WI1708TH Analyse 3. College 5 23 februari Challenge the future

Transcriptie

1 WI1708TH Analyse 3 College 5 23 februari

2 Programma Vandaag Richtingsafgeleide (14.6) Gradiënt (14.6) Maximalisatie richtingsafgeleide (14.6) Raakvlak voor niveauoppervlakken (14.6) 2

3 Richtingsafgeleide Voorbeeld 3

4 Richtingsafgeleide Partieel afgeleiden f x : mate van verandering in de x-richting in de richting van eenheidsvector i = 1,0 f y : mate van verandering in de y-richting in de richting van eenheidsvector j = 0,1 4

5 Richtingsafgeleide Voorbeeld u = a, b 5

6 Richtingsafgeleide Voorbeeld u = a, b P Q = hu = ha, hb x x 0 = ha, y y 0 = hb Δz h = z z 0 h = f x 0 + ha, y 0 + hb f x 0, y 0 h 6

7 Richtingsafgeleide Definitie De richtingsafgeleide van f in x 0, y 0 in de richting van eenheidsvector u = a, b wordt gegeven door D u f x 0, y 0 = lim h 0 f x 0 + ha, y 0 + hb f x 0, y 0 h als deze limiet bestaat. 7

8 Richtingsafgeleide Stelling Als f een differentieerbare functie is van x en y, dan heeft f een richtingsafgeleide in de richting van elke eenheidsvector u = a, b gegeven door D u f x, y = f x x, y a + f y x, y b. 8

9 Richtingsafgeleide Bewijs D u f x 0, y 0 = lim h 0 f x 0 + ha, y 0 + hb f x 0, y 0 h g h = f x 0 + ha, y 0 + hb g 0 = lim h 0 g h g 0 h = lim h 0 f x 0 + ha, y 0 + hb f x 0, y 0 h = D u f x 0, y 0 9

10 Richtingsafgeleide Bewijs (vervolg) g h = f x, y = f x 0 + ha, y 0 + hb g h = f x dx dh + f y Als h = 0, dan x = x 0 en y = y 0. dy dh = f xa + f y b g 0 = f x x 0, y 0 a + f y x 0, y 0 b = D u f x 0, y 0 10

11 Richtingsafgeleide Definitie Als de eenheidsvector u een hoek θ maakt met de positieve x-as, dan geldt u = cos θ, sin θ. En dus D u f x, y = f x x, y cos θ + f y x, y sin θ. 11

12 Richtingsafgeleide Voorbeeld Vind de richtingsafgeleide D u f(x, y) als f x, y = x 3 3xy + 4y 2 en u de eenheidsvector gegeven door hoek θ = π/6. f x = 3x 2 3y, f y = 3x + 8y cos θ = 3 2, sin θ = 1 2 D u f x, y = x 2 y x + 8y 12

13 Samenvatting Als f een differentieerbare functie is van x en y, dan heeft f een richtingsafgeleide in de richting van elke eenheidsvector u = a, b gegeven door D u f x, y = f x x, y a + f y x, y b. 13

14 Gradiënt Afleiding D u f x, y = f x x, y a + f y x, y b = f x x, y, f y x, y a, b = f x x, y, f y x, y u 14

15 Gradiënt Definitie Als f een functie is van de twee variabelen x en y dan wordt de gradiënt van f gegeven door de vector functie Er geldt dus dat f x, y = f x x, y, f y x, y = f x i + f y j. D u f x, y = f x, y u. 15

16 Gradiënt Voorbeeld Als f x, y = xy 2 + x wat is dan f x, y? f x = y 2 + 1, f y = 2xy f x, y = y 2 + 1, 2xy 16

17 Gradiënt Voorbeeld Vind de richtingsafgeleide voor de functie f x, y = x 2 y 3 4y in het punt (2, 1) in de richting van vector v = 2i + 5j. f x = 2xy 3, f y = 3x 2 y 2 4 f x, y = 2xy 3, 3x 2 y 2 4, f 2, 1 = 4, 8 v = = = 29 u = v v = 2 29, 5 29 D u f 2, 1 = 4, , 5 29 =

18 Gradiënt Oefening Vind de richtingsafgeleide voor de functie g p, q = p 4 p 2 q 3 in het punt (2, 1) in de richting van vector v = i + 3j. g p = 4p 3 2pq 3, g q = 3p 2 q 2 g 2, 1 = 4 8 4, = 28, 12 v = = 10 u = v v = 1 10, 3 10 D u g 2, 1 = 28, , 3 10 =

19 Samenvatting Als f een differentieerbare functie is van x en y, dan heeft f een richtingsafgeleide in de richting van elke eenheidsvector u = a, b gegeven door D u f x, y = f x x, y a + f y x, y b. Als f een functie is van de twee variabelen x en y dan wordt de gradiënt van f gegeven door de vector functie f x, y = f x x, y, f y x, y. Er geldt dus dat D u f x, y = f x, y u. 19

20 Functies met drie variabelen Stelling Als f een differentieerbare functie is van x, y en z dan heeft f een richtingsafgeleide in de richting van eenheidsvector u = a, b, c gegeven door D u f x, y, z = f x x, y, z a + f y x, y, z b + f z x, y, z c. 20

21 Functies met drie variabelen Definitie Als f een differentieerbare functie is van x, y en z dan wordt de gradiënt van f gegeven door de vector functie f f x, y, z = f x x, y, z, f y x, y, z, f z (x, y, z) = f x, f y, f z. Er geldt dus dat D u f x, y, z = f x, y, z u. 21

22 Functies met drie variabelen Voorbeeld Vind de richtingsafgeleide voor f x, y, z = xe y + ye z + ze x in het punt (0,0,0) in de richting van v = 5, 1, 2. f x = e y + ze x, f y = xe y + e z, f z = ye z + e x f 0,0,0 = 1,1,1 u = v v = , 1 30, 2 30 D u f 0,0,0 =

23 Maximalisatie richtingsafgeleide Stelling Als f een differentieerbare functie is van twee of drie variabelen, dan is de maximale waarde van de richtingsafgeleide D u f(x) gelijk aan f x. De richtingsafgeleide D u f(x) neemt deze waarde aan als u dezelfde richting heeft als de gradiënt vector f(x). 23

24 Maximalisatie richtingsafgeleide Bewijs D u f x = f x u = f u cos φ = f cos φ met φ de hoek tussen f en u. De maximale waarde van cos φ is 1 en dus is de maximale waarde van D u f x gelijk aan f. Dit gebeurt als φ = 0 dus als u en f dezelfde richting hebben. 24

25 Maximalisatie richtingsafgeleide Voorbeeld Vind de mate van verandering voor f x, y P 2,0 in de richting van Q 1, 2. 2 = xe y in het punt f x = e y, f y = xe y, f 2,0 = 1,2 PQ = 3 2, 2, PQ = = = 5 2 u = 3 5, 4 5, D uf 2,0 = 1 25

26 Maximalisatie richtingsafgeleide Voorbeeld Wat is de maximale mate van verandering voor f x, y in welke richting is dit? = xe y en Maximale mate van verandering: f = = 5. Richting: v = 1,2. 26

27 Samenvatting Als f een differentieerbare functie is van x en y, dan heeft f een richtingsafgeleide in de richting van elke eenheidsvector u = a, b gegeven door D u f x, y = f x x, y a + f y x, y b. De gradiënt van f wordt gegeven door de vector functie f x, y = f x x, y, f y x, y. Er geldt dus dat D u f x, y = f x, y u. De maximale waarde van de richtingsafgeleide D u f(x) is gelijk aan f x en wordt aangenomen als u dezelfde richting heeft als de gradiënt vector f(x). 27

28 Raakvlak voor niveauoppervlakken 28

29 Raakvlak voor niveauoppervlakken Afleiding S is een oppervlak met vergelijking F x, y, z niveauoppervlak voor functie F. = k, oftewel een De kromme C is gegeven door r t = x t, y t, z t. t 0 correspondeert met P, oftewel x t = x 0, y t = y 0, z t = z 0. Omdat C op S ligt, geldt F x t, y t, z t = k. df dt = F x dx dt + F y dy dt + F z dz dt = 0 29

30 Raakvlak voor niveauoppervlakken Afleiding (vervolg) F = F x, F y, F z en r t = x t, y t, z t F r t = 0 Dit geldt ook voor t 0 dus F x 0, y 0, z 0 r t 0 = 0. Dit betekent dat de gradiënt vector F x 0, y 0, z 0 in P loodrecht op de raaklijn r t 0 aan C staat. Dus het raakvlaak aan niveauoppervlak F x, y, z = k in het punt P is het vlak door P met normaalvector F x 0, y 0, z 0. 30

31 Raakvlak voor niveauoppervlakken Definitie Het raakvlak voor niveauoppervlak F x, y, z P(x 0, y 0, z 0 ) wordt gegeven door = k in het punt F x x 0, y 0, z 0 x x 0 + F y x 0, y 0, z 0 y y 0 + F z x 0, y 0, z 0 z z 0 = 0. De normaallijn op S in P is de lijn door P die loodrecht op het raakvlak staat. De symmetrische vergelijkingen voor de normaallijn zijn x x 0 F x x 0, y 0, z 0 = y y 0 F y x 0, y 0, z 0 = z z 0 F z x 0, y 0, z 0. 31

32 Raakvlak voor niveauoppervlakken Voorbeeld Vind de vergelijkingen voor het raakvlak en de normaallijn voor xyz 2 = 6 in het punt (3,2,1). F x = yz 2, F y = xz 2, F z = 2xyz Raakvlak 2 x y z 1 = 2x + 3y + 12z 24 = 0 2x + 3y + 12z = 24 Normaallijn x 3 2 = y 2 3 = z 1 12 x = 3 + 2t, y = 2 + 3t, z = t 32

33 Opgaven maken Hoofdstuk 14.6 Opgaven: 5 7, 9, 11, 17 19, 21, 25, 32, 34, 41, 45 33