Plasticiteit en grensspanningshypothesen INHOUD LES 2. Inleiding grensspannings-hypothesen

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Plasticiteit en grensspanningshypothesen INHOUD LES 2. Inleiding grensspannings-hypothesen"

Marina Eilander
5 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Circel van Mohr INHOUD LES 2 Inleiding grensspannings-hypothesen Vloeimodellen Rankine De Saint Venant Tresca Beltrani Von Mises (metalen) Mohr-Coulomb (grond) Drucker-Prager Rankine + Mohr-Coulomb (beton) Tsai-Hill (hout) Geschreven door ir. J.W. Welleman Aangepast door dr. ir. P.C.J. Hoogenboom, januari

2 Cirkel van Mohr Download een uitleg-programma van Dhr. Welleman: software/mohr/ 2

3 Cirkel van Mohr Assenstelsels voor de vlakjes 3

4 Cirkel van Mohr Assen van de cirkel 4

5 Cirkel van Mohr Bekende spanningspunten 5

6 Cirkel van Mohr Middelpunt 6

7 Cirkel van Mohr Richtingen-centrum 7

8 Cirkel van Mohr Hoofdspanningsrichtingen 8

9 Cirkel van Mohr Spanningen op de vlakjes 9

10 Cirkel van Mohr Spanningen op de vlakjes 10

11 Cirkel van Mohr 3D draaiing van de kubus om de 1-as draaiing van de kubus om de 2-as draaiing van de kubus om de 3-as mogelijke spanningstoestanden 11

12 TREKPROEVEN OP METALEN Plastisch gedrag Met of zonder vloeitraject Kort plastisch traject = bros Lang plastisch traject = ductiel 12

13 MODELLERING Versteviging ( Hardening ) 13

14 BAUSCHINGER EFFECT 14

15 GRENSSPANNINGSHYPOTHESE Hypothese = Aanname (nog toetsen met experimenten) Wiskundige formulering van een criterium waarbij vloei, breuk of verbrijzelen ontstaat Vloeivoorwaarde Vloeifunctie Vloeioppervlak Vloeicriterium Locus Belastingsfunctie SYNONIEMEN 15

16 HOOFDSPANNINGSRUIMTE (Von Mises) 16

17 VLAKKE SPANNINGSTOESTAND 3 =

18 -VLAK C-curve 18

19 WAT GEBEURT ER BIJ BELASTEN EN ONTLASTEN? Belastingen binnen de vloeifunctie geeft elastisch gedrag. Als de vloeifunctie wordt geraakt kan vloei optreden. Tijdens het vloeien kan de spanning langs de vloeifunctie lopen. Bij ontlasten wordt het gedrag weer elastisch. 19

20 NIET CONSTANTE VLOEIFUNCTIES ISOTROPIC HARDENING Eenvoudig te programeren Vaak niet realistisch 20

21 NIET CONSTANTE VLOEIFUNCTIES KINEMATIC HARDENING 21

22 MOGELIJKE VLOEIMODELLEN Maximale hoofdspanning RANKINE Maximale hoofdrek SAINT VENANT Maximale schuifspanning TRESCA Maximale rek-energie BELTRANI Maximale vervormingsenergie VON MISES Interne wrijving MOHR-COULOMB DRUCKER-PRAGER 22

23 RANKINE 2 c t t 1 Grenzen aan de hoofdspanningen,, c c Ongelijke sterkte voor trek en druk t 23

24 SAINT VENANT E 2 1 E 2 E 1 2 E 1 2 E E 1 E E 2 1 Grenzen aan de hoofdrekken,, [ 1 ( 2 3 )] E 1 [ 12 ] E E

25 TRESCA Grens aan de grootste schuifspanning op iedere mogelijke snede 25

26 TRESCA (VERVOLG) v 2 Dus we kunnen ook schrijven 2 v 26

27 TRESCA (VERVOLG) v Dus we kunnen ook schrijven v v v 27

28 TRESCA (VERVOLG) 2 2 v 1 v v v 1 v 2 v v v v 28

29 TRESCA (VERVOLG) trek trek + afschuiving v 29

30 BELTRANI Grens aan de vormveranderingsenergie W met : E E E dus W 2E 2 v W 2E v W 30

31 3 0 BELTRANI 2 v v 31

32 1 2 VON MISES Grens aan de gedaante-veranderingsenergie W s Resultaat: xx yy yy zz zz xx xy yz zx v [( ) ( ) ( ) ] 3( ) 1 s s 1 2 ixyzj,, xyz,, xx xx o xy xy 1 o 3 xx yy zz Of: [( ) ( ) ( ) ] v Of: 3J2 v etc. ij ij ( ) 32

33 VON MISES 33

34 VON MISES Zuivere trek xx xx 0 yy zz xy yz xz Dus xx v Zuivere afschuiving 0 xx yy zz yz xz Dus 3 xy v 0,58 xy xy v xy 34

35 VON MISES Trek plus afschuiving xy xx xy xx 0 yy zz yz xz Dus 2 2 xx 3 xy v (Huber Hencky) 35

36 VON MISES versus TRESCA 36

37 MOHR-COULOMB Grens aan de combinatie van en op iedere mogelijke snede c c tan 37

38 MOHR-COULOMB sin cos c c tan invullen : 13 cos c sintan vereenvoudigen : 1sin 1sin ccos 2ccos 38

39 MOHR-COULOMB c t Zuivere druk 2c cos c sin 1 Zuivere trek 2c cos t 1 sin Algemene formulering: max( 1, 2, 3) min( 1, 2, 3) t c 1 39

40 Grond: MOHR-COULOMB Voorbeeld c = 3,0 MPa = 0,2 rad Te dragen spanningstoestand: 0,86 4,16 3, Gevraagd: Zal het bezwijken? 2c cos 2*3,0*cos0,2 t 4,91 1sin 1sin 0, 2 2c cos 2*3,0*cos0,2 c 7,34 sin 1 sin 0,2 1 max( 1, 2, 3) min( 1, 2, 3) t 3,88 4,16 1, 36 4,91 7,34 1,36 is groter dan 1. Dus de grond zal bezwijken. c 40

41 MOHR COULOMB 41

42 MOHR COULOMB 2 c m c t 1 c 42

43 DRUCKER-PRAGER met hydrostatische invloed Von Mises : J 2 Drucker Prager I J 2 k 43

44 MOHR-COULOMB versus DRUCKER-PRAGER 2sin 3 en 6ccos 3 sin 33 sin k 44

45 ONGEWAPEND BETON Experimentele resultaat

46 Model voor ONGEWAPEND BETON Rankine is geschikt voor trek (tension cut-off). Mohr-Coulomb is geschikt voor druk. 46

47 Rankine c 3, 2, 1t Alleen trek 1 t Ofwel Mohr Coulomb Gecombineerd 1 1 t t c max(, ) t t c 47

48 48

49 TSAI-HILL Grensspanningshypothese voor hout xxyy yy xx xy xx xx yy xy 1 ˆ ˆ ˆ ˆ x is de vezelrichting y is loodrecht op de vezelrichting ^ is de sterkte 49

50 TSAI-HILL afleiding Von-Mises (metalen) ( xx yy ) ( yy zz ) ( zz xx ) 3 xy yz xz y Als vlakke spanningstoestand zz xz yz xx yy yy xx xy v 2 ( ) ( ) ( ) xx xx yy yy yy xx xy v 2 ( 2 ) xx xxyy yy 3xy v xx xx yy yy 3 xy v Delen door de sterkte xx xx yy yy xy ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ xx xx yy yy xy Correcties om overeenkomst met experimenten te verbeteren. 50

51 SAMENVATTING Metalen Von Mises Grond Mohr-Coulomb Ongewapend beton Rankine voor trek en Mohr-Coulomb voor druk Hout Tsai-Hill Raadpleeg de softwarehandleiding voor het geinplementeerde materiaalmodel. 51

Vergelijkbare documenten

a Teken een elementair kubusje met de optredende spanningen (0.7 punt) Heerst in het bovenstaande kubusje een vlakke spanningstoestand? (0.

a Teken een elementair kubusje met de optredende spanningen (0.7 punt) Heerst in het bovenstaande kubusje een vlakke spanningstoestand? (0. Tentamen Materiaalmodellen 30 juni 015, 15:30 tot 17:00 uur P.C.J. Hoogenboom Toegestaan is gebruik van dictaat, aantekeningen, boeken, calculator, laptop-computer en een tablet. Niet toegestaan is communiceren