflezen mag afgerond worden naar de waarde van de dichtstbijzijnde isokromme P + P Figuur : Maximale (links) en minimale (rechts) hoofdrekverdelingen in een deel van het constructieonderdeel; waarden zijn vermenigvuldigd met 0 3 Het onderdeel is vervaardigd van staal, dat isotroop en lineair elastisch verondersteld kan worden. De elasticiteitsmodulus (Young s modulus) van het materiaal bedraagt E =. 0 5 MPa, voor de dwarscontractiecoëfficiënt (Poisson s ratio) kan genomen worden ν = Verder is de vloeispanning (yield stress) van het staal gelijk aan σ y = 360MPa en dient gewerkt te worden met een veiligheidsfactor (safety factor) van γ =.5. z.o.z.

2 a. Bepaal de volumetrische rek (volumetric strain) in het punt P zoals aangegeven in beide diagrammen. b. Bepaal in P de tweede invariant van de rektensor (strain tensor). c. Bepaal de maximale normaalrek (normal strain) in het afgebeelde deel van de constructie. d. Bepaal de maximaal optredende afschuiving (shear) γ max. e. Bereken de maximale afschuifspanning (shear stress) in het constructiedeel. f. Ga na of het vloeicriterium van Tresca overschreden wordt; houd hierbij rekening met de gegeven veiligheidsfactor. Opgave De toepassing van opblaasbare constructies als partytent, noodhospitaal, etc. wint aan populariteit. Een voorbeeld van een dergelijke constructie, namelijk een mobiele ontsmettings-unit, is afgebeeld in figuur. Het oprichten ervan geschiedt eenvoudigweg door met een compressor lucht te pompen in een voorgevormde flexibele structuur, welke meestal vervaardigd is van een met vezels versterkt rubberachtig materiaal. PSfrag replacements e α e e 3 e z e r e θ Figuur : Opblaasbare ontsmettingsruimte en detail van een cilindrisch structureel element Rechts in de figuur is een cilindervormig element uit de constructie schematisch weergegeven. We willen berekenen wat de maximale luchtdruk is die veilig in dit element kan worden aangebracht, zonder dat de wand scheurt. De spanningstoestand in de wand wordt bij goede benadering gegeven door de zogenaamde ketelformules, wat wil zeggen dat de spanningstensor (stress tensor) luidt σ = pr ( e θ e θ + e z e z ) waarin p de interne druk voorstelt, R de straal van de cilinder is en t de wanddikte. De eenheidsvectoren (unit vectors) e r, e θ en e z vormen een cilindrische basis zoals aangegeven in de figuur. De wand van de cilinder is gemaakt uit een rubber dat is versterkt met kruiselings aangebrachte glasvezels. De richting van deze vezels wordt gegeven door de eenheidsvectoren (zie ook de figuur) e = sin α e θ + cos α e z e = cos α e θ sin α e z waarbij de hoek α voorlopig onbepaald is; verder kunnen we definiëren e 3 = e r. Bepalend voor het ontstaan van scheuren blijkt te zijn de normaalspanning (normal stress) in de wand en loodrecht op de vezels, met andere woorden: de normaalspanning in de e - respectievelijk e -richting.

3 a. Druk de cilindrische basisvectoren e r, e θ en e z uit in de eenheidsvectoren e, e, e 3 en de hoek α. b. Laat zien dat bovenstaande spanningstensor in termen van de basis { e, e, e 3 } herschreven kan worden als σ = pr [ ( + sin α ) e e + sin α cos α ( e e + e e ) + ( + cos α ) ] e e c. Bepaal uitdrukkingen voor de normaalspanningen in de (vezel-)richtingen e en e ; schets hun verloop als functie van α voor 0 α π. d. Voor welke hoek α kan de interne druk p het hoogst opgevoerd worden voordat in één van beide vezelrichtingen falen optreedt? e. Bereken de maximaal toelaatbare druk p voor een vezelhoek α = 0 als verder gegeven is dat R = 50 mm, t =.5 mm en de toelaatbare normaalspanning σ y = 6.0 MPa. Opgave 3 Het spanningsveld rond een rechte randdislocatie in een oneindig groot, lineair elastisch medium wordt gegeven door σ (x, y) = σ x x (x, y) e x e x + σ xy (x, y) ( e x e y + e y e x ) + σyy (x, y) e y e y + ν ( σ x x (x, y) + σ yy (x, y) ) e z e z met { e x, e y, e z } een Cartesische basis met de oorsprong in de dislocatiekern (zie figuur 3) en de functies σ x x (x, y), σ xy (x, y) en σ yy (x, y) gegeven door σ x x (x, y) = Dy 3x + y (x + y ) σ yy (x, y) = Dy x y (x + y ) σ xy (x, y) = Dx x y (x + y ) Hierin is D = Gb π( ν) en G de glijdingsmodulus (shear modulus), b de lengte van de Burgers vector en ν de dwarscontractiecoëfficiënt (Poisson s ratio). PSfrag replacements e y x = 0 e x x = a glijvlak Figuur 3: Randdislocatie op het glijvlak y = 0 z.o.z. 3

4 a. Laat uitgaande van de algemene evenwichtsvergelijking (equilibrium equation) σ + ρ q = 0 zien dat voor evenwicht in dit geval moet gelden σ x x x σ xy x + σ xy y = 0 + σ yy y = 0 b. Ga na of de gegeven spanningscomponenten σ x x (x, y), σ yy (x, y) en σ xy (x, y), inderdaad aan deze vergelijkingen voldoen. c. Bepaal de spanningsvector (stress vector) p 0 (x) die werkt op het glijvlak y = 0 als gevolg van de aanwezigheid van de dislocatie in de oorsprong. Is de uitkomst realistisch voor alle waarden van x? d. Beargumenteer dat een dislocatie in (x, y) = (a, 0) in plaats van in de oorsprong zal leiden tot een spanningsvector op het glijvlak y = 0 die gelijk is aan p a (x) = p 0 (x a). e. Bereken voor het geval dat beide dislocaties, te weten in (x, y) = (0, 0) en (a, 0), gelijktijdig aanwezig zijn de spanningsvector op het glijvlak y = 0 midden tussen de dislocaties (dus voor x = a). 4

5 Uitwerkingen Tentamen Toegepaste elasticiteitsleer (4A450) Datum: 3 juni 003 Tijd: 4:00 7:00 uur Locatie: Hal Matrixgebouw Opgave a. In punt P zijn de hoofdrekken gelijk aan ɛ =.0 0 3, ɛ = 0 (vanwege vlakke rek) en ɛ 3 = De rektensor in dit punt kan geschreven worden als ε = ɛ N N + ɛ N N + ɛ 3 N 3 N 3 met N, N en N 3 de (onbekende) hoofdrekrichtingen. De volumetrische rek e is hiermee gelijk aan e = tr(ε) = ɛ + ɛ + ɛ 3 = b. De tweede invariant van ε is gegeven door ( J (ε) = tr (ε) tr(ε ε) ) [ = (ε + ε + ε 3 ) ( ε + ε + 3)] ε Uitwerken voor de afgelezen hoofdrekken levert dan J (ε) = c. De maximale normaalrek wordt in ieder punt gegeven door de maximale hoofdrek: ε nn,max = ɛ Uit het linker diagram is eenvoudig af te lezen dat het maximum hiervan (bij benadering) gelijk is aan ε nn,max = d. De maximale afschuiving in een punt is gelijk aan het verschil van de maximale en minimale hoofdrek: γ max = ɛ ɛ 3 Het grootste verschil van hoofdrekken wordt gevonden bij de bovenste afronding, namelijk: γ max = ( ) = e. De schuifspanning op een vlakje wordt gegeven door τ ns = Gγ ns De maximale schuifspanning zal dus ook gelijk zijn aan τ max = Gγ max = E ( + ν) γ max Invullen van de gegeven materiaalparameters en de hierboven berekende γ max levert τ max = 0 MPa

6 f. Het Tresca-vloeicriterium stelt dat de grens van het elastische gebied wordt gegeven door σ σ 3 = σ y ofwel, tevens rekening houdend met de veiligheidsfactor, τ max = σ a Op basis van het vorige antwoord en de gegeven parameters vinden we τ max = 40 MPa σ a = σ y γ = 88 MPa Het Tresca-criterium wordt dus inderdaad overschreden. Opgave a. Aangezien { e, e, e 3 } een orthonormale basis vormt kunnen we schrijven e r = ( e r e ) e + ( e r e ) e + ( e r e 3 ) e 3 e θ = ( e θ e ) e + ( e θ e ) e + ( e θ e 3 ) e 3 e z = ( e z e ) e + ( e z e ) e + ( e z e 3 ) e 3 Uitwerken van de inproducten levert e r = e 3 e θ = sin α e cos α e e z = cos α e sin α e Deze relaties kunnen ook direct uit de figuur afgeleid worden. b. De gegeven uitdrukking volgt rechtstreeks door invullen van bovenstaande relaties voor e r, e θ en e z. c. De normaalspanningen in de e - en e -richting volgen uit σ nn = e σ e = pr ( + sin α ) = pr (3 cos α) 4t σ nn = e σ e = pr ( + cos α ) = pr (3 + cos α) 4t Als functie van α hebben deze uitdrukkingen het volgende verloop: PSfrag replacements pr t σ nn pr σ nn σ nn π π α

7 d. De optimale sterkte wordt gevonden voor die hoek waarvoor de grootste waarde van σ nn en σ nn minimaal is. Uit bovenstaand diagram kan eenvoudig worden afgelezen dat dit voor α = 4 π is. e. Voor α = 0 zijn de normaalspanningen loodrecht op de vezelrichtingen gegeven door σ nn = pr σ nn = pr t Bepalend is dus wanneer σ nn = σ y. Uitwerken van deze vergelijking levert: p max = t R σ y = MPa = 0 bar Opgave 3 a. Aangezien er geen sprake is van een verdeelde belasting is q = 0 in de algemene evenwichtsvergelijking. Uitwerken van de divergentie voor de gegeven uitdrukking van de spanningstensor leidt dan tot ( σx x x + σ ) ( xy σxy e x + y x + σ ) yy e y = 0 y Gelijkstellen van de componenten in x- en y-richting van deze vergelijking levert de gevraagde relaties. b. Uitwerken van de relevante afgeleiden van σ x x (x, y), σ xy (x, y) en σ yy (x, y) levert: σ x x = D 6x 3 y xy 3 σ yy x (x + y ) 3 y = D x 4 6x y + y 4 (x + y ) 3 σ xy x = D x 4 + 6x y y 4 σ xy (x + y ) 3 y = D 6x 3 y + xy 3 (x + y ) 3 Invullen laat onmiddellijk zien dat aan de evenwichtsvergelijkingen wordt voldaan voor alle (x, y) = (0, 0). c. Het glijvlak heeft als normaal n = e y. De spanningsvector op dit vlak volgt dus uit p(x) = σ(x, 0) e y = σ xy (x, 0) e x + σ yy (x, 0) e y = D x e x = Gb π( ν) Voor x 0 gaat de lengte van deze vector naar oneindig. Dit is niet erg realistisch; het gegeven spanningsveld kan dan ook alleen gebruikt worden op enige afstand van de dislocatie. d. Als de dislocatie verschuift van x = 0 naar x = a zal het spanningsveld meeschuiven. Dit betekent dat de spanningsvector in een punt (x, y) ten gevolge van de dislocatie in x = a gelijk moet zijn aan de spanning in (x a, y) ten gevolge van de oorspronkelijke dislocatie in x = 0. Voor de spanningsvector op het glijvlak moet dan ook gelden dat p a (x) = p 0 (x a) e. Aangezien de evenwichtsvergelijking een lineaire differentiaalvergelijking is mogen we gebruik maken van superpositie. Dit wil zeggen dat de spanningstensor in (x, y) = ( a, 0) ten gevolge van beide dislocaties gelijk is aan de som van de spanningen ten gevolge van de individuele dislocaties. De spanningsvector hangt op lineaire wijze af van de spanningstensoren, dus mogen we ook meteen de spanningsvectoren p 0 (x) en p a (x) optellen. Voor x = a vinden we dan, gebruik makend van de antwoorden op de vorige twee vragen: ( p( a) = p 0( a) + p a( a) = p 0( a) + p 0( a) = D a ) e x = 0 a x e x 3