COLLEGE ONDERWERPEN. 1 Spanningstensor Spanningsdefinitie Spanningstoestanden en voorbeelden 2 Rektensor CTB2210 : ELASTICITEITSLEER

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "COLLEGE ONDERWERPEN. 1 Spanningstensor Spanningsdefinitie Spanningstoestanden en voorbeelden 2 Rektensor CTB2210 : ELASTICITEITSLEER"

Bram de Kooker
7 jaren geleden
Aantal bezoeken:

CTB0 : ELASTICITEITSLEER COLLEGE ONDERWERPEN Spanningstensor Spanningsdefinitie Spanningstoestanden en voorbeeden Retensor Reatieve verpaatsingen Redefinities Retensor 3 Tensoreigenschappen

1 CTB0 : ELASTICITEITSLEER COLLEGE ONDERWERPEN Spanningstensor Spanningsdefinitie Spanningstoestanden en voorbeeden Retensor Reatieve verpaatsingen Redefinities Retensor 3 Tensoreigenschappen Introdctie van tensoren Transformatiereges Cire van Mohr Voorbeed 4 Spannings-re reatie Cire van Mohr voor spanning en re Voorbeeden 5 Bezwijtoestanden Spanningen in 3D Von Mises en Tresca Ir J.W. Weeman jan 07 badnr

2 TENSOREN p p p z σ σ σ z σ σ σ z σ σ σ z z zz n n n z met: σ σ σ z z σ σ σ z z Spanningen z ε ε ε z ε ε ε z ε ε ε z z zz + z 0 ω ω z ω 0 ω z ω ω 0 z z z met: ε ε ε z z ε ε ε z z Reen HOE VERANDEREN DE UITDRUKKINGEN VOOR DE REKKEN EN SPANNINGEN ALS HET ASSENSTELSEL WORDT GEROTEERD NAAR EEN NIEUW TE KIEZEN ASSENSTELSEL? Ir J.W. Weeman jan 07 badnr

3 MOGELIJKE ROUTES VOOR DE OPLOSSING anatisch - tensortransformatie ( nette rote ) met as voorbeed een stijfheidsprobeem - directe transformatie ( snee methode ) met as voorbeed een spanningsprobeem grafisch - cire van Mohr Etreme waarde van tensorcomponent bijt een eigenwaardeprobeem te zijn. eigenwaarde hoofdwaarde en eigenvector hoofdrichting Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 3

4 METHODE : TENSORTRANSORMATIE m.b.v. de anaogie van een stijfheidsprobeem RELATIE TUSSEN KRACHT EN VERPLAATSING. veerstijfheid Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 4

5 VOORBEELD VAN EEN STIJHEIDSPROBLEEM () () () () 3 3 Vragen: Wat is de stijfheidsreatie tssen de racht en de verpaatsing? In wee richting is de constrctie het stijfst en hoe groot is deze stijfheid? Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 5

6 Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 6 VRAAG : STIJHEIDSRELATIE? Kracht : Verpaatsing : f stijfheidsmatri K f.

7 KINEMATISCHE RELATIE () (). + CONSTITUTIEVE RELATIE N N () () () (). (.. ) + 45 o () () Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 7

8 Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 8 EVENWICHTS RELATIE () () ().. N N N + INVULLEN: ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] N () N () Horizontaa evenwicht Verticaa evenwicht

9 STIJHEIDSRELATIE 3 stijfheidsmatri Vector rachtenvector aandiding componenten, verpaatsingenvector, f DEZE VECTOREN HEBBEN EEN GROOTTE EN EEN RICHTING EN HEBBEN EEN YSISCHE BETEKENIS! Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 9

10 EIGENSCHAPPEN VAN DE KRACHTENVECTOR EN DE VERPLAATSINGENVECTOR GROOTTE RICHTING ASSENTRANSORMATIE ALS EEN VECTOR VOLDOET AAN DE REGELS VOOR DE ASSENTRANSORMATIE DAN SPREKEN WE VAN EEN e ORDE TENSOR Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 0

11 REGELS VOOR ASSENTRANSORMATIE as -as,, as cos sin cos sin -as cos + ds : f R. f sin + sin cos met : R cos sin sin cos Ir J.W. Weeman jan 07 badnr

12 e ORDE TENSOREN Krachtenvector f : f R. f en f R T. f Verpaatsingenvector : R. en R T. Lengte van de vector verandert niet door een assentransformatie : LENGTE INVARIANT f ( ) ( ) ( ) ( ) + f + Ir J.W. Weeman jan 07 badnr

13 RELATIE TUSSEN TENSOREN IS OOK EEN TENSOR f K. K tensor van de e orde ASSENTRANSORMATIE? f R. f R. K. R. K. R T. f K. met : K R. K. R T Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 3

14 DEINITIE ALS DE COMPONENTEN VAN EEN e ORDE TENSOR ( b.v. ) UIT DE COMPONENTEN VAN EEN ANDERE e ORDE TENSOR ( b.v. ) KUNNEN WORDEN AGELEID VIA EEN LINIRE BETREKKING K., DAN HEET K EEN TENSOR VAN DE e ORDE Voorbeeden van andere tensoren : Spanningstensor ( σ, σ, σ, σ ) Retensor ( ε, ε, ε, ε ) Traagheidsmomenten ( I, I, I, I ) Bigende momenten in paten ( m, m, m, m ) Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 4

15 Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 5 VRAAG : VOOR WELKE RICHTING IS DE STIJHEID v/d CONSTRUCTIE MAXIMAAL? cos cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos T K R K R Etreem?

16 EXTREME WAARDEN VAN DE STIJHEIDSCOMPONENTEN Let op : Zie itwering in het ditaat op pagina 7 en. - ga over op de dbbee hoe - differentiëren en itweren d 0 en d d d Etreem voor een rotatie : ( ) 0 tan + ± + ( ) ( ),, 0 0 K ds : f zefde richting as Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 6

17 Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 7 TOEPASSEN OP ONS PROBLEEM 3 Etreme waarden (hoofdwaarden) voor de stijfheid : ( ) ( ) ( ),,5,,5 tan 3 + o o 3 () () sap stijf,5 o

18 INTERPRETATIE sap stijf 0 0 () (),5 o 3 racht en verpaatsing in dezefde richting! Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 8

19 σ σ METHODE : DIRECTE METHODE a.h.v. een spanningsprobeem σ σ σ A σ Horizontaa evenwicht: A σ cos A σ sin σ A cos + σ A sin Verticaa evenwicht: Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 9 A σ sin + A σ cos σ A cos + σ A sin Herschrijven tot: σ σ + σ + σ cos sin sin cos σ σ σ σ z ( )sin cos (sin cos ) identie aan gevonden reaties op bz 5

20 EXTREME WAARDEN VAN DE SPANNINGEN Let op : - ga over op de dbbee hoe - differentiëren en itweren dσ d dσ 0 en 0 d Etreem voor een rotatie : σ tan σ σ + σ ± σ σ + σ σ ( σ ) σ ( ) ( ), σ σ σ 0 p σ 0 n ds : p zefde richting as n 0 σ 0 0 σ 0 0 etreme waarden worden de hoofdwaarden genoemd Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 0

21 WISKUNDIGE BENADERING Wanneer hebben racht en verpaatsing dezefde richting? f λ stijfheidsreatie: f K. geijsteen K. λ λ. I ds : ( K λ. I ). 0. Let op : K en I zijn MATRICES EIGENWAARDEPROBLEEM Ir J.W. Weeman jan 07 badnr

22 EIGENWAARDEPROBLEEM OPLOSSEN λ. λ Aeen een opossing 0 indien Determinant van de matri n is: 0 λ ( ) ( +. λ + ) 0 λ, ( ) [ ( )] + ± + eigenwaarden zijn ds geij aan de hoofdwaarden Ir J.W. Weeman jan 07 badnr

23 ANALYTISCHE TRANSORMATIE : TRANSORMATIEORMULES K R K R cos sin cos sin sin cos sin cos T (sheet5) internationae aanpa met behp van de dbbee hoe: ( ) ( )cos sin ( ) ( )cos sin ( )sin + cos Hoofdwaarden en hoofdrichtingen : tan + ± + ( ) ( ) ( ), 0 Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 3

24 GENERALISATIE IN 3D (b.v. met spanningstensor) Hoofdspanning en hoofdrichtingen in 3D: os eigenwaardeprobeem op p n p σ n pz nz itweren: σ σ σ σ z n 0 σ σ σ σ z n 0 σ 0 z σ z σ zz σ nz Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 4

25 NIET TRIVIALE OPLOSSING: determinant is n Wortes van arateristiee ponoom zijn hoofdwaarden en os eigenvectoren op voor deze hoofdrichtingen. 3 3 I I I3 σ σ + σ with INVARIANTS I, I and I : I I I σ + σ + σ zz 0 3 zz zz z z σ σ + σ σ + σ σ σ σ σ zz z z zz z z σ σ σ σ σ σ σ σ σ + σ σ σ Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 5

26 GRAISCHE METHODE : CIRKEL VAN MOHR Zet op de -as en it Zet het assenstese in O Geef de verticae assen en aan afhaneij van het assenstese Zet de beende pnten ( ; ) en ( ; ) it Tre de verbindingsijn tssen deze twee pnten Teen de middeoodijn van deze verbindingsijn Het snijpnt van de middeoodijn en de -as is het middepnt m Teen een cire met middepnt m door de pnten ( ; ) en ( ; ) Geef de hoofdwaarden (grootste) en (einste) aan Geef het Richtingen Centrm aan o Een ijn getroen vanit het RC evenwijdig aan de -as snijdt de cire in het pnt ( ; ) o Een ijn getroen vanit het RC evenwijdig aan de -as snijdt de cire in het pnt ( ; ) Teen vanit het RC de hoofdrichtingen Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 6

27 CIRKEL VAN MOHR assenstese Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 7

28 CIRKEL VAN MOHR tensorpnten en middepnt ( ; ) m ( ; ) Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 8

29 CIRKEL VAN MOHR cire en richtingencentrm RC ( ; ) m r RC ( ; ) Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 9

30 CIRKEL VAN MOHR hoofdwaarden en hoofdrichtingen ( ; ) m r RC ( ; ) Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 30

31 GRAISCHE TRANSORMATIE : CIRKEL VAN MOHR ( ; ) m r RC ( ; ) Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 3

32 TOEPASSEN OP ONS STIJHEIDSPROBLEEM 3 () sap stijf,5 o - definitie van het assenstese - tensorpnten itzetten 3 - cire constreren - richtingencentrm bepaen - hoofdwaarden en hoofdrichtingen aangeven () Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 3

33 Cire van Mohr : assenstese Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 33

34 Cire van Mohr : tensorpnten en cire ( ; ) (;) m // -as // -as ( ; ) (3;) Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 34

35 Cire van Mohr : RC en hoofdrichtingen () ( ; ) (;) m () // -as RC // -as ( ; ) (3;) Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 35

36 REKVOORBEELD D C Gegeven: 0, met:,0 m Gevraagd : + 0,3 0 +, as Recire van Mohr Hoofdreen en hoofdrichtingen Re in veze AC Verandering van de rechte hoe ADC A B -as Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 36

37 ε ( ε ; ε ) CIRKEL VAN MOHR (REKKEN) 4 0, 0 ( ε ; ε ) () ε m // AD // -as ε ( ) ε ε r ε ( ε ; ε ) // -as RC Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 37

38 ANTWOORDEN OP DE VRAGEN ) Reen de reen it en teen de recire en ees af : 4 ε AC ε,3 0 concsie : AC is een hoofdrerichting en vezes evenwijdig aan deze richting zen aeen verengen. Er treedt ds geen verdraaiing op! ) Controeer zef met de verpaatsingen in A en C dat de m.b.v. de cire van Mohr gevonden re de jiste is. 3) De rechte hoe in D tssen de vezes DC en DA verandert met, ga dit na in de cire : 4 4 γ ε,5 0,5 0 concsie : De hoe ADC wordt hierdoor groter Ir J.W. Weeman jan 07 badnr 38

Vergelijkbare documenten

Tentamen CT2031. ConstructieMechanica Maart van 18:30 21:30 uur

Tentamen CT2031. ConstructieMechanica Maart van 18:30 21:30 uur Subfacuteit iviee Technie Vermed op baden van uw wer: onstructiemechanica STUDIENUMMER : NM : Tentamen T01 onstructiemechanica 1 Maart 008 van 18:0 1:0 uur s de andidaat niet vodoet aan de voorwaarden