: Vermeld op alle bladen van uw werk uw naam. : Het tentamen bestaat uit 4 bladzijden inclusief dit voorblad.

Transcriptie

1 POST HBO-OPLEIDINGEN Beonconsruceur BV Saalconsruceur BmS Professional maser of srucural engineering Toegepase mechanica Maeriaalmodellen en nie-lineaire mechanica docen : dr. ir. P.C.J. Hoogenboom TENTAMEN 2 e JAAR OPMERKINGEN : Vermeld op alle bladen van uw werk uw naam. POST : He enamen besaa ui 4 bladzijden inclusief di voorblad. : Al he sudiemaeriaal en aanekeningen mogen ijdens he enamen worden geraadpleegd. : Na afloop kun u de uiwerking vinden op

2 Vraagsuk 1 ( 30 minuen 3 punen ) Een gewapend beonnen console word gemodelleerd me een eindige-elemenenprogramma. He model is driedimensionaal en lineair-elasisch. De spanningen in een maagevend pun van de console zijn σ xx = 25, 4 N/mm σ yy = 10,3 σ zz = 0, 4 σ yz = 0,3 σ zx = 1,1 σ = 11,9 xy 2 De hoofdspanningen zijn berekend me he volgende resulaa. σ 1 = 13,9 N/mm² σ 2 = 0, 4 σ 3 = 29, 0 a Teken een elemenair blokje me de spanningen op de zichbare vlakjes. Teken evens he bijbehorende assenselsel. b Me welke wiskundige procedure zijn de hoofdspanningen berekend? Wa is de grooe van de groose schuifspanning die kan worden gevonden door he elemenaire blokje e draaien? c Welke spanning kan worden gebruik om e beoordelen of de drukserke van he beon voldoende is? Welke spanning kan worden gebruik om e beoordelen of de hoeveelheid wapening voldoende is? Vraagsuk 2 ( 30 minuen 3 punen ) a Hoe luid de grensspanningshypohese van Rankine? b Laa zien da deze hypohese kan worden geschreven als de volgende uniy check. σ max( 1 σ, 3 ) 1 σ σ c Welke verondersellingen zijn hierbij gedaan? blad 2

3 c Voor ongewapend beon word vaak de hypohese van Rankine gecombineerd me die van Mohr-Coulomb (Figuur 1). Geef hiervoor een uniy check. Figuur 1. Grensspanningshypohese voor ongewapend beon. Vraagsuk 3 (30 minuen 4 punen) a Er word vaak onderscheid gemaak ussen fysisch nie-lineaire berekeningen en geomerisch nie-lineaire berekeningen. Wa is he verschil? Geef van de volgende berekeningen aan van welk ype deze is: lineair, fysisch nie-lineair of geomerisch nie-lineair. 1) plasische bezwijklas van een raamwerk 2) doorbuiging van een gewapend beonnen vloer 3) saafwerkmodel van een gewapend beonnen wandligger 4) weede orde verplaasingen van een ongeschoord raamwerk 5) kiplas van een uikragende slanke ligger 6) benodigde duciliei bij een aardbeving 7) eigenfrequenies van een vlaggenmas b Van een groo ruimevakwerk word een lineaire berekening gemaak. De compuer breek de berekening voorijdig af omda da de consrucie kinemaisch onbepaald blijk e zijn. Nieemin word een geomerisch nie-lineaire berekening op hezelfde model wel correc uigevoerd. Hoe kan di? c De sijfheidsmarix van een nie-lineair raamwerkelemen is afhankelijk van de normaalkrach in he elemen. Hoe groer de normaalkrach des e kleiner de buigsijfheid. Echer, experimenen laen zien da de werkelijke buigsijfheid nog kleiner is dan de sijfheidsmarix voorspel. Waardoor onsaa deze verdere reducie van de sijfheid? Hoe word di in rekening gebrach bij een nie-lineaire raamwerkberekening. blad 3

4 d Een raamwerk word fysisch nie-lineair berekend. De belasing word in sappen aangebrach en de consrucie blijk reeds e bezwijken bij een belasingfacor λ = 0,86. Derhalve moeen zwaardere consruciedelen worden gekozen op de plaasen waar vloei is opgereden. Bij he onwerpen van deze consruciedelen kunnen we nie zomaar uigaan van de berekende spanningen omda de oale belasing nog nie aanwezig was. Hoe kunnen we deze consruciedelen heronwerpen? blad 4

5 Uiwerking vraagsuk 1 a b De hoofdspanningen zijn de eigenwaarden van de spanningsensor. Ui de cirkel van Mohr volg da de groose schuifspanning gelijk is aan de helf van he groose verschil van de hoofdspanningen. σ1 σ 3 13,9 + 29, 0 2 τ max = = = 21,5 N/mm 2 2 c De drukspanning van he beon kan worden geconroleerd me he Mohr-Coulomb crierium σ3 σ Hierin is σ d de een-assige drukserke (negaieve waarde) en σ de eenassige σd σ rekserke van he ongewapende beon. Als de wapening in de hoofdspanningsrichingen is aangebrach kan de rekspanning geconroleerd worden me σ1 ρ1σ s, σ2 ρ2σ s, σ3 ρ3σ s. Hierin is σs de vloeispanning van de wapeningssaven en ρ he wapeningspercenage. Uiwerking vraagsuk 2 a De grensspanningshypohese van Rankine luid σc σ3, σ2, σ1 σ b We kunnen di op splisen in σc σ3, σ2, σ1 en σ3, σ2, σ1 σ. Als we verondersellen da σ3 σ2 σ 1 kunnen we di vereenvoudigen o σc σ 3 en σ1 σ. Als we verondersellen da σ < 0 <σ kunnen we di herschrijven als 1 σ 3 σ en 1 1. σc σ Di kunnen we samenvoegen o c blad 5

6 σ max( 1 σ, 3 ) 1. σ σ c c De grensspanningshypohese van Mohr-Coulomb luid max( σ1, σ2, σ3) min( σ1, σ2, σ3) + 1. σ σc Me de bovensaande veronderselling kunnen we di schrijven als σ 1 σ σ σc Toevoegen aan de uniy check geef σ1 σ max(, 3 σ, 1 σ + 3) 1 σ σ σ σ c c Uiwerking vraagsuk 3 a Bij een fysisch nie-lineaire berekening is he maeriaalgedrag nie-lineair. Bij een geomerisch nie-lineaire berekening zijn de kinemaische vergelijkingen of de evenwichsvergelijkingen nie-lineair. Di laase is van belang bij groe roaies van de consrucie-delen. 1) plasische bezwijklas van een raamwerk = fysisch nie-lineair 2) doorbuiging van een gewapend beonnen vloer = fysisch nie-lineair 3) saafwerkmodel van een gewapend beonnen wandligger = fysisch nie-lineair 4) weede orde verplaasingen van een ongeschoord raamwerk = geomerisch nie-lineair 5) kiplas van een uikragende slanke ligger = geomerisch nie-lineair 6) benodigde duciliei bij een aardbeving = fysisch nie-lineair 7) eigenfrequenies van een vlaggenmas = lineair b He kan gebeuren een consruciedeel pas weersand bied aan een belasing nada een verplaasing is opgereden. Bijvoorbeeld, wee saven liggen in elkaars verlengde zonder da de ussenknoop zijdelings word geseund. Bij lineaire berekening zal he programma consaeren da er geen zijdelingse sijfheid is en dus da de verplaasing van deze knoop onbepaald is en nie kan worden berekend. Bij een nie-lineaire berekening zal na de eerse verplaasing och zijdelingse sijfheid kunnen onsaan waardoor de verplaasing wel kan worden berekend. c De exra reducie van de sijfheid onsaa door afwijkingen van de ideale siuaie zoals walsspanningen, vormafwijkingen en onbedoelde excenricieien. Di word in rekening gebrach door een gereduceerde buigsijfheid. De buigsijfheid is hierbij een funcie van de normaaldrukkrach. blad 6

7 d Deel de spanningen, momenen en normaalkrachen door 0,86 voorda de consruciedelen opnieuw worden gedimensioneerd. blad 7